湖北省七市州2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

学年度下学期高二期末考试高二数学试卷满分：分，时间：分钟85分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知一组样本数据的线性回归方程为的取值范围依次为246810的值为（）A.15B.20C.25D.30【答案】C【解析】【分析】根据回归直线过样本点的中心求解即可.【详解】,所以.故选：.2.已知函数满足，则的值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求出导函数，代入，即可得出答案.【详解】由已知可得，，则，所以，.第1页/共18页故选：A.3.已知等差数列的前项和为，若，则（）A.100B.C.D.120【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合等差数列的性质和等差数列的求和公式，即可求解.【详解】因为等差数列中，，可得，由等差数列的性质，可得.故选：B.4.已知正项等比数列的前项和为，若，则（）A.2B.3C.4D.5【答案】D【解析】q项和公式计算可得答案.【详解】设数列公比为q，因，则，由题可得，则，则或（舍去）.则.故选：D.5.已知函数，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】第2页/共18页【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，利用单调性和奇偶性即可求解.【详解】由题意得的定义域为，因为，所以为奇函数，又，所以在上为单调增函数，由得，所以，所以不等式的解集为.故选：B.6.某校将开展三项不同的社会实践活动，现招募了5名学生志愿者参与.要求每个活动项目至少安排1名志愿者，至多安排2名志愿者.已知学生甲和乙是好朋友，须一起参与同一个活动项目，那么不同的人员分配方案共有（）种?A.18B.24C.30D.36【答案】A【解析】【分析】先分组，再排列即可求解.【详解】.故选：.7.某校举办定点投篮挑战赛，规则如下：每位参赛同学可在两点进行投篮，共投两次，第一次投篮点可在点投中得2分，在点投中得3分，未投中均得0分，各次投中与否相互独立.已知小明在点投中的概率为0.8，在点投中的概率为0.3，记小明投篮总得分为，则=（）A.B.C.D.【答案】C【解析】点投中，第二次在点未投中，然后根据独立事件概率公式计算即可.第3页/共18页详解】要得分，包括两种情况：情况一：第一次选投中（得未投中；情况二：第一次选未投中，第二次选投中（得分）.记A=“在A处投中”，B=“在B处投中”则.故选：C.8.若函数的图象与直线恰有两个公共点，则的取值范围为（）A.或B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求导，利用导数研究单调区间，进而得函数的图像，利用数形结合即可求解.【详解】由题意有，令有，由有，有，所以的单调增区间为，单调减区间为，所以的极小值为，当时，，作出函数的图像：由图可知与恰有两个公共点，所以，故选：C.36分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.第4页/共18页，下列选项正确的是（）A.长为B.异面直线与所成角的余弦值为C.D.【答案】ACD【解析】【分析】以为一组基底，将用基底表示，得，利用数量积的运算即可求解，进而判断A，先求，利用向量的夹角公式即可判断B，计算和即可判断CD.【详解】由题意有：，所以，所以，故A正确；，所以，所以第5页/共18页所以，故B错误；由，，所以，所以，故C正确；由，所以，故D正确；故选：ACD.10.已知数列的前项和为，则下列说法正确的有（）A.若，则数列是以2为公比的等比数列B.若，则数列是以2为公差的等差数列C.若，则数列是以1为公差的等差数列D.若，则数列是以为公差等差数列【答案】BC【解析】【分析】本题可根据数列的前项和与的关系、等差数列和等比数列的定义，对选项逐一分析即可.【详解】对于选项A，已知，当时，；当时，.当时，，所以数列不是等比数列，A错误.第6页/共18页对于选项B，由，两边取倒数可得，即.又，则，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，B正确.对于选项C，由，两边同时除以可得：，即.又，则，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，C正确.对于选项D，由，移项可得，两边同时除以得.又，则，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，D错误.故选：BC.已知函数在处的切线方程为）A.B.函数的单调递增区间为C.若，则的取值范围为D.若成立，则实数取值范围为【答案】ACD【解析】【分析】求得，根据题意，列出方程组，求得的值，可判定A正确；根据复合函数的单调性，列出不等式组，可判定B不正确；把不等式转化为，令，求得，求得的单调性，可判定C正确；由时，求得，求得的单调性与最值，可判定D正确.