第02讲解一元二次方程（知识解读题型精讲随堂检测）

第02讲解一元二次方程知识点1：解一元二次方程直接开方知识点2：解一元二次方程配方法知识点3：解一元二次方程公式法知识点4：解一元二次方程因式分解法知识点5：一元二次方程的根与系数关系（2）降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程（3）方法是根据平方根的意义开平方【题型1解一元二次方程直接平方】【典例1】解方程：2【答案】x1=3【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法成为解题的关键．直接运用直接开平方法求解即可．【详解】解：2x−1x−12x−1=±2，x=3或x=−1．所以该方程组的解为：x1=3或【变式1】解方程2x+12【答案】x1=0【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案．【详解】解：原方程可变形为2x+12∵2x+1是1的平方根，∴2x+1=±1．解得x1=0，【变式2】用适当的方法解方程：3x−1【答案】x1=0，【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟知方程特点选择适当的解法是正确解决本题的关键，用直接开平方法或因式分解法都可以．【详解】解：3x−1开方得，3x−1=x−1或3x−1=−解得x1=0，【变式3】解下列方程：9x−1【答案】x1=5【分析】本题考查了解一元二次方程．运用直接开平方法解一元二次方程，即可作答．【详解】解：整理得x−12∴x−1=±2即x−1=23或解得：x1=5用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．总结：【题型2解一元二次方程配方法】【典例2】解方程：x【答案】x1=8【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用配方法解一元二次方程成为解题的关键．直接运用配方法求解即可．【详解】解：x2x2x2x−22∴x−2=±6,∴x1【变式1】用适当的方法解下列一元二次方程：2x【答案】x1=【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，开方即可求出解．【详解】解：2x方程变形得：x2配方得：x2−3x+9开方得，x−3解得：x1=3+【变式2】用配方法解方程：2x【答案】x【分析】本题考查了运用配方法解一元二次方程，先把二次项系数化1，得x2−2x−1【详解】解：∵2x∴x2∴x2∴x2则x−12∴x−1=±∴x1【变式3】用配方法解方程：12【答案】x【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行平方，进而解方程即可．【详解】解：∵12∴x2∴x2∴x2∴x2∴x−32∴x−3=±19解得x1用公式法求一元二次方程的一般步骤：【题型3根据一元二次方程判断根的情况】【典例3】一元二次方程x2A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，求出Δ=【详解】解：∵Δ=3∴一元二次方程有两个不相等的实数根，故选：A．【变式1】方程x2+2x+1=0的根的情况是（A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根 D．无实数根【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式求解即可，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．【详解】解：∵Δ=∴方程x2故选：C．【变式2】一元二次方程x−1x+1A．没有实数根 B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，先把方程整理成一般式，再求出Δ=【详解】解：方程整理得，x2∵Δ=∴方程有两个不相等的实数根，故选：D．【变式3】下列一元二次方程中，无实数根的是（

）A．x2−2x−3=0 C．x2−2x+1=0 【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根与Δ=b2【详解】解：A、Δ=B、Δ=C、Δ=D、Δ=故选：D．【题型4根据一元二次方程根的情况求参数】【典例4】若关于x的一元二次方程a−1x2+2x+1=0有实数根，则实数aA．a≤2 B．a<2 C．a≤2且a≠1 D．a<2且a≠1【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，a，b，c【详解】解：∵关于x的一元二次方程a−1x∴二次项系数a−1≠0，即a≠1．Δ=22−4⋅a−1解得a≤2．∴a≤2且a≠1故选：C．【变式1】已知关于x的一元二次方程x2−3x+m+1=0有实数根，则实数m的取值范围是（A．m<54 B．m≥54 C．【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟知方程有实数根对应方程的判别式非负是解题的关键；根据一元二次方程有实数根的条件，判别式非负，代入方程系数计算判别式，解不等式即可确定m的取值范围．【详解】解：对于方程x2−3x+m+1=0，其判别式为：方程有实数根需满足Δ≥0，即：5−4m≥0解得m≤5故选：D．【变式2】若关于x的方程x2−2kx+4=0有两个相等的实数根，则k的值为（A．2 B．−2 C．1或−1 D．2或−2【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，牢记“当Δ=由方程有两个相等的实数根，可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：∵方程x2∴Δ=解得：k=2或−2．故选：D．【变式3】已知关于x的一元二次方程2x2+x−m=0没有实数根，则m【答案】m<−【分析】本题考查根的判别式，根据方程没有实数根，得到Δ<0【详解】解：由题意，得：Δ=解得：m<−1故答案为：m<−1【题型5解一元二次方程公式法】【典例5】解方程：x2【答案】x1=2+【分析】本题考查了解一元二次方程；先求出Δ=【详解】解：a=1，b=−4，c=−1，Δ==20>0，∴x=−∴x1=2+【变式1】解方程：x+1x−3【答案】x1=1+【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用公式法解一元二次方程成为解题的关键．先将方程化成一般式，然后再运用公式法求解即可．【详解】解：原方程可化为x2−2x−5=0∵Δ=∴x=−∴x1【变式2】用公式法解方程4x【答案】x1=【分析】此题考查了公式法解一元二次方程．根据一元二次方程的一般形式得到a=4，b=−6，c=−3，计算得到Δ=84>0【详解】解：4∵a=4，b=−6，c=−3，∴Δ=∴x=6±解得x1=3+【变式3】解方程：x2【答案】x1【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．利用公式法解方程即可．