数理统计试题及答案

数理统计试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.设总体$X\simN(\mu,\sigma^2)$，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是来自总体$X$的样本，则样本均值$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$服从（）A.$N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$B.$N(\mu,\sigma^2)$C.$N(0,1)$D.$N(n\mu,n\sigma^2)$2.设$X_1,X_2,\cdots,X_n$是来自总体$X$的样本，$E(X)=\mu$，$D(X)=\sigma^2$，则样本方差$S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2$是（）A.$\mu$的无偏估计量B.$\sigma^2$的无偏估计量C.$\mu$的有偏估计量D.$\sigma^2$的有偏估计量3.设总体$X\simN(\mu,\sigma^2)$，$\sigma^2$已知，$\mu$未知，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是来自总体$X$的样本，则$\mu$的置信水平为$1-\alpha$的置信区间为（）A.$(\overline{X}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$B.$(\overline{X}-t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$C.$(\overline{X}-z_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+z_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$D.$(\overline{X}-t_{\alpha}(n-1)\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+t_{\alpha}(n-1)\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$4.在假设检验中，原假设$H_0$，备择假设$H_1$，则称（）为犯第一类错误。A.$H_0$为真，接受$H_1$B.$H_0$为真，拒绝$H_1$C.$H_0$不真，接受$H_0$D.$H_0$不真，拒绝$H_0$5.设总体$X$的概率密度为$f(x;\theta)=\begin{cases}\thetax^{\theta-1},&0<x<1\\0,&\text{其他}\end{cases}$，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是来自总体$X$的样本，则参数$\theta$的矩估计量为（）A.$\frac{\overline{X}}{1-\overline{X}}$B.$\frac{1-\overline{X}}{\overline{X}}$C.$\frac{\overline{X}}{1+\overline{X}}$D.$\frac{1+\overline{X}}{\overline{X}}$6.设$X\sim\chi^2(n)$，则$E(X)$等于（）A.$n$B.$2n$C.$n^2$D.$\frac{n}{2}$7.设总体$X\simN(\mu_1,\sigma_1^2)$，$Y\simN(\mu_2,\sigma_2^2)$，且$X$与$Y$相互独立，$X_1,X_2,\cdots,X_{n_1}$是来自总体$X$的样本，$Y_1,Y_2,\cdots,Y_{n_2}$是来自总体$Y$的样本，$\overline{X}$和$\overline{Y}$分别是两个样本的均值，则$\overline{X}-\overline{Y}$服从（）A.$N(\mu_1-\mu_2,\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2})$B.$N(\mu_1-\mu_2,\frac{\sigma_1^2}{n_1}-\frac{\sigma_2^2}{n_2})$C.$N(\mu_1+\mu_2,\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2})$D.$N(\mu_1+\mu_2,\frac{\sigma_1^2}{n_1}-\frac{\sigma_2^2}{n_2})$8.设总体$X$的分布函数为$F(x;\theta)$，$\theta$为未知参数，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是来自总体$X$的样本，若统计量$\hat{\theta}(X_1,X_2,\cdots,X_n)$满足$P(\theta_1\leq\hat{\theta}\leq\theta_2)=1-\alpha$，则称$[\theta_1,\theta_2]$是$\theta$的（）A.置信区间B.估计区间C.预测区间D.容差区间9.在单因素方差分析中，设因素$A$有$r$个水平，每个水平下的样本容量分别为$n_1,n_2,\cdots,n_r$，总样本容量$n=\sum_{i=1}^{r}n_i$，则误差平方和$S_E$的自由度为（）A.$n-1$B.$r-1$C.$n-r$D.$r$10.设总体$X$服从指数分布$E(\lambda)$，概率密度为$f(x;\lambda)=\begin{cases}\lambdae^{-\lambdax},&x\geq0\\0,&x<0\end{cases}$，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是来自总体$X$的样本，则参数$\lambda$的极大似然估计量为（）A.$\frac{1}{\overline{X}}$B.$\overline{X}$C.