与平行线有关的计算问题（4大题型提分练）（解析版）-2024-2025学年北师大版七年级数学下册

（北师大版）七年级下册数学《第2章相交线与平行线》

专题与平行线有关的计算问题

题型归纳

题型一直接利用平行线的性质或判定求角度

1.（2024秋•洛阳期末）如图，AB//CD,/MEB=40°,贝!|NC尸E=（）

【分析】根据邻补角概念，得到NAEM=140。，再利用两直线平行，同位角相等，得至

140°,得到结果.

【解答】解：•.•/ME2=40°,

/.ZAEM=180°-ZMEB=140°,

'：AB//CD,

：.ZCFE=ZAEM=140°,

故选：D.

【点评】本题考查了平行线的性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

二2.如图，DALAB,CD±DA,NB=56°,则/C的度数是（）

A.154°B.144°C.134°D.124°

【分析】根据平行线的判定和性质定理即可得到结论.

【解答】解：・・・D4_LA3,CD±DA,

：.ZA=ZD=90°,

AZA+ZD=180°,

J.AB//CD,

AZB+ZC=180°,

VZB=56°,

AZC=180°-ZB=124°,

故选：D.

【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键.

3.（2024秋•高新区期末）如图，AB//CD,若Nl=52°,Z2=120°,则N3的度数为（）

2

CD

A.68°B.60°C.52°D.48°

【分析】根据两直线平行，同旁内角互补得出N2+ND4B=180。，即可求出的度数，再根据平

角的定义即可求出N3的度数.

【解答】解：:AB〃CO,

.•.Z2+ZDAB=180°,

•.,Z2=120°,

：.ZDAB^6Q°,

VZ1=52°,

.,.Z3=180°-Z1-ZZ）AB=180°-52°-60°=68°,

故选：A.

【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

4.（2024秋•遂平县期末）如图.直线。〃6,直线L与a、b分别交于点A、B,过点A作于点C.若

Zl=50°,则/2的度数为（）

A.130°B.50°C.40°D.25°

【分析】直接利用垂直的定义得出/ACB=90。，再利用平行线的性质得出答案.

【解答】-：AC±b,

：.ZACB=90°,

VZl=50°,

ZABC=4Q°,

"：a//b,

：.ZABC=Z2=40°.

故选：C.

【点评】此题主要考查了垂线以及平行线的性质，正确得出NABC的度数是解题关键.

5.如图，一个由4条线段〃，b,c,d组成的“鱼”形图案，若Nl=45°,Z2=45°,N3=140°,则

Z4的度数为（）

A.35°B.40°C.45°D.50°

【分析】先由Nl、N2的关系得到。与。的关系，再利用平行线的性质求出N4.

【解答】解：・.・N1=45°,Z2=45°,

・・・N1=N2.

.\b//c.

.*.Z3+Z4=180°.

VZ3=140°,

・・・N4=180°-140°=40°.

故选：B.

【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用.

6.（2024秋•泰兴市期末）如图，AB//CD,直线EF和A3、CD分别交于点G、H,若NEGB=（2x+30）

A.10B.20C.100D.110

【分析】根据平行线的性质和对顶角的性质，可以得到/EGB和/C”/的关系，然后即可求得x的值.

【解答】解：

:.NEGB=NEHD,

"：ZEHD=ZCHF,

：.ZEGB=ZCHF,

•：NEGB=(2x+30)°,ZCHF=(80-3x)°,

；.2x+30=80-3x,

解得x=10,

故选：A.

【点评】本题考查平行线的性质、对顶角的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

7.（2024秋•东坡区期末）如图，AB//CD,ZACD^155°,ZAFE^26°,则/CEF的度数为

【分析】先利用平行线的性质可得/A=25°,然后利用三角形的外角性质进行计算，即可解答.

【解答】解：,SAB//CD,ZACD=155°,

—180°-ZAC£>=25°,

是△AEF的一个外角，ZAFE=26°,

ZCEF=ZA+ZAFE=510,

故答案为：51°.

【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

8.如图，直线直线AG,BO分别交直线EF于点C,D.若/ECG=108°,则/

BDF的度数为°.

