《锐角三角函数（第1课时）》教案

10/11《锐角三角函数（第1课时）》教案

第1课时教学目标【知识与技能】1.理解锐角正弦的概念，掌握正弦的表示方法；2.会根据直角三角形的边长求一个锐角的正弦值，并且能利用正弦求直角三角形的边长。【过程与方法】1.经历探索直角三角形中的边与角的关系，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。2.通过学生自我发现培养学生的自我反思能力，通过提出困惑提升学生发现问题的能力。【情感态度与价值观】1.在主动参与探索概念的过程中，开展学生的合情推理能力和合作交流、探究发现的意识。2.培养学生独立思考的习惯以及使学生获得成功的体验，建立自信心。课型新授课课时第1课时共4课时教学重难点【教学重点】 理解正弦函数意义，并会求直角三角形中一个锐角的正弦值。【教学难点】 理解当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定这一事实.课前准备 教师：课件、三角尺、直尺等.学生：三角尺、铅笔.教学过程导入新课（出示课件2）美国人体工程研究学人员调查发现，当高跟鞋的鞋底与地面的夹角为11°左右时，人脚的感觉最舒适，假设某成年人前脚掌到脚后跟长为15厘米，请问鞋跟在几厘米高度为最佳？探索新知为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管,在山坡上修建一座扬水站,对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35ｍ,那么需要准备多长的水管？（出示课件4）教师问：如右图所示，本题可看作是在三角形ABC中探求某些问题，你可以把已知条件用数学语言描述出来吗？（学生思考后，找同学回答）学生答：这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB.教师问：可以用学过的什么数学知识来解决这个问题？学生答：根据“直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”来解决.师生一起解答：根据“直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”，即∠A的对边斜边=BCAB=1教师问:类比上面的问题，如果使出水口的高度为50m，如图所示，那么需要准备多长的水管？（出示课件5）学生讨论后作答：∠A的对边斜边=B'C'AB'AB′＝2B′C′＝2×50＝100m所以需要准备100m长的水管.教师问:对于有一个锐角为30°的任意直角三角形，30°角的对边与斜边有怎样的数量关系？可以用一个怎样的式子表示呢？学生回答:30°角的对边是斜边的2倍，∠A的对边斜边=归纳总结：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于12教师问：在直角三角形中，如果锐角的大小发生了改变，其对边与斜边的比值还是吗？例如：如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比BCAB，你能得出什么结论？（出示课件6）

