浙江省金华市十校2023-2024学年高二年级下册6月期末调研考试数学试题（解析版）

浙江省金华市十校2023-2024学年高二下学期

6月期末调研考试数学试题

选择题部分(共58分)

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知复数Z1=2+i,Z2=-l+2i,则4-Z2在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】Z]-z2=2+i-(-l+2i)=3-,

故ZI-Z2在复平面内对应的点(3,-1)位于第四象限.

故选：D.

2.已知向量。=(1,2)力=(3—乂%),且0,,+2可，则工=()

1111

A.11B.-11C.—D.-----

22

【答案】D

【解析】因为向量2=(1,2)石=(3-苍力,

贝Ia+2Z>=(l,2)+(6-2x,2x)=(7-2%,2+2x),

且a'(a+2))，则1x(7—2x)+2x(2+2x)=0,解得x=—

故选：D

3.已知》是实数，则是"xN2”的()

x2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由双勾函数的性质可得/(x)=x+^在(0,1)上递减，在(1,+8)上递增，

则当0<xV1或％之2时，x+->-,

2x2

所以“x+工2』”是“X22”的必要不充分条件.

x2

故选：B.

4.已知函数/(x)=cos(2x+o)[o<°<2的对称中心为1,0；则能使函数/(%)单

调递增的区间为()

八兀兀兀「兀3兀13兀

A.0,—B.一,-C.D.—，兀

L4J142」124」L4J

【答案】C

【解析】由y=/(x)图象的一个对称中心是[弓,0，所以cos12xt+0]=0,

7TJL7C

则2x—(p—kuH—,kGZ,即0=ku-\—,kGZ,

626

又0<夕<.所以e=V，得函数/(x)=cos(2x+m],

2616J

兀

令2kli-7i<2x+—<2kn,keZ,

6

_,77T,71

即ku------V%<ku----,左£Z；

1212

7兀71

故y=/(%)的单调递增区间为E-五，尿一记,左wZ,

,t........r5;i11兀]「兀3K1「5兀11兀

而当k=1时，单调递增区间为，又~'

I乙-L乙乙i-JL乙JL乙

所以C正确，其余区间都不符合题意.

故选：c

5.函数〃力

」中cosx的图象为()

JC

十上

十

C.「DJL

【答案】C

【解析】由函数/（X）=帅皿可得函数的定义域为{x|Xw0},

由/（-%）=---------------------=------------------=一/（%）可知函数/（x）为奇函数，

-XX

其图象关于坐标原点对称，故舍去A,B两项；

IC1

[-In2-cos—

又由/'（：）=------2<o,可得D项不合题意，故C项正确.

2

故选：C.

6.已知随机变量X〜N（l,4）,且P（X2a）=P（XW0.2）=0.1,则P[<X<1]=

（）

A.0.4B.0.2C.0.8D.0.1

【答案】A

./Ar\

【解析】因为X〜N（l,4）,且尸（XNa）=P（XW0.2）=0.1,则甩子一=1,即a=1.8,

则<X<1]=P（0.2<X<1）=P（X<1）-P（X<0.2）=0.5-0.1=0.4.

故选：A

7.高二某班男生20人，女生30人，男、女生身高平均数分别为170cm、160cm,方差分别

为170、160,记该班全体同学身高的平均数为又，方差为$2,则（）

A.X>165,52>165B.X<165,?>165

C.X>165,52<165D.X<165,?<165

【答案】B

_23

【解析】由题可知，该班全体学生身高的平均值为X=gxl70+w><160=164<165,

该班全体学生身高的方差为

9r-13ro-

?=-170+（170-164）9+-160+（160-164）-=188>165.

故选：B

8.已知当龙«0,1）时，/（x）=3A-3,若函数的定义域为R,且有/（x+1）为奇函

数，〃x+2）为偶函数，则〃k）g3300）所在的区间是（）

A.(—8,0)B.[。，[C.(j.l)

D.(l,+oo)

【答案】C

【解析】因为/(x+1)为奇函数，

所以/(x+1)=—/(一万+1),即/(x)=-f(-x+2),

又因为/(x+2)为偶函数，

所以/(x+2)=/(—x+2),

即/(x+2)=-/(%),

所以/(%+4)=-f(x+2)=-[-/(%)]=/(%),

故/(x)是以4为周期的周期函数.