$\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}X_i}$D.$\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i}{n}$二、多项选择题（每题2分，共10题）1.以下哪些是统计量（）A.$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$B.$S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2$C.$\sum_{i=1}^{n}X_i^2$D.$\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$（$\mu,\sigma$未知）2.设总体$X\simN(\mu,\sigma^2)$，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是来自总体$X$的样本，则下列哪些是$\mu$的无偏估计量（）A.$\overline{X}$B.$X_1$C.$\frac{1}{2}(X_1+X_2)$D.$\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}X_i$3.关于正态分布的性质，以下正确的有（）A.正态分布的概率密度函数图像关于$x=\mu$对称B.正态分布的均值和中位数相等C.若$X\simN(\mu,\sigma^2)$，则$aX+b\simN(a\mu+b,a^2\sigma^2)$D.正态分布的偏度为04.在假设检验中，影响犯两类错误概率的因素有（）A.样本容量$n$B.显著性水平$\alpha$C.原假设与备择假设的设定D.总体分布5.以下哪些分布与正态分布有密切关系（）A.$\chi^2$分布B.$t$分布C.$F$分布D.泊松分布6.设总体$X$的分布函数为$F(x;\theta)$，$\theta$为未知参数，求$\theta$的极大似然估计量的步骤包括（）A.写出似然函数$L(\theta)$B.对似然函数取对数得$\lnL(\theta)$C.对$\lnL(\theta)$求关于$\theta$的导数D.令导数为0求解$\theta$7.对于样本均值$\overline{X}$和样本方差$S^2$，以下性质正确的是（）A.$E(\overline{X})=E(X)$B.$D(\overline{X})=\frac{D(X)}{n}$C.$E(S^2)=D(X)$D.$\overline{X}$与$S^2$相互独立（当总体为正态分布时）8.在方差分析中，以下说法正确的有（）A.总平方和$S_T=S_A+S_E$B.因素$A$的平方和$S_A$反映了因素$A$对试验结果的影响C.误差平方和$S_E$反映了随机误差的影响D.当$F$统计量的值较大时，拒绝原假设，认为因素$A$对试验结果有显著影响9.设总体$X\simN(\mu,\sigma^2)$，$\sigma^2$未知，对$\mu$进行假设检验，可能用到的统计量有（）A.$t=\frac{\overline{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}$B.$z=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$C.$\chi^2=\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$D.$F=\frac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2}$10.以下哪些是估计量的评选标准（）A.无偏性B.有效性C.一致性D.充分性三、判断题（每题2分，共10题）1.统计量是不含任何未知参数的样本函数。（）2.若$\hat{\theta}$是$\theta$的无偏估计量，则$E(\hat{\theta})=\theta$。（）3.样本均值$\overline{X}$是总体均值$\mu$的矩估计量和极大似然估计量（对于正态总体）。（）4.在假设检验中，显著性水平$\alpha$是犯第一类错误的概率。（）5.设$X\sim\chi^2(n)$，$Y\sim\chi^2(m)$，且$X$与$Y$相互独立，则$X+Y\sim\chi^2(n+m)$。（）6.总体分布未知时，不能进行参数估计。（）7.在单因素方差分析中，若$F$检验的结果是接受原假设，则说明因素$A$对试验指标无显著影响。（）8.极大似然估计一定是无偏估计。（）9.对于任意总体$X$，当样本容量$n$足够大时，样本均值$\overline{X}$近似服从正态分布。（）10.若两个总体的方差相等，则它们的分布一定相同。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.简述矩估计法的基本思想。答案：用样本矩作为总体矩的估计量，建立含有未知参数的方程，通过求解方程得到未知参数的估计值。如用样本均值估计总体均值，用样本二阶中心矩估计总体方差等。2.什么是无偏估计量？并举例说明。答案：设$\hat{\theta}$是参数$\theta$的估计量，若$E(\hat{\theta})=\theta$，则称$\hat{\theta}$是$\theta$的无偏估计量。例如样本均值$\overline{X}$是总体均值$\mu$的无偏估计量，即$E(\overline{X})=\mu$。3.简述假设检验的基本步骤。答案：（1）提出原假设$H_0$和备择假设$H_1$；（2）选择合适的检验统计量；（3）给定显著性水平$\alpha$，确定拒绝域；（4）根据样本数据计算检验统计量的值；（5）将统计量值与拒绝域比较，作出判断。4.说明方差分析的基本原理。答案：方差分析是通过比较不同因素水平下样本数据的方差，将总平方和分解为因素平方和与误差平方和。用$F$统计量比较两者，判断因素对试验结果是否有显著影响。若$F$值大，拒绝原假设，认为因素有显著影响。五、讨论题（每题5分，共4题）1.在实际应用中，如何选择合适的估计方法来估计总体参数？答案：要考虑总体分布类型、样本容量等。若总体分布已知且形式简单，极大似然估计较优；总体分布未知时，矩估计实用。样本容量大时，多种方法效果相近；样本容量小时，需考虑估计量的性质，如无偏性、有效性等，综合选择。2.假设检