中考数学难点突破与经典模型专练：全等三角形中的对角互补模型（学生版+解析）

专题04全等三角形中的对角互补模型

【模型展示】

D

一；

B

如图，在四边形ABCD中，Zl+Z2=180°,BA=BC,连接BD,延长DA至E,使得AE=DC,

则有以下结论成立：

©△BAE^ABCD

【证明】

特点

①证明：VZ1+Z2=18O°,

：.ZBAD+ZC=18Q°,

:.ZBAE=ZBCD

在ABAE和小BCD中

rAE=CD

]ZBAE=ZBCD

IAB=BC

:ABAEgABCD(SAS).

结论△BAE沿ABCD

【模型证明】

【结论一】（对角互补——含90。角）

如图，在四边形ABCD中，Zl=90°,Z2=90°,BA=BC,连接BD,延长DA至

解决方案

E,使得AE=DC,则有以下结论成立：

©△BAE^ABCD;②ABED为等腰RS

B

【证明】

①证明：证明：VZ1+Z2=18O°,

：.ZBAD+ZC=180°,

：.ZBAE=ZBCD

在4BAE和小BCD中

/•AE=CD

JZBAE=ZBCD

IAB=BC

:.△BAE^/^BCD(.SAS').

②证明：

：△BAE丝△BCD

二ZEBA=ZDBC,BE=BD

■:ZDBC+ZABD=90°

：.ZEBA+ZABD=ZEBD=90°

...△ERD为等腰RS

【结论二】(对角互补——含60。角)

如图，在四边形ABCD中，Zl=60°,Z2=120°,BA=BC,连接BD,延长DA至E,使得

AE=DC,则有以下结论成立：

©ABAE^ABCD;②^BED为等边△

【题型演练】

一、单选题

1.RtAABC中，AB=AC,点D为BC中点.ZMDN=90°,/MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、

AC交于E、F两点.下列结论

①(BE+CF)哼BC,②S峥今“

③S四边形AEDF=AD-EF,@AD>EF,⑤AD与EF可能互相平分,

其中正确结论的个数是【】

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题

2.如图，在R3ABC和RtA3CD中，/BAC=NBDC=90°,BC=8,AB^AC,ZCBZ)=30°,BD=46,

M,N分别在80,CO上，ZMAN=45°,则AOMN的周长为.

3.如图，在四边形A5CD中，42=2(7,443。=/(7。4=90°,2£，40于区5四边形.8=1°，则BE的长为

4.(1)如图(1)点尸是正方形ABC。的边CD上一点(点尸与点C,。不重合)，点石在BC的延长线上,

>CE=CP,连接BP,DE.求证：4BCP名△DCE；

(2)直线EP交于尸，连接BRFC.点G是尸C与8P的交点.

①若CO=2PC时，求证：BPLCF-,

②若CD=n・PC(n是大于1的实数)时，记4BPF的面积为Si,ADPE的面积为S2.求证：S尸(n+1)S2.

5.已知，△ABC是边长为4cm的等边三角形，点P,。分别从顶点A,8同时出发，沿线段A8,8C运动,

且它们的速度均为lcm/s.当点尸到达点B时，P、。两点停止运动.设点P的运动时间为t(s).

AA

A

(1)如图1,连接A。、CP,相交于点M,则点P,。在运动的过程中，/CM。会变化吗？若变化，则说

明理由；若不变，请求出它的度数.

(2)如图2,当t为何值时，APB。是直角二角形？

(3)如图3,若点尸、。在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线A。、CP交点为请直接写

出/CMQ度数.

6.如图1,在等腰直角三角形ABC中，AB=AC,/BAC=90。，点E,尸分别为A8,AC的中点，H为线段

EF上一动点(不与点E,尸重合)，过点A作AGLA8且AG=A8,连接GC,HB.

(1)证明：AAHB^AAGC；

(2)如图2,连接GRHG,WG交A尸于点。.

①证明：在点H的运动过程中，总有/加G=90。；

②当AAQG为等腰三角形时，求NAHE的度数.

7.回答问题

(1)【初步探索】如图1：在四边形ABC。中，AB=AD,ZB=ZADC=90°,E、/分别是BC、CD上的点,

且EF=BE+FD,探究图中/BAE、/FAD、/EAF之间的数量关系.

