解直角三角形拥抱型与12345型-初中数学模型与解题方法专项训练（原卷版）

专题40解直角三角形拥抱型与12345型

一、单选题

1.如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A,B,P,。四点均在正方形网格的格点上，线段

PQ相交于点则图中cosNQMB的值是()

口

.45R275「四M

A.D.-------L.D.----

5525

二、填空题

2.如图，在4x3的网格图中，点/、B、C,，都在小正方形的顶点上，AB,切相交于点?，则tan/APC的

值是.

3.如图，为了测量河对岸旗杆AB的高度，在点C处测得旗杆顶端A的仰角为30°,沿CB方向前进20m

到达D处，在点D处测得旗杆顶端A的仰角为45°,则旗杆AB的高度为(精确到0.1m,参考数

据：72=1.414,73=1.732)

4.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=10,将矩形A3CQ沿BE折叠，点A落在4处，若瓦T的延长

线恰好过点C,则sinZABE的值为.

5.如图，在平面直角坐标系中，点A(-1,0),B(0,2),点C在第一象限，ZABC=135°,AC交了

k

轴于D,CD=3AD,反比例函数y=—的图象经过点C,则上的值为.

y

ArO\x

三、解答题

6.某市一湖的湖心岛有一颗百年古树，当地人称它为“乡思柳”，不乘船不易到达，每年初春时节，人们

喜欢在“聚贤亭”观湖赏柳.小红和小军很想知道“聚贤亭”与“乡思柳”之间的大致距离，于是，有一

天，他们俩带着侧倾器和皮尺来测量这个距离.测量方法如下：如图，首先，小军站在“聚贤亭”的/处，

用侧倾器测得“乡思柳”顶端〃点的仰角为23°,此时测得小军的眼睛距地面的高度AB为1.7米，然后，

小军在4处蹲下，用侧倾器测得“乡思柳”顶端〃点的仰角为24°,这时测得小军的眼睛距地面的高度

/C为1米.请你利用以上测得的数据，计算“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离力”的长（结果精确到1

米）.（参考数据：sin23°^0.3907,cos23°-0.9205,tan23°"0.4245,sin24°心0.4067,cos24°

入0.9135,tan24°心0.4452.)

7.宋家州主题公园拟修建一座柳宗元塑像，如图所示，柳宗元塑像（塑像中高者）DE在高13.4加的假山

EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34。，再沿AC方向前进10根到达8处，测得塑像顶部。的仰角为

60°,求柳宗元塑像。E的高度.

（精确到加.参考数据：sin34°®0.56,cos34°»0.83,tan34°®0.67,73«1.73）

8.如图，一座商场大楼的顶部竖直立有一个矩形广告牌，小红同学在地面上选择了在条直线上的三点4A

为楼底），D,E,她在。处测得广告牌顶端C的仰角为60。，在E处测得商场大楼楼顶B的仰角为45。，

£>E=5米.己知广告牌的高度3c=2.35米，求这座商场大楼的高度A3（若右1.73,0*1.41,小红的身高

不计，结果保留整数）.

9.某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，到市龙源湖公园测量塑像“夸父追日”的高度，如图所示，在4

处测得塑像顶部〃的仰角为45。，塑像底部£的仰角为30.1°,再沿/C方向前进107到达6处，测得塑

像顶部〃的仰角为59.1°.求塑像“夸父追日”施高度.（结果精确到0.参考数据：sin30.1°«0.50,

cos30.1°七0.87,tan30.1°-0.58,sin59.1°«=0.86,cos59.1°心0.51,tan59.1°-1.67）

10.山西大学主校区内有一座毛主席塑像，落成于1969年12月26日.是山西大学的标志性建筑之一，

目前已被列入保护文物.综合与实践小组的同学们开展了测量这一毛主席塑像高度的活动.他们在该塑像

底部所在的平地上，选取一个测点，测量了塑像顶端的仰角，调高测倾器后二次测量了塑像顶端的仰角.为

了减小测量误差，小组在测量仰角的度数及测倾器高度时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量

结果，测量数据如下表.

课题

测量毛主席塑像的高度

成员组长：XXX组员：XXX,XXX,XXX

测倾器，皮尺等

测量工具

A

说明：线段A3的长表示塑像从最高点到地面之间的距离，C为

/q/

测量示意测点，线段CE,8表示测倾器（点。在CE上），点A,B,

图C,D,E都在同一竖直平面内，且CELBC-,

ZADF、NAEG表示两次测量的仰角，点G,尸在上.

测量项目第一次第二次平均值

测量数据NAZ加的度数35.1°34.9°35.0°

ZAEG的度数33.4°33.6°33.5°

测倾器CE的高1.68m1.72m1.70m

测倾器的高1.07m1.05m1.06m

任务：

(1)根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出毛主席塑像的高度；(参考数据：sin35.0°«0.57,

cos35.0°®0.82,tan35.0°«0.70,sin33.5°弋0.55,cos33.5°~0.83,

tan33.5。足0.66)

(2)该综合与实践小组在制定方案时，讨论“用已知高度的侧倾器8测出仰角NADF,再测出的长

来计算塑像高度A3”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？(写出一条即可)

11.某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为20米的发射塔如图所示，在山

脚平地上的。处测得塔底8的仰角为30。，向小山前进80米到达点E处，测得塔顶A的仰角为60。，求小

山的高度.