【详解】解：∵x2∴a=1，∴Δ=∴x=1±解得x1因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下：（1）移项，使方程的右边化为零；（2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积；（3）令每个因式分别为零；（4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。【题型6解一元二次方程因式分解法】【典例6】解方程(1)x(2)(x−4)【答案】(1)x1=5，(2)x1=4【分析】本题考查的是一元二次方程的解法；掌握公式法与因式分解的方法解方程是关键．（1）利用因式分解法解方程即可；（2）分解因式为x−4x−4【详解】（1）解：x−5x+1解得：x1=5，（2）解：整理，得：x−42因式分解，得：x−4x−4即：x−4=0或x−14=0，解得：x1=4，【变式1】解方程：x【答案】x1=5【分析】本题可通过因式分解的方法，将二次方程转化为两个一次方程来求解，即把x2−4x−5=0左边因式分解为(x−5)(x+1)，再令每个因式等于【详解】解：x2(x−5)(x+1)=0，x−5=0或x+1=0，∴x1=5【变式2】解方程：x2【答案】x1=2【分析】本题考查解一元二次方程，运用因式分解法求解即可．【详解】解：因式分解，得x−2x+5∴x−2=0或x+5=0，解得x1=2，【变式3】解方程：x−1=x−1【答案】x1=1【分析】本题考查了解一元二次方程．利用因式分解法解一元二次方程即可得解．【详解】解：∵x−1=x−1∴x−1−∴x−11−∴x−1=0或1−x+3∴x1=1，解题技巧：当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理【题型7根与系数的关系】【典例7】已知一元二次方程x2+x−2=0的两个根是x1，x2，则A．−2 B．2 C．−1 D．1【答案】D【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“x1,x2是一元二次方程【详解】解：由方程x2+x−2=0可知，根的和根的积x1将x1+x2=−1得：−1−(−2)=−1+2=1．故选：D．【变式1】若关于x的一元二次方程x2+x−2025=0的两个解是x1=m，x【答案】−2026【分析】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x【详解】∵关于x的一元二次方程x2+x−2025=0的两个根是x1∴mn=−2025，m+n=−1∴m+n+mn=−1−2025=−2026故答案为：−2026．【变式2】若实数a、b是一元二次方程x2−4x+3=0的两个根，则1a【答案】43/【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，由根与系数的关系得到a+b=4，【详解】解：∵实数a、b是一元二次方程x2∴a+b=4，∴1==4故答案为：43【变式3】若一元二次方程2x2−6x−1=0的两根为α, β【答案】10【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，先根据题意得到2α2−6α−1=0，α+β=−−62【详解】解：∵一元二次方程2x2−6x−1=0∴2α2−6α−1=0∴2α∴2α故答案为：10．一、单选题1．利用“配方法”解方程x2−4x−7=0，配方结果正确的是（A．(x−2)2=11 C．(x−4)2=11 【答案】A【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握配方法成为解题的关键．直接运用配方法求解即可．【详解】解：x2x2x2x−22故选：A．2．若x1、x2是方程x2A．−1 B．1 C．6 D．−6【答案】A【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个根为x1，x【详解】解：∵x1，x2是方程∴x1故选：A．3．一元二次方程x2−x+1=0的实数根的情况是（A．有两个不相等的实数根 B．无实数根C．有两个相等的实数根 D．有实数根【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟知判别式小于0时，方程无实数根是解题的关键；根据一元二次方程的判别式进行解答即可.【详解】解：因为方程的判别式Δ=所以一元二次方程x2故选：B.4．若关于x的一元二次方程x2+mx+4=0有两个相等的实数根，则实数A．−4 B．4 C．4或−4 D．16【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，理解方程有两个相等的实数根是关键．根据题意得到Δ=m【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2∴Δ=m解得，m=±4，∴实数m的值为4或−4，故选：C．二、填空题5．已知m,n是一元二次方程x2−4x−1=0的两根，则m+n=【答案】4【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，根据x1【详解】解：∵m,n是一元二次方程x2∴m+n=−−4故答案为：4．6．方程xx−1=0的根是【答案】x【分析】本题考查了因式分解求一元二次方程的解，掌握因式分解的计算是关键．根据因式分解法求一元二次方程的解的计算方法求解即可．【详解】解：xx−1∴x=0或x−1=0，∴x1故答案为：x17．关于x的一元二次方程x2−6x+k=0无实数根，则k【答案】k>9/9<k【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0根的情况与根的判别式Δ=b2−4ac的关系：当【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2∴Δ=解得k>9，故答案为：k>9．8．已知二元一次方程x2−2x−m=0的两根之积为−3，则m=【答案】3【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若x1，x2为方程的两个根，则【详解】解：设x1，x∴x1x∴m=3故答案为：3．9．设m, n是方程x2+x−2025=0的两个实数根，则【答案】−1【分析】本题主要考查一元二次方程的解及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程的解及根与系数的关系可进行求解．【详解】解：∵m，n是方程x2∴m2+m−2025=0，m+n=−1，∴m==2025−1−2025=−1；故答案为−1．三、解答题10．解下列方程．(1)x2−6x+5=0；(2)(3)x2−3x=0；(4)【答案】(1)x1=5，(2)x1=2，(3)x1=0，(4)x1=2+6【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．（1）利用十字相乘法进行因式分解，求解即可；（2）移项后，提公因式法进行因式分解，求解即可．（3）利用因式分解法求解即可；（4）利用配方法求解即可．【详解】（1）xx−5x−5=0或x−1=0解得x1=5，（2）x−2x−2x−2x−2x−2x−2=