【课件】三角函数的概念+课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.2.1三角函数的概念引导语:在客观世界中存在大量运动，变化都有着循环往复、周而复始的规律，这种变化规律就是周期现象,比如日出日落、钟摆运动等,匀速圆周运动是这类现象的代表创设情境，提出问题今天我们继续按照研究函数的一般套路来展开探究。

我们知道，函数是描述客观世界运动变化规律的数学模型。如：直线运动-----一次函数；抛物运动-----二次函数；

指数爆炸-----指数函数；对数增长-----对数函数；那么圆周运动-----用什么函数模型刻画呢？提出问题，引导探索函数问题的研究路径：明确研究背景对应关系的特点分析下定义研究性质函数的概念：

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数记作：y=f(x)x∈A．任意唯一确定引导探索，形成概念实际问题：摩天轮转动过程中如何刻画座舱的位置变化？

那么如何从函数的角度来刻画点P的位置变化呢？引导探索，形成概念

如图：圆O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转。如何借助角α的大小变化刻画点P的位置变化呢？先研究单位圆上点P的变化情况。引导探索，形成概念

如图：单位圆O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转。我们考虑建立一个数学模型，刻画点P的位置变化情况。引导探索，形成概念

【建立直角坐标系】以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，则A(1,0)，P(x,y).

【分析变量】

P点坐标(x,y)点P的位置

探究：如图，当

时，点P的坐标是什么？当

或

时，点P的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？xyOA(1,0)PxyOA(1,0)PxyOA(1,0)PMMPPP问题：任意给定一个角α，观察它的终边OP与单位圆的交点P的坐标，你有什么发现？

引导探索，形成概念问题：你认为点P的坐标(x,y)是角α的函数吗?如果是,你能用集合与对应语言来刻画这种函数关系吗？如果不是，那谁才是角α的函数呢？任意给定角，唯一确定点P（x,y)α引导探索，形成概念任意给定角，唯一确定点P（x,y)α

引导探索，形成概念角α的终边与单位圆交于点P(u,v).引导探索，形成概念f:实数α（弧度）对应于点P的纵坐标yA集合B集合

α

自变量函数值对应关系α

引导探索，形成概念设α是一个任意角，α∈R，它的终边与单位圆相交于点P(x，y)(1)把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即

y=sinα；(2)把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即

x=cosα；我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数,即单位圆上点P的位置可以用三角函数模型来刻画。引导探索，形成概念（2）三角函数的三要素分别是什么？问题：（1）正弦函数、余弦函数和正切函数的对应关系各是什么？与以往学习的函数定义有什么不同？正弦函数y=sinα余弦函数正切函数

x=cosα=tan

概念辨析角实数(角的弧度)三角函数值

三角函数可以看成是以实数α(α为弧度)为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.（1）正弦函数：（2）余弦函数：（3）正切函数：

注意:（1）在任意角的三角函数定义中，α是一个使函数有意义的实数（2）x是自变量，离开自变量x的sin,con,tan是没有意义的概念辨析知识回顾：在初中我们是如何定义锐角三角函数的？OabMPc

概念辨析解：如图在直角坐标系中作

问题：

如果改变角α终边上点P的位置，三角函数值是否会改变呢？思考：例2实际上提供了另外一种求任意角三角函数值的方法，你能用自己的语言叙述吗？证明：如图，设角的终边与单位圆交于点P0分别过点作x轴的垂线

，垂足分别为，MM0因为与同号，所以同理可得例2.如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为（x,y），点P与原点的距离为r。求证：则sinα=y0P设角是一个任意角，

是终边上的任意一点，点与原点的距离|OP|=

任意角的三角函数值仅与有关，而与点在角的终边上的位置无关.三角函数概念的推广：三人自行车脚踏的高度设置！物理中交变电流的研究！赛车游戏的开发！反思凝练，感悟升华1.通过本节课的学习，你能阐述任意角三角函数的研究思路吗?2.在获得知识的过程中，体现了什么样的数学思想方法？数学来源于生活，又服务于生活！应用反思凝练，感悟升华？作业：1.必做：《教材》179页练习1-4，2.选做：收集并整理关于三角函数发展史的有关资料教材中现在的定义与历史上大数学家欧拉的定义是一致的，欧拉令圆的半径为1，用平面直角坐标系来定义三角函数，彻底解决了三角函数在四个象限中的符号问题。神秘的三角学

到公元前2世纪，古希腊天文学家「三角学之父」希帕霍斯（HipparchusofNicaea）为了天文观测的需要，制作了第一个和现在三角函数表相仿的「弦表」，就是规定在一个圆内，不同圆心角所对弦长的表。思考的