AB

1

【分析】由NECG=108°,AB//EF,可得NA=72°,而NA=2NB,知N3=»NA=36°；故NBDF=

NB=36°.

【解答】解：・.・NECG=108°,

ZAC£>=108°,

U：AB//EF,

：.ZA=180°-ZACD=72°,

ZA=2ZB,

1

：.ZB=1ZA=36°；

'：AB//EF,

:"BDF=NB=36°；

故答案为：36.

【点评】本题考查平行线的性质，掌握两直线平行，内错角相等，同旁内角互补是解题的关键.

9.（2024春•五莲县期末）如图，已知若/ABC=70°,ZC£>£=130°,则的度

数为.

【分析】由AB〃CF,ZABC=1O°,易求/BCF,5LDE//CF,ZCDE=130°,那么易求/OCR于是

ZBCD=ZBCF-NDC/可求.

【解答］解：\'AB//CF,/ABC=70°,

ZBCF=ZABC=70°,

又,：DE"CF,

：.ZDCF+ZCDE=18Q0,

ZDCF=50°,

:./BCD=/BCF-NDCF=1G-50°=20°.

故答案为：20。.

【点评】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补.

10.(2024秋•泉山区校级期末)如图，直线ABX/i,垂足为。，8C与八相交于点E,若Nl=41

求NABC的度数.

【分析】过2作由已知的即/ABO=90°,根据两条直线分别于第三条直线平行，则

这两条直线也平行，再根据两直线平行，内错角相等可求结果.

【解答】解：过3作〃/1,

'：AB±h,

：.ZABD=90°,

Vh//li,BD//h,

：.BD//h,

.".ZCBD=Z1=41°,

AZABC=ZCBD+ZABD=900+41°=131°,

NABC的度数为131

【点评】本题主要考查了平行线的性质、垂线的定义，解题关键是过点8作平行线.

11.(2024秋•商水县期末)如图，已知。E〃CB,/B=ND.

(1)判断A8、CD是否平行，并说明理由.

(2)若/2+/斤=102°,求/DE尸的度数.

AEB

【分析】(1)由平行线的性质可得NQ=N5CR从而可求得/BCF=NB,即可判定A3〃CD；

(2)由平行线的性质可得N8+NB£D=180°,/F=/BEF,结合条件即可求解.

【解答】解：(1)AB//CD,理由如下：

■:DE//CB,

:・ND=/BCF,

NB=ND,

：.ZBCF=ZB,

：.AB//CD；

(2)•:DE〃CB,

.,.ZB+ZBED=180°,

：・NB+NBEF+NDEF=18U°,

*：XB//CD,

：.ZF=ZBEF9

：.ZB+ZF+ZDEF=180°,

VZB+ZF=102°,

:・NDEF=78°.

【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的判定定理与性质并灵活运用.

12.(2024秋•长沙期末)如图，直线EF与CD交于点O,04平分NCOE交直线/于点A,05平分NQO石

交直线/于点3,且Nl+N2=90°.

(1)求NA05的度数；

(2)求证：AB//CD；

(3)若N2：N3=2：5,求NAO歹的度数.

E

AB

F

【分析】⑴利用角平分线的定义可得乙40E另NCOE,乙BOE=4乙DOE,然后利用平角定义，以及角

的和差关系进行计算，即可解答；

(2)利用(1)的结论可得：ZAOB=90°,从而利用平角定义可得：ZAOC+Z2=9Q°,然后利用同角

的余角相等可得/AOC=/1,从而利用内错角相等，两直线平行可得AB〃CD,即可解答；

(3)利用角平分线的定义可得N2=^ZDOE,从而可得NOOE：/3=4：5,然后利用平角定义可得/OOE+

Z3=180°,从而可得/3=100°,进而可得/COE=N3=100°,最后利用角平分线的定义可得/AOE

=50°,从而利用平角定义进行计算，即可解答.