第7页/共18页【详解】对于A中，由函数，可得，因为在处的切线方程为，所以，即，解得，所以A正确；由知，函数，；对于B中，要求函数的单调递增区间，则应满足，即，解得或，所以的单调增区间为，所以B不正确；对于C中，由，可得，当时，显然成立；当时，则不等式，即为，令，则，当时，可得；当时，可得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，因为当时，，又，所以当时，，综上，当时，，第8页/共18页所以时，，所以C正确；对于D中，当时，，所以在上单调递增，所以，所以D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分.12.已知随机变量，且，则_________.【答案】6【解析】【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求解.【详解】，所以，所以.故答案为：6.13.已知，则___________.【答案】【解析】【分析】由题意得，利用二项式定理即可求解.【详解】由题意有：∵∴.故答案为：14.已知函数，记的极值点为和，且.若和分别是等差数列的第1项和第3项，且和分别是等比数列的第1项和第2项.设数列满足，则的前项和为_____________.【答案】第9页/共18页【分析】通过对求得，令，可求得极值点和，进而可求得数列和的通项公式，代入，结合裂项相消法可求得数列的前项和.【详解】由，得，令，解得：，因为和分别是等差数列的第1项和第3项，即，，所以，又和分别是等比数列的第1项和第2项，，，所以，所以，设的前项和为，则.故答案为：.四、解答题（本题共5小题，共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.从某学校获取了容量为400理如下：单位：人语文成绩数学成绩合计不优秀优秀不优秀160100260优秀合计200200400（1）在这400人中随机抽一人，语文和数学都优秀和都不优秀的概率各是多少？第10页/共18页附：.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）；（2）认为数学成绩和语文成绩有关联【解析】1）根据表中数据计算相应概率即可；（2）根据公式求出，与临界值比较判断即可.【小问1详解】记=“语文和数学都优秀”，=“语文和数学都不优秀”则，；小问2详解】零假设为：数学成绩与语文成绩无关联，根据列联表中的数据，计算得：，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为数学成绩和语文成绩有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.16.已知函数.（1）若，求的极值；（2）若，且，成立，求实数的取值范围.第11页/共18页【答案】（1）极大值为，无极小值（2）【解析】1）利用导数分析函数单调性，再根据极值定义求解即可；（2小值即可求解.【小问1详解】当时，，，当时，；时，，所以在区间上单调递增，在上单调递减，所以当时，有极大值，无极小值；【小问2详解】当时，，则，由得，，设，则，由，当时，，所以的取值范围为.第12页/共18页（1）求证：数列为等比数列；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】1）利用与的关系式，及构造法即可证明；（2）利用错位相减法即可求解.【小问1详解】证明：①当时，，②当时，，则，整理得：∴，又，∴是以2为首项，4为公比的等比数列；【小问2详解】由（1）得：，∴，∴，①，②由②①得：，第13页/共18页∴18.10比对方多2分或两人得分之和达到6分时停止比赛.设甲在每局中获胜的概率均为赛结束时比赛停止的概率为，且各局胜负相互独立.（1）求；（2）记表示比赛停止时已比赛的局数，求的分布列及数学期望；（3）若不限定局数（即删去两人得分之和达到6为比赛进行局后仍未停止比赛的概率，求数列的通项公式.【答案】（1）（2）分布列见解析，（3）【解析】1）第二局比赛结束时比赛停止，即甲连赢2局或连输2局，列式即可求解；（2）的可能取值为246，结合题意分析列式求出相应概率，列出分布列，再根据期望公式求解即可；（3）当为奇数（）时，第局没有停，甲乙得分均为分，则，当为偶数时，，利用等比数列的通项公式即可求解.【小问1详解】由得：或，∵，∴；【小问2详解】的可能取值为2，4，6，由（1）知，当时，，第14页/共18页，所以的分布列如表所示：246的均值为；【小问3详解】由题可得，当为奇数（）时，第局没有停，甲乙得分均为分，则，当为偶数时，，∴当为偶数时，数列是以为首项，为公比的等比数列，∴，当为奇数时，为偶数，∴，当时，也满足.所以通项公式.19.已知双曲线的离心率为2，且过点.（1）求双曲线的方程；（2）设直线与双曲线交于两点，若以为直径的圆经过双曲线的左顶点第15页/共18页（均不与点重合）.求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标；（3）在（2）的条件下，若直线分别与两渐近线交于两点，问是否存在实数使得是线段的两个三等分点？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）证明见解析，答案见解析（3）不存在，理由见解析【解析】1）根据双曲线的离心率及关系式，结合题意即可求解；（2）设，联立直线与双曲线的方程，结合韦达定理得出，由题意得表示方程即可证明并求解；（32，若是线段的两个三等分点，则，列式解方程即可判断.【小问1详解】由题知：，得，∴双曲线的标准方程为：.【小问2详解】设，点，由，得：，则第16页/共18页由于以为直径的圆过点，∴，即