数学广角数与形-人教版六年级数学上册讲义（含答案）

第8讲数学广角一一数与形

________£思维导图+知识梳理+例题精讲+易错专练）

一、思维导图

“数形结合的意义

数学广角一＜

数与形

数形结合的应用

二、知识点梳理

知识点一：利用直观图形表示数的规律

从1开始的n个连续奇数相加的和可以用〃表示。

用小正方形拼成答正方形，需要的小正方形的各数可以写成连续奇数的和，且这个和正好是

每行或每列小正方形个数的平方。

I+3+5+7+9+…+(2n

M

知识点二：借助直观图形解决比较复杂的算式问题

有些计算问题或较为复杂的题目可以通过画图，把数字、算式转化成图形，使复杂的问题简

单化、抽象的问题直观化，解决起来会更直观、更简单。

j_j_j_j_

从5开始的数列5、1、8……的和是1。

三、例题精讲

考点一：数学广角一一数与形

【典型一】在一个平面上有68个点，一共可以连（）条线段。

A.68B.2278C.2346D.1190

【分析】每个点都可与其它点连成一条线段，这样就重复了一遍，点数X（点数—1）+2=线段数量,

据此分析。

【详解】68X（68-1）4-2

=68X67+2

=45564-2

=2278（条）

故答案为：B

【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。

【典型二】按规律填空。

△ZVAAA7V

图形△A7AZ\/VV...

小棒根数3579・・・

照这样摆下去，第10幅图需要（）根小棒。第n幅图需要（）根小棒。

【分析】通过观察可知，三角形个数每次增加1个，所需小棒数每次增加2根，据此解答。

【详解】第1图小棒数：3=3

第2图小棒数：5=3+lX2

第3图小棒数：7=3+2X2

第4图小棒数：9=3+3*2

第10图小棒数：21=3+9X2

第n图小棒数：l+2n=3+（n-1）X2

【点睛】本题考查运用数形结合方法，探索数学规律。

【典型三】小明用牙签搭六边形，如下图。

oooomoooo

（1）数一数，上面四幅图每幅各用了多少根牙签？

（2）接着画下去，第五幅图将用多少根牙签？第八幅图呢?

(3)你能利用规律直接写成第n幅图一共要用多少根吗？

【分析】分析图形可知，每增加一个六边形就增加5根牙签，第1个图形一共用了6根牙签，第2个图

形一共用了(6+5)根牙签，第3个图形一共用了(6+5X2)根牙签，第4个图形一共用了(6+5X

3)根牙签……则第n个图形一共用了[6+5X(n-1)]根牙签，据此解答。

【详解】(1)第1幅图用了6根，第2幅图用了11根，第3幅图用了16根，第4幅图用了21根。

(2)第5幅图：6+5X(5-1)

=6+5X4

=6+20

=26(根)

第8幅图：6+5X(8-1)

=6+40-5

=46-5

=41(根)

答：第五幅图将用26根牙签，第八幅图将用41根牙签。

(3)6+5X(n-1)

=6+5n-5

=(5n+l)根

答：第n幅图一共要用(5n+l)根。

【点睛】用含有字母的式子表示出图形变化的规律是解答题目的关键。

【典型四】数与形。

(1)仔细观察每幅图和它下面的算式之间的关系，根据发现的规律，接着画出后面的两个图形，并完成

图形下面的算式。

于——

22-1232-2242-3252-4262-52

=2+1=3+2=4+3

=3二5=7

(2)根据上面的规律，完成下面的算式。

1002-992=()+()=()

20202-20192=()+()=()