小王同学探究此问题的方法是：延长即到点G,使DG=BE.连接AG,先证明△ABE0AAOG,再证明

AAEF^AAGF,可得出结论，他的结论应是；

(2)【灵活运用】如图2,若在四边形A8C。中，AB=AD,ZB+Z£>=180°.E、尸分别是2C、CD上的点,

且EF=BE+FD,上述结论是否仍然成立，并说明理由；

(3)【拓展延伸】知在四边形A8CD中，ZABC+ZAZ)C=180°,AB=AD,若点E在C8的延长线上，点尸

在。的延长线上，如图3所示，仍然满足请直接写出NE4E与/D48的数量关系.

G

图1图2图3

8.在/M4N内有一点。，过点。分别作DC±AN,垂足分别为8,C.且B£)=CD,点E,

产分别在边AM和AN上.

(2)如图2,若/即C=120。，ZEDF=60°,猜想竹，BE,CT具有的数量关系，并说明你的结论成立

的理由.

9.如图1,在四边形ABCD中，AB=AD,NB+NADC=180。，点E,F分别在四边形ABCD的边BC,CD

上，ZEAF=|ZBAD,连接EF,试猜想EF,BE,DF之间的数量关系.

将小ABE绕点A逆时针旋转至△ADG,使AB与AD重合，由NB+NADC=180。，得/FDG=180。，即点F,

D,G三点共线，易证AAFG会AAFE,故EF,BE,DF之间的数量关系为.

(2)类比引申

如图2,在图1的条件下，若点E,F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB,DC延长线上，ZEAF=

1/BAD,连接EF,试猜想EF,BE,DF之间的数量关系，并给出证明.

(3)联想拓展

如图3,在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点D,E均在边BC上，且/DAE=45。，若BD=1,EC=2,

直接写出DE的长为.

10.五边形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,ZABC+ZAED=180°,求证：A£＞平分NCZJE.

11.探究问题:

(1)方法感悟:

如图①，在正方形ABCD中，点E,F分别为DC,BC边上的点，且满足/BAF=45。，连接EF,求证DE

+BF=EF.感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE绕点A顺时针旋转90。得到△ABG,此时AB与

AD重合，由旋转可得：AB=AD,BG=DE,Z1=Z2,ZABG=ZD=90°,ZABG+ZABF=90°+

90。=180。，因此，点G,B,F在同一条直线上.

ZEAF=45°.\Z2+Z3=ZBAD-ZEAF=90°-45°=45°.

N1=N2,Zl+Z3=45°.

即/GAF=/.

又AG=AE,AF=AE

/.AGAF^A_________.

=EF,故DE+BF=EF.

(2)方法迁移：

如图②，将RtAABC沿斜边翻折得到△ADC,点E,F分别为DC,BC边上的点，且NEAF=g/DAB.试

猜想DE,BF,EF之间有何数量关系，并证明你的猜想.

12.在AABC中，ZfiAC=90°,AB=AC,AO_L8C于点。，

(1)如图1,点M,N分别在AD,A3上，且/3MN=90。，当/AMN=30。，AB=2时，求线段A0的

长；

(2)如图2,点E,尸分别在AB,AC上，且/EDP=90。，求证：BE=AF；

(3)如图3,点M在AO的延长线上，点N在AC上，且/8MN=90。，求证：AB+AN=y/2AM；

13.如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，ZEDF=120°,把/EDF绕点D旋

转，使NEDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F.

(1)当DF_LAC时，求证：BE=CF；

(2)在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由

14.在AABC中，/BAC=90。，AB=AC,点。为直线3c上一动点(点。不与3,C重合)，以为直

角边在右侧作等腰直角三角形ADE(NZME=90。，AD=AE),连接CE.

(1)如图1,当点。在线段8c上时，猜想：8c与CE的位置关系，并说明理由；

(2)如图2,当点。在线段CB的延长线上时，(1)题的结论是否仍然成立？说明理由；

(3)如图3,当点。在线段8c的延长线上时，结论(1)题的结论是否仍然成立？不需要说明理由.

15.如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”.