【解答】(1)解：08分别平分/COE和/QOE,

11

・•・^AOE=5乙COE,乙BOE="DOE,

111I

AZAOE+ZBOE=^ZCOE+^ZDOE=(NCOE+NQOE)=^xl80°=90。,

AZAOB=90°,

・・・NA05的度数为90°；

(2)证明：由(1)得：NAO3=90°,

AZAOC+Z2=180°-ZAOB=1SO°-90°=90°,

VZ1+Z2=9O°,

・・・ZAOC=Z1,

：.AB//CD；

(3)解：・・・。5平分NDOE,

・•・N2=/DOE,

VZ2：Z3=2：5,

"DOE：N3=4：5,

VZZ)OE+Z3=180°,

Az.3=180°xf=100°,

；.NCOE=/3=100°,

平分NC0E,

1

乙AOE="COE=50°,

?.ZAOF=180°-ZAOE=130°,

NAOP的度数为130°.

【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题

的关键.

题型二借助学具的特征求角度

1.（2023秋•威宁县期末）一把直尺按如图所示摆放，AB//CD,且Nl=70°,则/2的度数是（）

【分析】根据题意可得：EF//HG,从而利用平行线的性质可得/1=/3=70°,然后再利用平行线的性

质可得/3=/2=70°,即可解答.

【解答】解：如图：

由题意得：EF//HG,

/.Zl=Z3=70°,

'：AB//CD,

.".Z3=Z2=70°,

故选：A.

【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

2.（2024秋•顺德区期末）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点。在BC边上，且NA=45°,Z

F=30°.若BC〃EF,则/CEO的度数是（）

D.20°

【分析】先利用平行线的性质可得NC=/CEQ=45°,然后利用角的和差关系进行计算，即可解答.

【解答】解：•.•BcaEF,

；.ZC=ZC£F=45°,

:NDEF=6Q°,

：.ZCED=ZDEF-ZCEF=15",

故选：C.

【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

3.（2024秋•长沙期末）如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若/1=53°,则/2的

度数为（）

A.53°B.47°C.37°D.27°

【分析】利用平行线的性质可得N3的度数，再利用平角定义可得答案.

'：AB//CD,

.,.N1=/AMN=53°,

.1.Z2=180°-90°-53°=37°,

故选：C.

【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等.

4.（2023秋•铜官区期末）如图，将一块含有45°角的三角板的两个顶点放在直尺的一组对边上.如果/

2=65°,那么N1的度数为（）

A.15°B.20°C.25°D.30°

【分析】根据题意N2=65°即可算出N3度数，再利用平行性质即可算出本题答案.

【解答】解：如下图所示：

VZ2=65°,一块含有45°角的三角板,

：.Z3=90a-65°=25°,

•••两个顶点放在直尺的一组对边上，

二/3=/4=25°,

.".Zl=45°-25°=20°,

故选：B.

【点评】本题考查平行线性质，关键是余角定义，角度计算.

5.（2024秋•新都区期末）如图，将含有30°的直角三角尺CAB（/C=60°）直角顶点A放到矩形。EFH

的边。E上，若/E42=15°,则/P0G的度数是（）

A.25°B.30°C.35°D.45°

【分析】先根据/EAB=15°,NCAB=90°得出/CAE的度数，再由板得出的度数，由三

角形内角和定理得出NCQM的度数，进而可得出结论.

【解答】解：VZEAB=15°,ZCAB=90°,

：.ZCAE=9Q°-15°=75°,

'JHF//DE,

：.ZCMF=ZCAE=15°,

VZC=60°,

：.ZCQM=180°-60°-75°=45°,

：.ZFQG=ZCQM=45°.

故选：D.

【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键.

6.将一副三角尺如图放置，其中/O=/54C=90°,ZF=30°,ZB=45°,则/BCE的度数为（）

A.105°B.120°C.150°D.165°

【分析】由ND=/A4C,利用“同位角相等，两直线平行”，可得出AC〃£>R利用“两直线平行，同位

角相等“，可求出/ACE的度数，结合/BCE=NACB-/ACE,可求出/8CE的度数，再利用邻补角互

补，即可求出NBCF的度数.

【解答】解：：/Z)=N54C=90°,

J.AC//DF,

二/4(7£=/尸=30°,

AZBCE=ZACB-ZACE=45°-30°=15°.

XVZBC£+ZBCF=180°,

AZBCF-180°-ZBCE=180°-15°=165°.

故选：D.

【点评】本题考查了平行线的判定与性质以及邻补角，根据各角之间的关系，求出NBCE的度数是解题的

关键.