【分析】观察可知，大正方形和空白正方形的边长依次增加1,相邻两个数的平方的差等于这两个数的

和，据此分析。

【详解】（1）

32-2242-3252-4262-52

=3+2=4+3=5+4=6+5

=5=7=9=11

（2）根据上面的规律，完成下面的算式。

1002-992=100+99=199

20202-20192=2020+2019=4039

【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。

四、易错专练

一、选择题（满分16分）

1.如图，根据图形摆放的规律，第n个图形共有（）个小三角形。

2.用火柴棒按下图的方式搭正方形，搭30个这样的正方形需要（）根火柴棒。

□

A.120B.90C.91

3.已知：3X9=27,3X99=297,3X999=2997,3X9999=29997,那么：3X999999=()。

A.299997B.3000007C.2999997D.29999997

4.一组图形按……”的规律排列，第36个图形是（）。

A.△B.OC.☆

5.一串数：2、3、6、11、18…是按某种规律排列的，这串数左起第112个是（）。

A.10100B.12321C.12323D.1321

6.有一列数按如下方式排列：2,4,6,8,10-,x,口，…那么方框里应填（）

A.x+2B.2xC.y

如果一个小三角形的边长为1cm,照这样接着画下去,第7个图形的周长是（)O

A.7cmB.9cmC.11cm

8.根据规律填数字15,25,35,45,()。

A.60B.65C.50D.55

二、填空题（满分16分）

9.如下图，第1个数是1,第2个数是8,第3个数是27…，按照图形与数的排列规律，第5个数应是

如果照这样排下去，第7幅图下面的口里应填（）o

11.用1米长的木杆搭建围栏，下表显示的是搭建规律。当围栏长度为n米时，用了（）根木

杆。

图形Hfflfffiffffi...

围栏长度/米1234n

总数量/根6101418

12.如下图，用方桌按照下面的方法拼成长方形大桌安排座位，照这样的规律，5个方桌拼成的大桌一共

可以安排（）个座位。n个方桌可以安排（）个座位。

图1图2图3

13.一个从1开始的自然数表如下，表中下一行数的个数是上一行数个数的2倍。那么第六行的最后一

个数是（）。

第一行1

第二行23

第三行4567

......

14.按规律填分数：1“3I，57看9盘、()、()。

15.找规律填数：

(1)4,8,1.2,(),0.075,0.01875；

(2)(),32,4,0.5,()»

16.按规律填空：1,2,4,8,16,32,(),……

三、判断题(满分8分)

17.1+3+5+7+5+3+1=5:()

11中，第10个数是二19

20.算式9X6=54,99X96=9504,999X996=995004；通过这三个算式不用计算就可以得出999999义

999996=999995000004。（)

四、作图题（满分12分）

21.（6分）观察下列图形的变化规律，在空格内画出适当的图形。

22.（6分）观察下面的图形，按规律在“？”处填上合适的图形。

五、解答题（满分48分）

23.（6分）下图是由火柴棒摆成的图形，第n个图形是由n个正方形组成。请思考下列问题。

（1）像这样摆下去，第n个图形中有（）根火柴棒。

（2）当〃=21时，用第（1）题的式子计算出摆21个正方形需要的火柴棒数。

24.（6分）先仔细观察，再填一填。

（1）下面每个图中最外圈各有多少个小正方形？照样子填一填。

（2）照这样的规律画下去，第5个图形最外圈有（）个小正方形。请你解释其中的道理:

25.（6分）将奇数1、3、5、7、9……按图中规律排列，如：数19在第3行第3歹U,数37排在第5行第

4歹U,那么数2001在第几行第几列？

1357

1513119

17192123

31292725

33353739

26.（6分）观察下列顺序排列的等式，猜想第21个等式应该是多少？

9X0+l=l

9X1+2=11

9X2+3=21

9X4+5=41

27.（6分）找规律计算。

已知：1一3=3£_1—1—1—1—11_1

--

23-634124520

请计算-----1-------1-------1--■H-------1-――H——H-----

2612203042567290

28.（6分）下列各图至少要用几笔才能画成？

29.（6分）下图的两个图形（实线）是分别用10根和16根单位长的小棍围成的。如果按此规律（每一层

比上面一层多摆出两个小正方形）围成的图形共用了60多根小棍，那么围成的图形有几层，共用了多少

根小棍？

30.（6分）在一个正方形的每条边上摆4枚棋子，四条边上最多能摆多少枚？最少能摆多少枚？（用画图

的方法表示出来即可）

参考答案

1.D

【分析】解答此类的方法是从给出的几个图形进行分析，找出规律即可。

【详解】①三角形个数：1

②三角形个数：22=4

③三角形个数：32=9

④三角形个数：42=16

所以第n个图形有"个三角形。

故答案为：D

【点睛】本题主要考查了归纳推理，找出图形之间出现的规律是解答本题的关键。

2.C

【分析】1个正方形需要4根火柴棒，2个正方形需要7根火柴棒，3个正方形需要10根火柴棒，根据图

示可知，每增加一个正方形就增加3根火柴棒，所以搭n个这样的正方形需3n+l根火柴。

【详解】由分析可知：

3n+l=30X3+l

=90+1

=91（根）

故答案为：C

【点睛】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力。对于找规律的题目首先应找出

哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的。

3.C

【分析】根据已知的算式可得积的规律：固定数字不变的是2、7；如果第二个因数9的个数是n个，那

么在积的数字“2”和“7”的之间就排n—1个9；据此解答。

【详解】根据分析可得，

3X999999=2999997；

故答案为：C。

【点睛】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力.对于找规律的题目首先应找出

哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。

4.A

【分析】观察图形可知，这组图形是6个图形一个循环周期，分别按照☆☆☆OO△的顺序依次循环排

列，据此求出第36个图形是第几个图形中的第几个图形即可解答问题。

【详解】36+6=6

所以第36个图形是第6周期的最后一个是

故答案为：Ao

【点睛】根据题干得出这组图形的排列周期规律是解决此类问题的关键。

5.C

【分析】根据题意：从前面的几个数可以得出：相邻的两个数的差依次是1,3,5,7,……，所以得到

第1个数：2；第2个数：2+1=3；第3个数：2+1+3=6；第4个数：2+1+3+5=11；第5个数：2

+1+3+5+7=18；可得出第n个数：2+(n-1)2,题目中要求第112个数，即把n=112代入式子即

可。

【详解】第1个数：2；第2个数：2+1=3；第3个数：2+1+3=6；第4个数：2+1+3+5=11；第5

个数：2+1+3+5+7=18

2,3,6,11,18,……的差为1,3,5,7,……,可得当第n个数是：2+(n-1)2

当n=112时

2+(112-1)2

=2+111X111

=2+12321

=12323

故答案为：C。

【点睛】通过观察，分析，归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题。

6.A

【分析】观察可知，这一列数都是偶数，相邻的偶数相差2,据此分析。

【详解】□里面的前一个数是x,则□里面应填：x+2o

故答案为：A

【点睛】关键是看出这一列数的特点，相邻的两个数相差2。

7.B

【分析】第一个图形的周长是3,第二个图形的周长是4,第三个图形的周长是5,据此分析，每增加一

个三角形周长就多1,所以第n个图形的周长=3+(n-1)Xl=n+2o

【详解】第七个图形的周长=7+2=9(厘米)