(1)性质探究：如图1.已知四边形A8C。中，ACLBD.垂足为。，求证：AB2+CD2=AD2+BC2-,

(2)解决问题：已知♦2。=4拒，分另1］以448。的边8。和42向外作等腰尺以BCE和等腰白△

①如图2,当NAC8=90。，连接QE,求。E的长；

②如图3.当NAC理90。，点G、H分别是A。、AC中点，连接GH.若GH=2屈,则S/A8C=.

27

AVy

Cc.4HC

图1图2图3

16.(1)如图①，在四边形ABCD中，AB=AD,ZB=ZD=90°,L?,尸分别是边BC,8上的点，且

ZEAF=^ZBAD.请直接写出线段EF,BE,FD之间的数量关系：

WWD

£

BECBCBC

图①图②备用题备用题

(2)如图②，在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E,尸分别是边3C,8上的点，且

ZEAF=^ZBAD,(1)中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；

(3)在四边形ABCD中，AB=AD,Zfi+ZD=180°,E,尸分别是边BC,8所在直线上的点，且

请画出图形(除图②外)，并直接写出线段所，

NEAF=g/BAD.BE,尸£＞之间的数量关系.

17.四边形ABCD是由等边AASC和顶角为120。的等腰AABD排成，将一个60。角顶点放在。处，将60。角

绕。点旋转，该60。交两边分别交直线8C、AC于M、N,交直线AB于E、尸两点.

(1)当E、尸都在线段48上时(如图1),请证明：BM+AN=MN-

M

cC

C

备用图

(2)当点E在边54的延长线上时(如图2),请你写出线段MB,AN和MN之间的数量关系，并证明你的

结论；

(3)在(1)的条件下，若AC=7,AE=2A,请直接写出A©的长为.

18.如图1,四边形ABCD中，BD±AD,E为BD上一点，AE=BC,CE±BD,CE=ED

(1)己知AB=10,AD=6,求CD；

(2)如图2,F为AD上一点，AF=DE,连接BF,交BF交AE于G,过G作GHLAB于H,ZBGH=

75°.求证：BF=20GH+&EG.

19.问题背景

如图(1),在四边形ABCD中，ZB+ZD=180°,AB=AD,ZBAD=a,以点A为顶点作一个角，角的两

边分别交BC,CD于点E,F,且/EAF=；a,连接EF,试探究：线段BE,DF,EF之间的数量关系.

(1)特殊情景

在上述条件下，小明增加条件“当NBAD=NB=/D=90。时”如图(2),小明很快写出了：BE,DF,EF之

间的数量关系为.

(2)类比猜想

类比特殊情景，小明猜想：在如图(1)的条件下线段BE,DF,EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，

请你帮助小明完成证明；若不成立，请说明理由.

（3）解决问题

如图（3）,在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=4,点D,E均在边BC上，且NDAE=45。，若BD=后,

请直接写出DE的长.

专题04全等三角形中的对角互补模型

【模型展示】

【模型证明】

【结论一】（对角互补——含90。角）

如图，在四边形ABCD中，Zl=90°,Z2=90°,BA=BC,连接BD,

解决方

案延长DA至E,使得AE=DC,则有以下结论成立：

①△BAE^ZXBCD;②^BED为等腰R3

12/51

【证明】

①证明：证明：：/1+/2=180°,

：.ZBAD+ZC=180°,

：.ZBAE=ZBCD

在小BAE和4BCD中

AE=CD

ZBAE^ZBCD

<

AB=BC

：./\BAE^/\BCD(.SAS).

②证明：

'：/\BAE^/\BCD

:.ZEBA=ZDBC,BE=BD

■:ZDBC+ZABD=90°

:.ZEBA+ZABD=NEBD=90°

/.△EBD为等腰RtA

【结论二】(对角互补——含60。角)

如图，在四边形ABCD中，Zl=60°,Z2=120°,BA=BC,连接BD,延长DA

至E,使得AE=DC,则有以下结论成立：

®ABAE^ABCD;②^BED为等边△

13/51

【题型演练】

一、单选题

1.R3ABC中，AB=AC,点D为BC中点.ZMDN=90°,/MDN绕点D旋转，DM、

DN分别与边AB、AC交于E、F两点.下列结论

①(BE+CFJBC,②S-小皿③S四边形AEDF=AD-EF,@AD>EF,⑤AD与EF可

能互相平分，

其中正确结论的个数是【】

14/51

BDC

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【详解】解:・.・RSABC中，AB=AC,点D为BC中点.ZMDN=90°,

・・・AD=DC,ZEAD=ZC=45°,ZEDA=ZMDN-ZADN=90°-ZADN=ZFDC.