7.(2024秋•南关区校级期末)如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位摆放，点、E、D、B、尸在同一条

直线上，若/A£)E=131°,则/。的度数为.

E

|||山1川中川川川川川川|\，4

\5678

C——

【分析】由平行线是的性质推出NGED=NAOE=131°,ZDBC+ZGED=180°,即可求出ND3c的度

数.

【解答】解：・・・A0〃£G,

：.ZGED=ZADE=131°,

。：EG//BC,

：.ZDBC+ZGED=1S0°,

：.ZDBC=49°.

故答案为：49°.

E

DA

1974nji|iiii|iiii|iiii|iiii|iiii|iiii|ini|

\5678

C

【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质得到ZDBC+AGED=1SQ0.

8.一副三角形板如图放置，DE//BC,NC=/DBE=90°,NE=45°,NA=30°,贝叱48。的度数

为___________

【分析】根据三角形内角和定理以及平行线的性质，即可得到/DC=45°,NA2=60据此可得NAB。的

度数.

【解答】解：Rt^ABC中，ZA=30°,

NABC=60,

'：BC//DE,ZEDB=ZE=45°,

：.ZDBC=45°,

AZABD=60°-45°=15°,

故答案为：15°.

【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等.

9.（2024秋•碑林区校级期末）一位同学把一副三角板在桌面上摆放成如图所示形状，若DE//AB,则/I

的度数为___________

【分析】先利用平行线的性质可得/。=/54尸=60。，然后利用平角定义进行计算即可解答.

【解答】I?：9：DE//AB,

：.ZD=ZBAF=60°,

VZCAB=45°,

AZl=180o-ZBAF-ZCAB=75°,

故答案为：75°.

【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

10.如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点厂在AC上，ZACB=90°,ZABC=60°,ZEFD=

90°,ZDEF=45°,AB//DE.则NA产。的度数是.

A.25°B.20°C.15°D.10°

【分析】利用三角板的度数可得NA=30°,ZD=45°,由平行线的性质定理可得N1=NO=45°,利

用三角形外角的性质可得结果.

【解答】解：如图，

VZACB=90°,ZABC=60°,

AZA=180°-ZACB-ZABC=180°-90°-60°=30°,

VZEFD=90°,ZDEF=45°,

：.ZD=180°-ZEFD-ZDEF=180°-90°-45°=45°,

\9AB//DE,

・・.N1=NO=45°，

：.ZAFD=Z1-ZA=45°-30°=15°,

故答案为：15°.

【点评】本题主要考查了平行线的性质定理和外角的性质，求出/A,ND的度数是解本题的关键.

H.（2023秋•莲湖区期末）如图，把一块三角板的60°角的顶点放在直尺的一边上，若/2=55

求/I的度数.

【分析】先根据两直线平行的性质，得到/3=/2,再根据平角的定义，即可得出/I的度数.

【解答】解：

?.Z2=Z3.

：/2=55°,

；./3=55°.

VZ1+6O0+Z3=180°,

AZ1=65°.

【点评】本题主要考查了平行的性质，解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等.

12.将一副直角三角板如图1摆放在直线MN上（直角三角板A8C和直角三角板EDC,ZEDC=90°,

ZDEC=60°,ZABC=90°,ZBAC=45°）,保持三角板EOC不动，将三角板ABC绕点C以每秒5°

的速度顺时针旋转，旋转时间为/秒，当AC与射线CN重合时停止旋转.

（1）如图2,当AC为/。CE的角平分线时，/=.

（2）当f=18时，求N8CO的度数？

（3）在旋转过程中，当三角板ABC的A8边平行于三角板EDC的某一边时（不包含重合的情形），求此

时/的值为.（直接写出答案即可）

【分析】（1）当AC为/DCE的角平分线时，可以求出旋转角，再根据旋转的速度即可求解.

（2）当f=18时，旋转角为90°,可求出NAC。，即可求出NBCD

（3）数形结合，分情况进行讨论即可.

【解答】解：（1）当AC为NOCE的角平分线时，旋转角为15°,

.15,

•，=下=3,

故答案为3.