故答案为：B。

【点睛】此题考查学生的推理能力，依据数据归纳出图形周长存在的规律是解题的关键。

8.D

【解析】根据前几个数，可以找出规律，每次递增10,45+10=55。

【详解】根据规律填数字15,25,35,45,55。

故选Do

【点睛】先找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，再利用规律求解。

9.125n3

【分析】经观察发现，每个数都是个数的3次方，据此解答即可。

【详解】9=125

根据图形与数的排列规律，第5个数应是125,第n个数是r?。

【点睛】解决本题的关键是数与个数之间的关系。

10.28

【分析】观察图形可知：第一幅图要排1个；第二幅图要排1+2；第三幅图要排1+2+3；由此即可找

出规律解决问题。

【详解】由分析可得：1+2=3

1+2+3=6

1+2+3+4+5+6+7

=3+3+4+5+6+7

=6+4+5+64-7

=10+5+6+7

=15+6+7

=21+7

=28

【点睛】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力，对于找规律的题目首先应找出

哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。

11.4n+2

【分析】围栏长度为1米时，用了6根木杆，即4X1+2；

围栏长度为2米时，用了10根木杆，即4X2+2；

围栏长度为3米时，用了14根木杆，即4X3+2；

围栏长度为4米时，用了18根木杆，即4X4+2；

当围栏长度为n米时，用的木杆根数为：4n+2o

【详解】由分析可知，当围栏长度为n米时，用了（4n+2）根木杆。

【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，发现围栏长度每多1米就多用4根木杆是解本题的关键。

12.122n+2

【分析】根据题图可知，一个桌子可以安排4个座位，至此以后，每增加一个桌子就增加2个座位，据

此可知当有n个桌子时，可以安排4+2（n-1）=2n+2个座位，据此解答即可。

【详解】当有n个桌子时，可以安排（2n+2）个座位；

当n=5时；

2n+2

=2X5+2

=12

5个方桌拼成的大桌一共可以安排12个座位。

【点睛】解答本题的关键是根据题图找到规律，再根据这一规律解决实际问题。

13.63

【分析】通过观察分析可知，表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍，所以第n行的数字的

个数为个，又每一行中最后一个数为前边从第一行到这一行中所有字的个数，如第三行中最后一个数

为7,则一至三行中共有7个数字，由此可知，到第n行中最后一个数字为1+2+4+…+2^。

【详解】21=267=25=2X2X2X2X2=32

1+2+4+8+16+32=63

【点睛】寻找数字排列中的规律，平时要注重多积累，培养数感。

1113

14.——

4964

【分析】观察数列可知，各分数的分子按照1、3、5、7、9排列，相邻两个数的差是2；分母分别为4=

222Z

2,9=3,16=4,25=5,,36=6,所以后面两个分数的分母应为7?=49,2=64。据此解答即可。

【详解】9+2=11,11+2=13

72=49,82=64

135791113

4'9'16'25'36'49'64°

【点睛】本题考查数字排列规律，发现规律，利用规律是解题的关键。

15.0.32560.0625

【分析】(1)4.8+1.2=4,0.0754-0.01875=4,前面的数是后面的数的4倍；

(2)32+4=8,4+0.5=8,前面的数是后面的数的8倍。

【详解】由分析得，

(1)1.24-4=0.3

(2)32X8=256

0.54-8=0.0625

【点睛】此题考查的是找规律，解答此题关键是正确找出规律并用规律解决问题。

16.64

【分析】2+1=2,44-2=2,后一个数是前一个数的2倍，由此求解。

【详解】16X2=32,32X2=64

1,2,4,8,16,32,(64),...