.,.△EDA^AFDC（ASA）.

/.AE=CF.

JBE+CF=BE+AE=AB.

在R3ABC中，根据勾股定理，得AB=1BC.

2

;.（BE+CF）=EBC.

2

结论①正确.

设AB=AC=a,AE=b,贝|AF=BE=a—b.

SAAEF-7SAABC=［阳，醺-9；AB.AC=；b（a-b）-：a2=-：（a-2b/<0.

4Z4ZZoo

SAAEF-4^AABC•

...结论②正确.

如图，过点E作EILAD于点I,过点F作FGLAD于点G,过点F作FHLBC于点H,

ADEF相交于点O.

,/四边形GDHF是矩形，△AEI和仆AGF是等腰直角三角形,

.♦.EONEI（EF_LAD时取等于）=FH=GD,

OF>GH（EF_LAD时取等于）=AG.

EF=EO+OF>GD+AG=AD.

结论④错误.

VAEDA^AFDC,

15/51

110,

•,■S0WAEDF=SAADC=--AD.DC=-AD-<AD^<AD-EF.

结论③错误.

又当EF是RtAABC中位线时，根据三角形中位线定理知AD与EF互相平分.

，结论⑤正确.

综上所述，结论①②⑤正确.故选C.

二、填空题

2.如图，在RSABC和RtA中，ZBAC=ZBDC=9Q°,BC=8,AB=AC,ZCBD=

30°,BD=W，M,N分别在B。，CD上，ZMAN=45°,则△OWN的周长为.

【答案】4g+4.

【分析】将AACN绕点A逆时针旋转，得到△ABE,由旋转得出/M4E=9（r,AN=AE,ZABE

=ZACD,NEAB=NCAN,求出根据S4S推出△/根据

全等得出A/N=ME,求出MN=CN+2M,解直角三角形求出DC,即可求出△£）W的周长

=BD+DC,代入求出即可.

【详解】将AACN绕点A逆时针旋转，得到AABE,如图：

由旋转得：ZNAE=90°,AN=AE,ZABE=ZACD,ZEAB=ZCAN,

'：ZBAC=ZD=90°,

：.N4B£>+/ACO=360。-90°-90°=180°,

ZABD+ZABE=l80°,

：.E,B,M三点共线，

VZMAN=45°,ZBAC=90°,

：.ZEAM^/EAB+/BAM=NCAN+NBAM=ZBAC-ZMAN^90°-45°=45°,

ZEAM=/MAN,

16/51

在△AEM和△AM0中，

"AE=AN

<NEAM=/NAM,

AM=AM

：.AAEM^AANM(SAS),

:,MN=ME,

：.MN=CN+BM,

•・•在RSBCD中，ZBDC=90°,NCBD=30。,5。=4括，CD=BDxtanZCBD=4,

ADMN的周长为DM+DN+MN=DM+DN+BM+CN=BD+DC=46+4,

故答案为4^3+4.

【点睛】此题主要考查利用三角形全等的性质和解直角三角形，进行等量转换，关键是做辅

助线.

3.如图，在四边形ABCD中，43=3。,443。=/。。4=90°,3石_14。于及5四边形&加7)=1°,

则BE的长为

【答案】回

【分析】过点B作斯，CD交DC的延长线交于点F,证明物△CFB(AAS)推出

四边形正方形

BE=BF,SAABE=SABFC,可得S^CD=SBEDF=12,由此即可解决问题；

【详解】解：过点B作时_LCD交DC的延长线交于点F,如右图所示，

•:BF1CD,BEA.AD

/BFC=/EA=90°

•」/ABC=/ADC=90。

.•./ABE+"BC=90°,/BC+/CBF=90°

.•./ABE=ZCBF

・・・AB=CB

，AAEB/ACFB(AAS)

BE=BF，SAABE=SABFC

…S四边形ABCD-S正方形BEDF=1°，

/.BExBF=10,

B[JBE2=10,

17/51

.­.BE=M，

故答案为W.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等

三角形解决问题，属于中考常考题型.