学生独立解决问题，利用勾股定理，得出AB=2BC，体会数学结合思想.教师加以指导。师生共同总结：在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于22教师归纳总结：（出示课件7）在Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于12，它是一个固定值；当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于2教师问：类比前面的结论进行猜想，一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？（出示课件8）思考下面问题：任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′＝α，那么与有什么关系？你能解释一下吗？（出示课件9）师生共同探究,合作交流寻找规律:由已知条件得出Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，可以得到ABA'B'=教师讲解：在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值.这个固定值随锐角A的度数的变化而变化，由此我们给这个“固定值”以专门的名称.（出示课件11）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA=∠A的对边斜边教师问：当∠A＝30°时，∠A的正弦为多少？当∠A＝45°时呢？师生一起总结：当∠A＝30°时，sinA=sin30°=12当∠A＝45°时sinA=sin45°=22教师强调：（出示课件12）1.sinA是一个完整的符号，它表示∠A的正弦，记号里习惯省去角的符号“∠”.正弦的三种表示方式：sinA、sin56°、sin∠DEF；2.sinA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与斜边的比；3.sinA不表示“sin”乘“A”.考点1：利用正弦的定义求有关角的正弦值.例如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．（出示课件13）师生共同讨论解答如下：解：（1）在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=因此sinA=BCAB=35（2）在Rt△ABC中,sinA=BCAC=AB2-BC2因此sinB=ACAB=12考点2：在平面直角坐标系内求锐角的正弦值.例如图，在平面直角坐标系内有一点P(3，4)，连接OP，求OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值.（出示课件16）学生独立思考后，师生共同解答.解：如图，过P点向x轴作垂线交于点A，坐标为A(3，0).在Rt△APO中，由勾股定理得OP=OA2+因此sin𝛼=APOP总结点拨：（出示课件17）结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向x轴或y轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解.出示课件18，学生自主练习后口答，教师订正.考点3：利用正弦求直角三角形的边长.例如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=13，师生共同分析：已知sinA及∠A的对边BC的长度，可以求出斜边AB的长.然后再利用勾股定理，求出AC的长度，进而求出sinB及Rt△ABC的面积.一生板演，教师巡视并加以指导.（出示课件20）师生共同归纳：（出示课件21）1.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=k，sinB=h，AB=c，则BC=ck，AC=ch.2.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=k，sinB=h，BC=a，则AB=ak，AC=a出示课件22，学生自主练习，教师给出答案。考点4：利用方程和正弦求直角三角形中线段的长度例在△ABC中，∠C=90°，AC=24cm，sinA=725，师生共同讨论解答如下：解：设BC=7x，则AB=25x，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=AB2-BC即24x=24cm，解得x=1cm.故BC=7x=7cm，AB=25x=25cm.所以△ABC的周长为AB+BC+AC=7+24+25=56(cm).出示课件24，学生自主练习，教师给出答案.课堂练习（出示课件25-32）教师引导学生练习课件25-32相应题目，巩固本课知识点，约用时20分钟。课堂小结（出示课件33）本节课你有哪些收获？你还有什么困惑吗？（引导学生思考答复）师生一起提炼本节课的重要知识和必须掌握的技能：（1）在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值.（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA=∠A的对边课前预习预习下节课（28.1第2课时）的相关内容.知道余弦、正切、锐角三角函数的定义课后作业1、教材第64页练习第1,2题.2、课堂第98页第2、11题.板书设计：锐角三角函数（第1课时）概念：在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA=∠例题：教学反思：本节课的教学内容以实际生活中的问题情境呈现出来，给予学生亲切感，提高了学生的学习兴趣，让学生感受到了数学来源于生活。学生通过合作交流发现规律，能够深刻体会到学习的价值.在讲解正弦概念的时候，对正弦的写法给了特殊强调，并通过做练习题巩固对知识的理解.从教学过程看，和学生的交流做的不够，讲与练时间控制的不太好，学生计算能力有待加强.要学会换位思考，学会真正把课堂还给学生，让学生来做课堂的主角。知能演练提升能力提升1.如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,sinB=0.5,若AC=6,则BC的长为()A.8 B.12 C.63 D.1232.如图,BD⊥AC,CE⊥AD,垂足分别为B,E,CE,BD相交于点M,则sin∠DME不等于()A.DEDM B.BCC.DBAD D.3.已知图①是一张直角三角形纸片ABC,如果用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个正三角形,如图②,那么在Rt△ABC中,sinB的值是()A.12 B.32 C.1 D4.在Rt△ABC中,若∠C=90°,AB=10,sinA=35,则BC的长为.5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,D为垂足.若AC=4,BC=3,则sin∠ACD的值为.

6.在菱形ABCD中,若DE⊥AB,垂足是E,DE=6,sinA=35,则菱形ABCD的周长是.7.如图,已知直线l1∥l2∥l3∥l4,相邻两条平行直线间的距离都是1.如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上,那么sinα=.

8.如图,PA与☉O相切于点A,PC经过☉O的圆心,且与该圆相交于B,C两点.若PA=4,PB=2,则sinP=.

9.如图,已知角α终边上一点P的坐标为(5,2),求角α的正弦值.创新应用★10.在Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,∠C=90°,c=5,a,b是关于x的一元二次方程x2-mx+2m-2=0的两个根,求Rt△ABC中较小锐角的正弦值.

知能演练·提升能力提升1.C2.D3.B根据题意,两张相同的这种纸片恰好能拼成一个正三角形,可知∠A=30°.设BC=x,则AB=2x.根据勾股定理得AC=(2x所以sinB=ACAB=3x4.6由正弦的定义,得sinA=BCAB,即BC10=355.46.407.55如图,过点D作EF⊥l4,容易推出△ADE≌△DCF,可得AE=DF=2,进而可得AD=5,所以sinα=DE8.35如图,连接OA,则OA⊥PA所以在Rt△PAO中,OA2+PA2=PO2.设☉O的半径为x,则PO=x+2.所以x2+42=(x+2)2,解得x=3.所以PO=5,故sinP=OAOP9.解如图,过点P作