（2）当f=18时，旋转角为90°,如图：

MECN

VZZ)CE=30°,NAC2=45°,

AZAC£>=60°,ZBCD=60°-45°=15°.

(3)当三角板ABC的A8边平行于三角板四C的某一边时，有3种情况:

①当A2〃DE时，如图：

t=(30+40)4-5=15,

②当A2〃CE时，如图:

/.ZBCE=ZB=90°,

AZACE=900+45°=135

."135+5=27,

AZBCD=ZD=90°,

AZACE=30°+90°+45°=165°,

•1=165+3=33.

综上所述，/=15或27或33.

【点评】本题考查旋转的性质，角平分线的性质，平行线的性质，关键在于数形结合，分类讨论.

题型三实际问题中抽象出平行线模型求角度

1.如图，万岁山大宋武侠城的两条小路A8〃CD,贝()

C

A.180°B.270°C.360°D.540°

【分析】作辅助线斯〃AB，然后根据平行线的性质，可以得到NBAE+NAEC+NEC。的度数.

【解答】解：过点E作E尸〃A8,如图：

"."AB//CD,

C.AB//CD//EF,

：.ZBAE+ZAEF=1SO°,ZF£C+ZECD=180°,

"：ZAEF+ZFEC=ZAEC,

：.ZBAE+ZAEC+ZECD^36Q°,

故选：C.

【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是熟练掌握平行线的性质，明确题意，利用数形结合的

思想解答.

2.（2024秋•雁塔区校级期末）如图，烧杯内液体表面A8与烧杯下底部平行，光线所从液体中射向

空气时发生折射，光线变成尸”，点G在射线E尸上.已知/HEB=18°,ZFED=56°,则/GFH的

度数为（）

A.34°B.36°C.38°D.56°

【分析】由平行线的性质推出NBFG二/尸即=56°,即可求出NGFH的度数.

【解答】解：:48〃CD,

：.ZBFG=ZFED=56°,

VZHFB=18°,

ZGFH=ZBFG-/HFB=38°.

故选：C.

【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出/FED

3.（2024秋•即墨区期末）生活中的椅子一般依据人体工学原理设计，如图为生活中一把椅子的侧面图，

从人体脊柱的形势而言，当靠背角度所=115°时，能产生较为接近自然腰部的形状，此时最舒适.已

知。E与地面平行，支撑杆8。与地面夹角/48。=50°,则制作时用螺丝固定时支撑杆8。和AF需构成

夹角NACB为（）

A.70°B.65°C.60°D.50°

【分析】先求出NDEC的度数，再求出NC4B的度数，最后求出NACB的度数.

【解答】解：：/。£尸=115°,

AZDEC=180°-NDEF=65°,

'：DE//AB,

:.NCAB=NDEC=65°,

VZABD=50°,

ZACB=180°-/ABD-/CAB=65°.

故选：B.

【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练运用平行线的性质.

4.当光从一种介质射向另一种介质时，光线会发生折射，不同介质的折射率不同.如图，水平放置的水

槽中装有适量水，空气中两条平行光线射入水中，两条折射光线也互相平行.若Nl=110°,则/2的度

数为（)

A.70°B.60°C.50°D.40°

【分析】根据题意可得：AB//CE,然后利用平行线的性质可得/ACE=70°,再利用两直线平行，内错角

相等可得N2=NACE=70°,即可解答.

由题意得：AB//CE,

.,.Zl+ZAC£=180°,

/.ZACE=180°-Zl=70°,

"：AC//BE,

；./2=/ACE=70°,

故选：A.

【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

5.（2024秋•即墨区期末）图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB,CD

都与地面1平行，ZBCD=68°,ZBAC=57°,AM与C8平行，则/MAC为（)

E

A

B

图①图②

A.55°B.57°C.68°D.125°

【分析】根据平行得到NA4C+NACD=180°,进而求出NACD的度数，ZACD-ZBCD求出NAC3

的度数，再根据两直线平行，内错角相等，即可得出结果.

【解答】解：8都与地面/平行,

：.AB//CD,

：.ZBAC+ZACD=1SO°,

AZACZ)=180°-57°=123°，

：.ZACB=ZACD-ZBCD=nr-68°=55°,

U：AM//CB,

：.ZMAC=ZACB=55°.