三、解答题

4.(1)如图(1)点尸是正方形ABC。的边上一点(点尸与点C,。不重合)，点E在

8C的延长线上，MCE=CP,连接BP,DE.求证：XBCP%4DCE；

(2)直线EP交于F,连接8月，PC.点G是FC与8P的交点.

①若CZ)=2PC时，求证：BP1CF；

②若CD=n>PC(71是大于1的实数)时，记△BPF的面积为Si，ADPE的面积为S2.求证：

Sj=(n+1)S2.

【答案】(1)证明见解析；

(2)①证明见解析；②证明见解析.

【分析】(1)由&4S即可证明△0

(2)①在(1)的基础上，再证明ABCP丝△CDE进而得至!JNPCD+NBPC=9O。，从而证

明BP_LCF；②设CP=CE=1,贝!1BC=C£>=mDP=CD-CP=n-1,分别求出S/与S2的值，得

S]=5(附+1)(〃—1),S2=—(n—1),所以S尸(n+1)S2结论成立.

BC=CD

【详解】证明：(1);•在ABCP与△£>“中，，/BCP=/DCE=90。

CP=CE

.•.△BCP^ADCE(S45).

(2)®"：CP=CE,ZPCE=90°,

：.ZCPE=45°,

：.ZFPD=ZCPE=45°,

：.ZPFD=45°,

：.FD=DP.

CD=2PC,

：.DP=CP,

：.FD=CP.

18/51

BC=CD

・・•在ABC尸与△CO尸中，\ZBCP=ZCDF=9O0

CP=FD

:•△BCP/XCDF(SAS),

ZFCD=ZCBP.

9：NCBP+/BPC=90。,

NFCD+NBPC=90。,

ZPGC=90°,BPBPA.CF.

②设。尸=CE=1,则5C=CD=〃，DP=CD-CP=n-1

易知△/。尸为等腰直角三角形，

：.FD=DP=n-l.

=)(“+'-1)，“-J"J-，”-if=g(/-1)=+

S2=1r>P-CE=1(ra-l)-l=1(n-l)

•'.Si=(n+1)S2-

【点睛】本题是几何综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三

角形、图形的面积等知识点，试题的综合性强，难度较大.

5.已知，△ABC是边长为4cm的等边三角形，点P,。分别从顶点A,B同时出发，沿线

段AB,BC运动，且它们的速度均为Icm/s.当点尸到达点B时，P、。两点停止运动.设

点P的运动时间为t(s).

(1)如图1,连接A。、CP,相交于点M,则点P,。在运动的过程中，NCM。会变化吗？

若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数.

(2)如图2,当t为何值时，APB。是直角三角形？

(3)如图3,若点尸、。在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线A。、CP交点为

M,请直接写出/CM。度数.

19/51

48

【答案】(1)不变，60°；(2)§或§；(3)120°.

【分析】(1)通过证2△CAP得至IJNA4Q=NACP,所以由三角形外角定理得到

ZCMQ=AACP+ZCAM=ZBAQ+ZCAM=ZBAC=60°；

(2)需要分类讨论：分NP%90。和N3PQ=90。两种情况；

(3)通过证△A3。丝△CA尸得到NBAQ=NACP所以由三角形外角定理得到

ZCMQ=ZBAQ+ZAPC=ZACP^-ZAPC=180o-ZBAC=n0o.

【详解】(1)不变.在与△CA尸中，

AB=AC

•：<ZB=ZCAP=6Q°,

AP=BQ

：.AABQ^/\CAP(SAS),

：.ZBAQ=ZACP.

：.ZCMQ=ZACP+ZCAM=ZBAQ-^-ZCAM=ZBAC=60°；

(2)设时间为3贝ljAP=3Q=t,PB=4-t,

①当NPQ3=900时，VZB=60°,

:・PB=2BQ,

4-/=2z,Z=—；

3

②当N5PQ=900时，・・・NB=60。，

；・BQ=2BP,

8

t=2(4-f),t=—；

48

当第，秒或第］秒时，APB。为直角三角形；

(3)在△420与八CA尸中，

AB=AC

"：<NB=ZCAP=60°,

AP=BQ

：./\ABQ^/\CAP(SAS),

：.ZBAQ=ZACP,

：.ZCMQ=ZBAQ+/APC=ZACP+ZAPC=1800-Nft4c=120°.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定

与性质是解题的关键.