A

12.数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度.如图所示，炎帝塑像龙在高

54nl的小山以上，在/处测得塑像底部£的仰角为34。，再沿/C方向前进22m到达8处，测得塑像顶部

。的仰角为60°.

（1）求炎帝塑像龙的高度.（精确到1m.参考数据：sin34°^0.5,cos34°仁0.8,tan34°"0.6,小

1.73）

（2）“景点简介”显示，“炎帝”塑像高度为63m,请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合

理化建议.

13.如图，在某市景区主干道路旁矗立着一块景区指示牌，小明驾驶汽车由东向西行驶，到达点。处，测

得景区指示牌的上沿〃处仰角为30°；前进8米后到达6处，测得景区指示牌的下沿“处仰角为45°,

再前进4米后到达景区指示牌底部A处，求指示牌的高腑长（结果精确到0.1米，点=1.414,73=1.732）

14.如图所示，小王在校园上的A处正面观测一座教学楼墙上的大型标牌,测得标牌下端。处的仰角为30。，

然后他正对大楼方向前进5m到达5处，又测得该标牌上端C处的仰角为45。.若该楼高为16.65m,小王的

眼睛离地面1.65m,大型标牌的上端与楼房的顶端平齐.求此标牌上端与下端之间的距离（&al.732,

结果精确到0.1m）.

C

15.太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排.某校组织学生进行综合实践活动一

一测量太阳能路灯电池板的宽度.如图，太阳能电池板宽为A3,点。是A2的中点，OC是灯杆.地面上

三点、D,£与，在一条直线上，DE=EC=5m.该校学生在。处测得电池板边缘点6的仰角为37。，

在£处测得电池板边缘点8的仰角为45。.此时点A、B与£在一条直线上.求太阳能电池板宽AB的长度.（结

343

果精确到0.1m.参考数据：sin37°®-,cos37°»j,tan37°a—-x/2«1.41)

4

16.如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD,小明在山坡的坡脚

/处测得宣传牌底部。的仰角为60。，沿山坡向上走到6处测得宣传牌顶部，的仰角为45。.已知山坡4?

的坡度Z.=1：A/LAB=10米，CD=2米，求AE.

17.自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决

定对一段如图1所示的坡路进行改造.如图2所示，改造前的斜坡AB=200米，坡度为1：6；将斜坡AB

的高度AE降低AC=10米后，斜坡AB改造为斜坡CO,其坡度为1:4.求斜坡CO的长.（结果保留根号）

图1图2

18.如图所示，塑像座在高54m的小山欧上，在4处测得塑像底部£的仰角为34°,再沿力，方向前进

22m到达6处，测得塑像顶部。的仰角为60°,求该塑像龙的高度.（精确到1m,参考数据；sin34°弋

0.5,cos34°-0.8,tan34°仁0.6,百心1.73）

19.某公园的人工湖边上有一座山，山顶上有一直竖的建筑物C。，高为10米.某校数学兴趣小组的同学

为了测量山的高度OE,在公园找了一水平地面，在A处测得建筑物点。（即山顶）的仰角为35。，沿水

平方向前进20米到达8点，测得建筑物顶部C点的仰角为45。，求山的高度。E.（结果精确到1米，参考

757

数据：sin35°~—,cos350®-,tan35°»—)

12610

20.如图，某公园的人工湖边上有一座假山，假山顶上有一座高为5米的建筑物切，数学小组为了测量假

山龙的高度，在公园找了一水平地面，在4处测得建筑物底部〃点（即假山顶）的仰角为30°,沿水平

方向前进25米到达6点，测得建筑物顶部。点的仰角为45°,点4B,C,D,£在同一平面内，求假山

施的高度.（结果保留根号）

21.在“双创”活动中，某校将双创宣传牌（AB）放置在教学楼顶部（如图所示）.数学兴趣小组成员小

明在操场上的点D处，用高度为1m的测角仪CD,从点C测得宣传牌的底部B的仰角为37°,然后向教学

楼正方向走了4m到达点F处，又从点E测得宣传牌顶部A的仰角为45°.已知教学楼高即1=19m,且点

A、B、M在同一直线上，求宣传牌AB的高度.（参考数据：6°1.73,sin37°®0.60,cos37°®0.81,tan37°«0.75）

22.如图，某幢大楼顶部有广告牌CD,小字目高M4为1.89米，他站立在离大楼45米的2处测得大楼顶

端点〃的仰角为30。；接着他向大楼前进15米、站在点方处，测得广告牌顶端点C的仰角为45。（取百。1.732,

计算结果保留一位小数）

C

降、疔%45。

「二一

A