故选：A.

【点评】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键.

6.（2024•小店区校级开学）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用

是动力传输.如图2是乎动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB〃C£>,CG〃”,ZBAG=150°9

ZAGC=80°,则NOEb的度数为（

【分析】过点尸作尸因为AB〃CO,所以再根据平行线的性质可以求出

ZEM,进而可求出再根据平行线的性质即可求得NOEK

【解答】解：如图，过点尸作/M〃CD,

9：AB//CD,

J.AB//CD//FM,

：.ZDEF+ZEFM=180°,ZMFA+ZBAG=180°,

：.ZMFA=1SO°-ZBAG=180°-150°=30°.

CG//EF,

：.ZEFA=ZAGC=S0°.

：.NEFM=ZEFA-NA/刚=80。-30°=50°.

ZZ)EF=180°-NE尸M=180。—50。=130。.

故选：C.

【点评】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算.

7.（2024秋•鹿寨县期末）如图1是某景区电动升降门，将其抽象为几何图形，如图2所示，84垂直于地

面AE于A,当CD平行于地面AE时，则NA3C+N5C£>=.

图1图2

【分析】过点8作3尸〃AE,如图，由于CO〃AE,则3/〃C。，根据两直线平行，同旁内角互补得NBCD+

ZCBF=180°，由A3_LAE得A3_L5R所以NA5尸=90°,ZABC+ZBCD=ZABF+ZCBF+ZBCD

=270°.

【解答】解：过点3作5/〃AE,如图：

AE

\9CD//AE,

：.BF//CD,

•••N3CD+NC3/=180°,

9

：AB±AEf

：.AB±BF,

：.ZABF=90°,

：.ZABC+ZBCD=ZABF+ZCBF+ZBCD=90°+180°=270°.

故答案为：270°.

【点评】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，并熟记两直线平行，同旁内角互补是解决问题

的关键.

8.（2024秋•鼓楼区校级期末）如图是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行.若N1

=30°,则N2+N3的度数为

【分析】过N2顶点做直线/〃支撑平台，直线/将N2分成两个角，根据平行的性质即可求解.

【解答】解：过N2顶点做直线/〃支撑平台，

二/〃支撑平台〃工作篮底部，

・・・N1=N4=3O°、Z5+Z3=180°,

・・・N4+N5+N3=30°+180°=210°,

VZ4+Z5=Z2,

.*.Z2+Z3=210°.

故答案为：210°.

【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

9.乐乐观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知A8〃CQ,/BAE

92°,ZDCE=nr,则/AEC的度数是.

【分析】延长。C交AE于R依据AB〃CZ),NBAE=92°,可得/CFE=92°,再根据三角形外角性质,

即可得到ZAEC=ZDCE-ZCFE.

【解答】解：如图，延长。C交AE于尸，

,JAB//CD,ZBAE=92°,

；.NCFE=92°,

又：NOCE=121°,

ZAEC=ZDCE-ZCFE=m0-92°=29°.

故答案为：29°.

【点评】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等.

10.（2024秋•鹰潭期末）生活现象

如图1,杆秤是中国最古老也是现今人们仍然在使用的衡量工具，是利用杠杆原理来称质量的简易衡器，

由木制的带有秤星的秤杆、金属秤坨、提绳等组成.

数学模型

如图2,是杆秤的示意图，AC//BD,经测量发现NA=104°,/BOE=76°,请判断OE与BD的位置关

系，并说明理由.

图1图2

【分析】由AC〃B£＞可得/4+442。=180°,进而得出乙钻。=76°,再根据内错角相等，两直线平行

可得答案.

【解答】解：OEHBD,理由如下：

,JAC//BD,

：.ZA+ZABD=180°,

/.ZABD=180°-104°=76°,

ZABD=ZBOE,

J.OE//BD.

【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握这些判定和性质解题的关键.

11.（2024秋•广州期中）在如图所示的螳螂示意图中，AB//DE,ZABC=124°,ZCDE=12°,求

的度数.

【分析】延长网＞交于交AC于点况根据平行线的性质得NCGP=/A2C=124°,利用邻补角

的定义求出NCDG=108。，然后根据三角形外角的性质求解即可.