6.如图1,在等腰直角三角形A8C中，AB=AC,NBAC=90。，点E,尸分别为AB,AC

的中点，H为线段上一动点(不与点E,尸重合)，过点A作AGLA”且AG=AH,连接

20/51

GC,HB.

（1）证明：AAHB/AGC；

（2）如图2,连接GF,HG,HG交AF于点Q.

①证明：在点H的运动过程中，总有/HFG=90。；

②当△AQG为等腰三角形时，求/AHE的度数.

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②当AAQG为等腰三角形时，NAHE的度数为67.5。

或90°.

【分析】（1）根据SAS可证明△AH8丝ZvlGC；

（2）①证明△AEHgzXAFG（SAS）,可得/AFG=NAEH=45。，从而根据两角的和可得结论；

②分两种情况：i）如图3,AQ=QG时，H）如图4,当AG=QG时，分别根据等腰三角形的

性质可得结论.

【详解】（1）证明：如图1,

ZBAC=90°,

：.ZBAH=ZCAG,

'：AB=AC,

：./\ABH^/\ACG(SAS)；

(2)①证明：如图2,在等腰直角三角形ABC中，ZBAC=9O°,

：.ZABC=ZACB=45°,

,1点E,尸分别为AB,AC的中点,

ABC的中位线，

21/51

J.EF//BC,AE=-ABAF=-AC

2f2f

：.AE=AF,ZAEF=ZABC=45°,ZAFE=ZACB=45°,

■:NEAH=NFAG,AH=AG,

：.AAEH^AAFG(SAS),

・•・ZAFG=ZAEH=45°f

：.ZHFG=45°+45o=90°；

②分两种情况：

i)如图3,AQ=QG时,

•・・AQ=QG,

：.ZQAG=ZAGQ,

'：AG±AHS.AG=AH,

：.ZAHG=ZAGH=45°,

：.ZAHG=ZAGH=ZHAQ=ZgAG=45°,

・•・ZEAH=ZFAH=45°,

VAE=AF,AH=AH,

AAAEH^AAFH(SAS),

/AHE=NAHF,

ZAHE+ZAHF=1SO°,

：.ZAHE=ZAHF=90°；

ii)如图4,当AG=QG时，ZGAQ=ZAQG,

9

：ZAEH=ZAGQ=45°f

22/51

1800-45°

ZGAQ=ZAQG=——-——=67.5°,

"：ZEAQ=ZHAG=90°,

ZEAH=ZGAQ=61.5°,

：./AHE=NAQG=67.5。；

•••”为线段所上一动点（不与点E,尸重合），

不存在AG=A。的情况.

综上，当△AQG为等腰三角形时，/AHE的度数为67.5。或90。.

【点睛】本题是三角形的综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定，等腰

三角形的性质和判定，也考查了全等三角形的判定与性质，第二问要注意分类讨论，不要丢

解.

7.回答问题

（1）【初步探索】如图1：在四边形ABC。中，AB=AD,ZB=ZADC=90°,E、歹分别是BC、

CD上的点，且EF=BE+FD,探究图中/BAE、ZFAD,NEAF之间的数量关系.

小王同学探究此问题的方法是:延长FD到点G,使DG=BE.连接AG,先证明△ABE^AADG,

再证明AAE尸注△AGF,可得出结论，他的结论应是；

（2）【灵活运用】如图2,若在四边形4BCD中，AB=AD,ZB+ZZ）=180°.E、尸分别是

BC、C£）上的点，且EF=BE+FD,上述结论是否仍然成立，并说明理由；

（3）【拓展延伸】知在四边形ABCQ中，ZABC+ZADC=180°,AB^AD,若点E在C8的延

长线上，点尸在C。的延长线上，如图3所示，仍然满足£/=8£+即，请直接写出/0

与NZMB的数量关系.

