湖南省长沙市雅礼教育集团2024-2025学年高二下学期6月期末考试数学试卷

雅礼教育集团年上期期末考试高二数学试卷命题人：蒋志华审题人：孙密莲85分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，若，则实数（）A.B.0C.1D.2【答案】B【解析】【分析】根据元素与集合的关系可得或，由集合的互异性检验即可得出答案.【详解】因为，，所以或则．即故选：B．2.已知一个球的表面积与体积的数值相等，则这个球的体积为（）A.3B.12C.D.【答案】C【解析】【分析】利用球体的表面积公式、体积公式列方程求半径，进而求其体积.【详解】若球的半径为，则有，可得，所以这个球的体积为.故选：C3.设函数的定义域为，则“，”是“函数为增函数”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件第1页/共19页【解析】【详解】试题分析：由增函数定义知：若函数为增函数，则，，必要性成立；反之充分性不成立，如非单调函数，，所以选B.考点：充要关系4.已知，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式结合同角三角函数的关系化弦为切即可得解.【详解】.故选：C.5.已知向量，在方向上的投影向量为，则（）A.B.C.6D.12【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求解即得.【详解】依题意，在方向上的投影向量为，则，而，所以.故选：A6.已知随机变量，，，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】第2页/共19页【详解】由随机变量服从正态分布，其正态分布分布曲线的对称轴为直线，则，所以，且，，即，所以，当且仅当，即时，取等号.故选：C.7.设，则的值为（）A.20B.－20C.160D.－160【答案】D【解析】【分析】先求出的通项，令，即可求出的值.【详解】因为的通项为：，令，则，故选：D.8.如图，在正方体中，是棱的中点，点在棱上，且，若平面，则（）A.B.C.D.【答案】C第3页/共19页【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，根据线面平行可得，运算求解即可.或利用线面平行的判定结合条件可得.为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､角坐标系，设正方体的棱长为1，则，，可得，设是平面的法向量，则，令，则，即，由，且，可得，又因为，则，由平面，可得，解得.解法二：如图，取中点，连接，易证，所以平面即为平面，易知当为的中点时，，平面，平面，从而平面，所以.第4页/共19页故选：C.二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列有关复数的说法中（其中i）A.B.复数的共轭复数的虚部为4C.若复数z满足，则的最大值为2D.若是关于x的方程的一个根，则【答案】BC【解析】【分析】计算可判断A；根据共轭复数的定义可判断B；求出的轨迹为圆，圆上的点到原点的距离最大值为2，可判断C；得到为方程的另一个根，根据韦达定理计算可得判断D.【详解】A选项，，故A错误；B选项，复数的共轭复数为，故虚部为，故B正确；C选项，若复数z满足，则z的轨迹为复平面内，以为圆心，1为半径的圆，此圆上的点到原点的距离，最大值为2，即到原点距离，故的最大值为2，故C正确；D选项，是关于x的方程的一个根，为方程另一个根，故，D不正确.故选：BC10.已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（）第5页/共19页A.数列为递减数列B.当且仅当时，取得最大值C.D.是等比数列【答案】ACD【解析】【分析】求出数列的通项公式，再作差可判断A选项；结合二次函数可判断B选项；利用降标作差可判断C选项；利用等比数列的定义可判断D选项.【详解】由题意可知，，则，故数列为递减数列，故A正确；因二次函数的对称轴为，且开口朝下，则当或时，取得最大值，故B错误；当时，，则，又，符合上式，故，故C正确；令，则，则是等比数列，故D正确.故选：ACD设函数，则（）A.的图象有对称轴B.是周期函数C.在区间上单调递增D.的图象关于点中心对称第6页/共19页【解析】【分析】A选项由偶函数得到轴是其中一条对称轴；B选项用周期的定义找到其中一个周期为；C选项通过两个特殊点函数值的大小判定函数在区间不是单调递增；D选项由中心对称的定义验证是否成立即可.【详解】∵，∴是偶函数，关于轴对称，故A正确；∵，∴是函数的一个周期，故B正确；，∵，，显然，故在区间上不单调递增，故C错误；，∴的图象关于点中心对称.故选：ABD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共分.12.已知函数为奇函数，则______.【答案】【解析】【分析】由题可得定义域，由可得，据此可得答案.第7页/共19页【详解】因，则，由于有意义，结合为奇函数，则，因此，故，则.故答案为：13.一个袋中装有大小质地相同的9个小球，其中白球2个，红球3个，黑球4个，现从中不放回地摸球，每次摸一球，则前三次能摸到红球的概率为__________.【答案】【解析】【分析】先求前三次中每一次都没有摸到红球的概率，进而得前三次均未摸到红球的概率，利用对立事件即可求得前三次至少有一次摸到红球的概率.【详解】袋中有非红球6个，则第一次没有摸到红球的概率为，第二次没有摸到红球概率为，第三次没有摸到红球的概率为，所以前三次均未摸到红球的概率为，所以前三次至少有一次摸到红球的概率为.故答案：.14.