【点睛】解答本题的关键是；正确找出该组数字的变化规律，并能找到它们之间的联系即可。

17.V

【分析】从1开始，有几个连续的奇数相加，和就是几的平方，据此解答。

【详解】由分析得，

1+3+5+7=42,5+3+1=32

所以，1+3+5+7+5+3+1

=42+32

=16+9

=25

=52

故答案：V

【点睛】此题考查的是数与形结合，解答此题关键是正确找出规律，并用规律解决问题。

18.V

【分析】根据算式可知，后面一个数是前一个数的如果把一条线段看作1,先取它的一半表示再

取余下的一半的一半表示:，这样不断地取下去，最终相当于取了整条线段。所以1+1+1+上+3+…

42481632

1,据此解答即可。

IIIIIIII

11111

~2T81632

【详解】;+;+g+,,,=1,说法正确；

故答案为：J。

【点睛】本题采用了数形结合的思想，使题目形象化，再利用极限思想得到结果。

19.V

【详解】这个数列中从左到右分别是1、3、5、7、9、11、13、15、17、19……

分母从左到右分别是I2,22,314；52,……

由此可知：第10个数分子是19,分母是100。

故答案为：V

20.正确

【详解】规律：第一个因数依次增加一个数字9,第二个因数6前面依次增加一个数字9,结果是5前面

是9,5和4中间是0,9的个数和0的个数等于第二个因数中9的个数。

【分析】每幅图中的小圆圈都是以最中心的一个向三个方向延伸，每次都是每个方向增加1个，并且每

个方向上的小圆圈都是黑白交替排列的；第四幅图，在第三幅图的基础上，每个方向增加一个白色的小

圆圈。

【详解】如图：

【点睛】本题也可以先考虑数量上的变化规律，再考虑颜色的排列规律。

△△△

22.△

[△△△I

【分析】观察图形可知：第一个图形是1个，第二个图形是3个，第三个图形是5个，第四个图形就是7

个，第五个图形就是9个，它们的规律是连续加2；据此即可解答问题；解决此类问题的关键是：根据题

干中的图形找出事物排列的一般规律，从而即可解答。

【详解】察下面的图形可知，按规律在“？”处填上7个三角形。

如图:

23.(1)3〃+1

(2)64根

【分析】(1)摆一个图形需要4根火柴棒，可以写成3X1+1；摆2个图形需要7根火柴棒，可以写成

3X2+1；摆三个图形需要10根火柴棒，可以写成3X3+1…；由此可以推理得出一般规律解答问题；

(2)当n=21时，代入算式，求出需要火柴棒的数量。

【详解】(1)根据分析可知，摆一个图形需要火柴棒的数量：(3X1+1)根

摆二个图形需要火柴棒的数量：(3X2+1)根

摆三个图形需要火柴棒的数量：(3X3+1)根

由此可知摆n图形需要火柴棒的数量：(3n+l)根

(2)当n=21时

3X21+1

=63+1

=64(根)

答：摆21个正方形需要64个火柴棒。

【点睛】根据题干中已知图形排列特点以及数量关系，推理得出一般结论进行解答是此类问题的关键。

24.(1)712=24

(2)40；道理见详解

【分析】观察可知，最外圈小正方形的个数=大正方形边长X边长一临圈正方形边长义边长，如第一个

图形：32—1=8=1X8,第二个图形：52-32=16=2X8,第三个图形：72-52=24=3X8……所以第几个

图形最外圈小正方形的个数就用几X8,据此分析。

【详解】(1)第三个图形：72—52=24

(2)5X8=40(个)

第5个图形最外圈有40个小正方形。从前3个图的计算结果看，第一个图形最外圈的小正方形的个数的

是1的8倍，第二图形最外圈的小正方形的个数的是2的8倍，第三图形最外圈的小正方形的个数的是3

的8倍，以此类推，第五图形最外圈的小正方形的个数的是5的8倍，是40个。

【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。

25.251行第2列

【分析】根据上表可以得出以下信息，即每一行为4个相邻的奇数，当行数为奇数时从第二列开始到第

五列，当行数为偶数时，从第四列开始到第一列，奇数都是递增排列的，所以可以得出2001的位置。

【详解】由题意可知：排列为1,3,5,7,……2n-l,

2n-l=2001

解：2n—1+1=2001+1

2n=2002

2n+2=2002+2

n=1001

说明2001是第1001个奇数

10014-4=250...1

所以是在第251行，该行是从左到右写，因此是第2歹人

答：数2011排在第251行第2歹!J。

【点睛】通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能

力。

26.201

【分析】观察下列等式，发现9X0+1=10X0+1=1,9X1+2=10X1+1=11,9X2+3=10X2+1=

21,9X4+5=10X3+1=41,发现第n个等式为：9X(n—1)+n=10X(n-1)+1。据此解答即

可。

【详解】由分析得，

第21个等式应为9X(21-1)+21

=10X(21-1)+1

=201

【点睛】此题考查的找规律，先分别观察左右两边的式子，根据特点找出规律，用规律计算。

9

27.

W

【分析】根据已知，可将计算式中的分数用已知式子进行提到，即一:〜〜卜!

1111

口了一'据此可得出答案。

【详解】+—|-—+-—+—+——+—H

26122030