【解答】解：延长EZ）交于。，交AC于点尸，

\'AB//DE,ZABC=124°,

：.ZCGF=ZABC=124°,

•：4CDE=72°,

/•ZCDG=180°-ZCZ)E=180°-72°=108°,

又ZCGF=ZGCD+ZCDG,

：.ZGCD=ZCGF-ZCDG=124°-108°=16°,

.,.ZBCD=16°.

故答案为：16°.

【点评】本题主要考查了平行线的性质、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握相关性质是解题的关键.

12.如图所示①是一种网红弹弓的示意图，在两头系上皮筋，拉动皮筋可形成如图②所示的平面示意图,

弹弓的两边可看成平行的，即活动小组在探索NAPD与/A,ND的数量关系时，有如下发现：

当拉起皮筋使时，瞄准最准确.现测得/A=160°,ZAPD=40°,判断此时瞄准是否最准确，

请说明理由.

①

【分析】如图所示，过点P作尸。〃利用平行线的性质得到/4尸。=180°-ZA=20°,Z£>=180°

-ZDPQ,在求出尸。的度数即可得到答案.

【解答】解：此时瞄准最准确.如图所示，过点P作尸。〃A3,

*：AB//CD,

：.AB//PQ//CD,

：.ZAPQ=1SO°-ZA=20°,ZZ)=180°-ZDPQ,

VZAPD=40°,

ZDPQ=ZAPD-ZAPQ=20°

：.ZD=160°,

此时瞄准最准确.

【点评】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键.

题型四折叠问题中求角度

1.（2024秋•天元区期末）如图，把一张长方形纸片A5CZ）沿E尸折叠后，D、C分别在M、N的位置上,

，则Nl=（)

A.35°B.55°C.70°D.65°

【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得NDEF+NEFC=180°,再根据翻折的性质和平角的定义列

式计算，即可求出N1.

【解答】解：・.•长方形对边AO〃3C,

：.ZDEF+ZEFC=180°,

AZDEF=180°-ZEFC=180°-125°=55°,

由翻折的性质得：ZDEF=ZMEF=55°,

AZI=180°-55°X2=70°,

故选：C.

【点评】本题主要考查平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质和折叠的性质是解题的关键.

2.如图所示，把一张长方形纸条A2CZ）沿斯折叠，若Nl=58。，则NAEG的度数（)

A.58°B.64°C.72°D.60°

【分析】由平行线的性质得NDEP=/1=58。，由折叠的性质得/GEF=NOEP=58。，再由平角定义求

出NAEG即可.

【解答】解：•••四边形ABCD是长方形，

J.AD//BC,

.•./。£尸=/1=58°,

由折叠的性质得：NGEF=/DEF=58。,

：.ZAEG=180°-58°-58°=64°；

故选：B.

【点评】本题考查了平行线的性质、翻折变换的性质、长方形的性质以及平角定义；熟练掌握平行线的

性质和翻折变换的性质是解题的关键.

3.如图，把一张长方形纸片ABC。沿所折叠后，点A落在CZ）边上的点A处，点B落在点⑶处，若/I

=115°,则图中N2的度数为（

A.40°B.45°C.50°D.60°

【分析】由邻补角概念和翻折变换性质得出/EbB'=/1=115°,NEFC=65°,据此知/CFB'=50°,

结合=90°知N2=90°-ZCFB',从而得出答案.

【解答】解：•.,11=115°,

AZEFB'=Z1=115°,ZEFC=65°,

：.ZCFB'=50°,

又＜2B=4B'=90°,

.\Z2=90o-ZCFB'=40°,

故选：A.

【点评】本题主要考查翻折变换的性质，解题的关键是掌握翻折变换的对应边、对应角相等的性质及直角

三角形两锐角互余、对顶角相等的性质.

4.如图，将一张长方形纸带沿所折叠，点C、。的对应点分别为C'、D'.若NDEF=a,用含a的式子

可以将/CFG表示为（）

A.2aB.90°+aC.180°-aD.180°-2a

【分析】由折叠的性质可得：/DEG=2a,CF//D'E,由AD〃BC可得ND'GBn/DEGnZa,从而有/

CFG=180°-ZD'GF,即可得出结果.