G

图1图2图3

【答案】(1)ZBAE+ZFAD=ZEAF；(2)仍成立，理由见解析；(3)ZEAF=1SQ0--ZDAB

2

【分析】(1)延长正。到点G,使DG=BE,连接AG,可判定△ABE0A4DG,进而得出

ZBAE=ZDAG,AE=AG,再判定AAEBg/XAGR可得出

ZEAF=ZGAF^ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF,据此得出结论；

(2)延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先判定△ABE丝AADG,进而得出ZBAE=ZDAG,

AE=AG,再判定AAEFtZ\AG凡RTMHlZEAF=ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF；

23/51

(3)在DC延长线上取一点G,使得£>G=BE,连接AG,先判定△ADG丝ZVIBE,再判定

AAEF^/\AGF,得出/曲E=/必G,最后根据/曲E+NE4G+NG4E=360。，推导得到

2/项E+ND4B=360。，即可得出结论.

【详解】解：(1)ZBAE+ZFAD=ZEAF.理由：

如图1,延长尸。到点G,DG=BE,连接AG,

G

图1

NB=ZADF=90°,ZADG=ZADF=9Q°,

ZB=ZADG=9Q°,

又；AB=AD,

AAABE^AADG(SAS),

ZBAE=ZDAG,AE=AG,

,/EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,

:.AAEF出AAGF(SSS),

ZEAF=ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF-,

故答案为：NBAE+/FAD=/EAF；

(2)仍成立，理由：

如图2,延长如到点G,使。G=BE,连接AG,

,：ZB+ZADF=ISO°,NAOG+/AQ尸=180°,

ZB=ZADG,

又，；AB=AD,

.'.△ABE乌AADG(SAS),

ZBAE=ZDAG,AE=AG,

'：EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,

；.AAE&AAGF(SSS),

：.ZEAF^ZGAF=ZDAG+ZDAF^ZBAE+ZDAF；

(3)ZEAF=l80°--ZDAB.

2

证明：如图3,在。C延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG,

24/51

G

图3

•.*ZABC+ZADC=180°,ZABC+ZABE=180°,

ZADC=ZABE,

又TAB=AD,

：.AADG^AABE(SAS),

：.AG=AE,ZDAG=ZBAE,

'：EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,

：./\AEF^£\AGF(SSS),

ZFAE=ZFAG,

,：ZFAE+ZFAG+ZGAE=36Q°,

：.2ZFAE+CZGAB+ZBAE)=360°,

：.2ZFAE+(/G4B+/D4G)=360°,

即2ZFAE+ZDAB=360°,

：.ZEAF=\SQ°--ZDAB.

2

【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综

合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推

导变形.解题时注意：同角的补角相等.

8.在/M4N内有一点。，过点。分别作DCLAN,垂足分别为B,C.且

BD=CD,点E,歹分别在边AM和4V上.

(2)如图2,若/BDC=120。，/ED尸=60。，猜想所，BE,C尸具有的数量关系，并说

明你的结论成立的理由.

25/51

【答案】（1）见解析；（2）EF=FC+BE,见解析

【分析】（1）根据题目中的条件和？5ED2CFD,可以证明石二△CDF,从而可以得

到DE=DF；

（2）作辅助线，过点。作NCDG=N3D£,交AN于点G,从而可以得到ABD石二A8G,

然后即可得到。石=OG,BE=CG,再根据题目中的条件可以得到AED尸二AGD尸，即可得

至l」M=G尸，然后即可得到跖，BE,CT具有的数量关系.

【详解】解：（1）\-DB±AM,DC±ANf

:"DBE=/DCF=90°,

在ABD石和AC。尸中，

/BED=/CFD,

•・•<ZDBE=NDCF,

BD=CD,

ABDE=\CDF{AAS）.

:.DE=DF;

（2）EF=FC+BE,

理由：过点。作NCDGn/BDE,交AN于点G,

在ABD石和ACDG中,

ZEBD=ZGCD

<BD=CD,

ZBDE=ZCDG

ABDE=ACDG（ASA）,

:.DE=DG,BE=CG.

vZBZ）C=120°,/EDF=60。,

NBDE+NCDF=60°.

/.ZFDG=ZCDG+ZCDF=60°,

:"EDF=/GDF.