设函数，若且，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】画出函数的图象，判断的范围，进而可得，然后利第8页/共19页用导数研究函数的性质，进而推出的取值范围．详解】解：函数，若且，如图画出函数的大致图象，由已知条件可知：，，，，由，故在为减区间，，的取值范围是：．故答案为：．四、解答题：本大题共5小题，共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，角所对的边分别为，，角的平分线交于点，且．第9页/共19页（1）求的大小；（2）若，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】1）利用正弦定理把边化成角，进而求解；（2）由三角形面积公式并利用可得，再由余弦定理即可求得，由三角形的面积公式可得结果.【小问1详解】因为，所以由正弦定理可得．因为，所以，所以，故，又因为，所以．【小问2详解】由题意可知，即，化简可得．在中，由余弦定理得，从而，解得或则．16.随着网络App的普及与发展，刷“抖音”成为了人们日常生活的一部分.某地区随机抽取了部分20～40岁的“抖音”用户，调查他们日均刷“抖音”的时间情况，所得数据统计如下表：第10页/共19页男性4872女性2456（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为日均刷“抖音”时间的长短与性别有关？（2）现从被调查的日均刷“抖音”时间超过2小时的用户中，按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取3名用户参加抖音知识问答，已知男性用户、女性用户顺利完成知识问答的概率分别为，，每个人是否顺利完成知识问答相互独立，求在有且仅有2人顺利完成知识问答的条件下，这2人性别不同的概率.参考公式：，其中.参考数据：010.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）无关；（2）.【解析】1）由题意可得列联表，再计算，对比临界值表即可得解；2人顺利完成知识问答的概率和这2人性别不同的概率，再根据条件概率公式求解即可.【小问1详解】由题意，列联表如下：性别日均刷“抖音”时间超过2小时日均刷“抖音”时间不超过2小时合计男性女性合计第11页/共19页则，故依据小概率值的独立性检验，我们推断零假设成立，即日均刷“抖音”时间的长短与性别无关.【小问2详解】由分层随机抽样可知，抽取男性用户2人，女性用户1人.记“有且仅有2人顺利完成知识问答”为事件2人性别不同”为事件，则，，故.17.如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，，，为的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）.第12页/共19页（3）.【解析】1）只需证明，然后结合线面平行的判定定理即可得证；（2的方向向量与平面的法向量即可求解；（3）容易知道是平面的一个法向量，由公式结合二面角是钝角即可求解.【小问1详解】连接，设，连接.因为在三棱柱中，四边形是平行四边形，所以为的中点.因为为的中点，所以.又因为平面，平面，所以平面.【小问2详解】因为，，平面，所以平面，平面，所以.又，所以，，两两相互垂直.如图建立空间直角坐标系.第13页/共19页则，，，，.所以，.设平面的法向量为，则即令，则，.于是.因为所以.直线与平面所成角的正弦值为.【小问3详解】因为平面，所以是平面一个法向量.所以.由题设，二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.18.已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆的方程；第14页/共19页（2，分别为椭圆且斜率为的直线交椭圆于另一点（异轴于点，直线与直线相交于点.求证：直线的斜率为定值.【答案】（1）2）证明见解析.【解析】1）根据条件求出，即可写出椭圆方程；（2）设直线的方程为，联立直线与椭圆，可表示出坐标，继而得出直线的方程，令可得的坐标，即可求出直线的斜率并得出定值.1）设椭圆的焦距为，则①，②，又③，由①②③解得，，，所以椭圆的标准方程为.（2）证明：易得，，直线的方程为，因为直线不过点，所以，由，得，所以，从而，，直线的斜率为，故直线的方程为.令，得，第15页/共19页直线的斜率.所以直线的斜率为定值.【点睛】本题考查椭圆的方程的求法，考查椭圆中的定值问题，属于中档题.19.“差商有界”函数和“广义差商有界”函数的定义，即若函数在区间上有定义，并且存在一个正数，使得且，不等式恒成立，则称在上为“差商有界”函数；若函数在区间上有定且在上为“广义差商有界”函数.（1在区间上是否是“差商有界”是，请讨论是否是“广义差商有界”函数?（2）已知函数.（i）判断在区间上是否是“差商有界”函数？并说明理由；（ii）若在区间上是“广义差商有界”函数，求正整数的最小值.【答案】（1）不是“差商有界”函数，是“广义差商有界”函数（2【解析】1）利用函数新定义求解即可；（2i）利用函数新定义结合导数分析在区间上单调递减，得到与①矛盾的结果即可；（ii）结合函数新定义构造函数，利用导数分析其单调性求出的最小值，再构造函数，利用导数找到其隐零点可得.【小问1详解】在上不是“差商有界”函数.理由如下：第16页/共19页恒成立，即，可见;取，代入，得，即，产生矛盾，故在上不是“差商有界”函数.在上是“广义差商有界”函数.证明如下：设且，即，又，所以，其中.故在区间上是“广义差商有界”函数.【小问2详解】(i)在区间上不是“差商有界”函数.理由如下：，当时，，则在区间上单调递减.取(其中)且，若满足，则，即.①设，则，所以在区间上单调递减，从而，即，这与①矛盾，第17页/共19页(ii)由，得，令，则.设，则，则，即，即，即.