【解答】解：由长方形纸带ABC。及折叠性质可得：ZD'EF=ZDEF=a,CF//D'E,

AZDEG=2ZDEF=2a,ZC'FG=180°-ZD'GF,

'：AD//BC,

：.ZD'GF=ZDEG=2a,

AZCFG=180°-2a.

故选：D.

【点评】本题主要考查平行线的性质，折叠的性质，解答的关键是熟记折叠的性质.

5.（2024秋•襄汾县期末）如图，把一张长方形纸片ABC。沿所折叠后，D、C分别落在。'，C的位置

上，ED'与BC交于G点，若NEFG=56°,则/AEG=.

【分析】先根据平行线的性质求得的度数，再根据折叠求得/。EG的度数，最后计算/AEG的

大小.

【解答】解：

：.NDEF=NGFE=56°,

由折叠可得，ZGEF=ZDEF=56°,

：.ZDEG=U2O,

.\/AEG=180°-112°=68°.

故答案为：68°

【点评】本题以折叠问题为背景，主要考查了平行线的性质，解题时注意：矩形的对边平行，且折叠时

对应角相等.

6.（2024秋•宛城区校级期末）如图，把一个长方形纸片沿OG折叠后，C,。两点分别落在C,少两点处,

若NA。。'：ZD'OG=4：3,则/BGO=度.

【分析】设/AOZJ=4x,则/。OG=3x,由翻折可知NOOG=/O'OG=3x,根据平角的定义解出x,由

矩形的性质进而可以得出/BGO的度数.

【解答】解：VZAOD't/D0G=4：3,

设/A0Q'=4x,则/£>'OG=3x,

由翻折可知ND0G=/O'0G=3x：ZA(9D'+ZD'OG+ZD(9G=180°,

即10x=180°,

解得x=18°,

'：AD//BC,

：.ZBGO=ZZ)(9G=3x=540,

故答案为：54.

【点评】本题考查了折叠的性质和平角的等于180。，解题关键是发现图中折叠前后重合的角相等.

7.(2024秋•萍乡期末)如图，△ABC中，ZB=40°,点。为边BC上一点，将△AOC沿直线折叠

后，点C落到点E处，若DE〃AB,则/AOE的度数为°.

【分析】根据平行线的性质得到,根据折叠的性质得到根据平角的

定义可得/AOB+NAOC=180°,由此可以求出/AOC的度数即可得到答案.

【解答】解：'：DE//AB,ZB=40°,

；.NBDE=40°,

由折叠的性质得/AOE=NAOC,

"?ZADB+ZADC=180°,ZADB=ZADE-ZBDE=ZADC-40°,

AAADC-40°+ZADC=180°，

：.ZAZ）C=110°,

AZADE=ZADC=U0°.

故答案为：110.

【点评】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质、折叠的性质是解题的关键.

8.（2024秋•昭阳区期中）如图，把AABC沿线段。E折叠，使点A落在点尸处，BC//DE；若N5=50。,

则N8D尸的度数为

A

A

【分析】首先利用平行线的性质得出/4OE=50。，再利用折叠前后图形不发生任何变化，得出

NEDF,从而求出尸的度数.

【解答】解：,•,8C〃DE,若/B=50。,

ZADE=50°,

又「△ABC沿线段£>£折叠，使点A落在点尸处,

ZADE=ZEDF=50°,

：.ZBDF=180°-50°-50°=80°,

故答案为:80°.

【点评】此题主要考查了折叠问题与平行线的性质，利用折叠前后图形不发生任何变化，得出

/EDF是解决问题的关键.

9.（2024秋•丹徒区期末）如图，长方形ABC。沿AE折叠，使。点落在3C边上的尸点处，如果/EFC

=30°,则NZME等于.

【分析】由长方形的性质得出NO=90°,AD//BC,再由折叠的性质得出ND4E=N7^E,NAFE=/D

=90°,结合已知NEFC=30°即可求出/APB的度数，从而求出/D4E的度数.

【解答】解：•••四边形ABC。为长方形，

?.ZD=90°,AD//BC,

由折叠得，ZDAE=ZFAE,ZAFE=ZD=90°,

V