在AED尸和AGO尸中，

DE=DG

<ZEDF=NGDF,

DF=DF

AEDF=AGDF（SAS）.

:.EF=GF,

EF=FC+CG=FC+BE.

26/51

M

Bt

图2

【点睛】本题考查全等三角形的判定、解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解

答.

9.如图1,在四边形ABCD中，AB=AD,NB+NADC=180。，点E,F分别在四边形ABCD

的边BC,CD上，ZEAF=|ZBAD,连接EF,试猜想EF,BE,DF之间的数量关系.

A

图1图2图3

(1)思路梳理

将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG,使AB与AD重合，由NB+/ADC=180。，得

ZFDG=180°,即点F,D,G三点共线，易证△AFGgZkAFE,故EF,BE,DF之间的数

量关系为一；

(2)类比引申

如图2,在图1的条件下，若点E,F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB,DC延

长线上，ZEAF=|ZBAD,连接EF,试猜想EF,BE,DF之间的数量关系，并给出证明.

(3)联想拓展

如图3,在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点D,E均在边BC上，且NDAE=45。，若

BD=1,EC=2,直接写出DE的长为.

【答案】(1)EF=BE+DF；(2)EF=DF-BE；证明见解析；(3)亚.

【分析】(1)将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG,使AB与AD重合，首先证明F,D,

G三点共线，求出/EAF=/GAF,然后证明4AFG^AAFE,根据全等三角形的性质解答；

(2)将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE，，首先证明E,D,F

三点共线，求出/EAF=/EAF,然后证明△AFE四△AFE,根据全等三角形的性质解答;

(3)将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD,使AB与AC重合，连接ED,同(1)可证

△AED^AED,,求出/ECD'=90。，再根据勾股定理计算即可.

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【详解】解：(1)将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG,使AB与AD重合，

VZB+ZADC=180o,

.•.ZFDG=180°,即点F,D,G三点共线,

VZBAE=ZDAG,NEAF=；NBAD,

；./EAF=/GAF,

AE=AG

在AAFG和^AFE中，＜ZEAF=ZGAF,

AF=AF

.'.△AFG^AAFE,

EF=FG=DG+DF=BE+DF；

(2)EF=DF-BE；

证明：将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE，，贝!!△ABE/ADE,

.•.ZDAE'=ZBAE,AE'=AE,DE』BE,ZADE'=ZABE,

ZABC+ZADC=180°,ZABC+ZABE=180°,

AZADE-ZADC,即E,D,F三点共线,

VZEAF=^ZBAD,

ZE'AF=ZBAD-(ZBAF+ZDAE')=ZBAD-(ZBAF+ZBAE)=ZBAD-ZEAF

=1ZBAD,

ZEAF=ZE'AF,

AE=AE'

在^AEF和小AE'F中，-ZEAF=ZE'AF,

AF=AF

.,.△AFE也△AFE'(SAS),

.\FE=FE',

又；FE，=DF-DEl

.".EF=DF-BE；

(3)将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD',使AB与AC重合，连接ED,

28/51

B

国3c

同（1）可证AAEDgAED',

.".DE=D'E.

VZACB=ZB=ZACD'=45°,

AZECD'=90°,

在RtAECD中，ED'=7EC2+D'C2=y/EC2+BD2=,即DE=有，

故答案为：5

【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，灵

活运用利用旋转变换作图、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

10.五边形A8CAE中，AB^AE,BC+DE=CD,ZABC+ZAE»=180°,求证：平分

ZCDE.

【答案】见解析

【分析】延长DE至F,使得EF=BC,连接AC,易证AABC^aAEF,得到瓦=3C,

AC=AF然后证明^ADC^AADF即可解决问题.

【详解】延长DE至F,使得EF=BC,连接AC.

VZASC+ZA£D=180°,ZAEF+ZAED^\80°,

：.ZABC^ZAEF

AB=AE,BC=EF,

.,•△ABC^AAEF.

:.EF=BC,AC^AF

"：BC+DE=CD,

：.CD=DE+EF=DF,

.'.△ADC妾△ADF,

二ZADC^ZADF

即AD平分/CDE.

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线构造全等三角形是解

题关键.

29/51

11.探究问题:

⑴方法感悟：

如图①，在正方形ABCD中，