因为当xe[0,1]时，f(x)=y-3,

100Y

所以〃log3300)=/(log3(3x100))=/(1+log3100)=/1+log381x

"/I/100、、"I/100、、，/Iz100x八

=/(I+4+log3(—))=/(l+log3(—))=-/(-log3(—)+1)

oloiol

243

=-/(log3(-))

243

因为0=log31<log3(同)vlog33=1,

Q/io](243)

S3100

所以/(log3300)=-/(log3(—))=-(3°-3)=3--=0.57.

故选：c.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，有选错的得。分，部分选对的得部分分.

9.在正方体ABC。—AgGR中，（）

A.AC1BDX

TT

B.直线BQ与CO所成角为:

4

c.4G//平面做c

TT

D,直线8G与平面84。。所成角为:

【答案】ACD

【解析】对于A,因为ABCD-4与。|，为正方体，则ABCD为正方形,

且。。J平面ABC。，ACJ.BD,ACu平面ABC。，

所以AC，。'，BD「DD[=D,BD,DD[U平面BDD「所以AC,平面3。'，

又3D]U平面则AC，32,A正确；

对于B,设正方体ABCD-AgGA棱长为a,

因为CD//AB,所以ZABQ为直线BDt与所成角，

在中，AB=a,AD]=0,则tanNA3n=*=0，

TT

所以直线8。与CO所成角不是一，B错误；

4

对于C,由4c1〃AC,ACu平面ABC，平面AB[C,

所以AG//平面钻C，C正确；

对于D,连结4。1小片。=o「由。。j平面4片。。1，得4G，。。，

1

又AGD[B],DD}BR=D],DD\,B、D\u平面BDRB],

所以AG，平面3。3用，

连结。刀，则。刀为BG在平面上的射影，

所以/。不旦为直线CXB与平面BDD.B,所成角，

在直角三角形GQ5中，sin/G30i=；,所以/03。1=30。

TT

则直线BG与平面片所成角为一，D正确.故选：ACD.

6

10.投掷一枚质地均匀的硬币两次，记“第一次正面向上”为事件A,“第二次正面向上”为事

件3,“至少有一次正面向上”为事件C,则下列判断正确的是（）

A.A与3相互独立

B.A与3互斥

7

C.P（B|C）=~.

D.P(C)=P(A)+P(B)-P(AB)

【答案】ACD

【解析】对于A,由已知P(A)=L,P(3)=L,而P(A3)=」一=L,

222x24

所以PQ4)P(B)=PQ48),因此A3相互独立，选项A正确；

对于B,由于事件A3可以同时发生，所以A与3不互斥，因此B错误；

对于C,尸(B|C)=当&=所以C正确；

n(C)3

对于D,由C=AB得,P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)f所以D正确.

故选：ACD.

11.在VABC中，已知4cos5+351118+45m(。一人)=9,人。=6,则()

A.A>BB.AB=2BC

C.VA3C的外接圆直径为10D.VA3C的面积为12

【答案】BCD

【解析】对于A,因4cosB+BsinjB+dsimC—A)=9,

34

所以SC^sinB+《cosB)+4sin(C-A)=9,

344

即5sinCB+0)+4sin(C-A)=9,其中cos^=—,sin^=—,tan^7=j,

故sin(5+°)=sin(C-A)=1,

因为A,尻(0,兀)，A+B+C=7t,

.71

所以_B+0=C—A=5，

JT

即0=2A,且0<2A<5，

7D43

所以tan°=tan(--B)=—,cos2A=—,

31

即tan3=—，tanA=—,tanC=-2,

42

71

因为/(X)=tanx在(0,5)单调递增，

所以3>A,故A错误；

对于B,由同角关系得sinA=@,sinB=3,sinC=2后，

555

2-

ABcsinC5、

所以由正弦定理得=；=—=「7=Th=2,即AB=2BC,故B正确；

BCasmA,5

~T

40=9=]0=2R

对于C,因为AC=6,由正弦定理得sin^一至—一，

5

R为VA5C的外接圆半径，故C正确；

对于D,由正弦定理得一日一=2R=10na=2j?,

sinA

所以VABC的面积为S=-tzZ?sinC=-x275x6x^^=12）故D正确.

ABC225

故选：BCD.

非选择题部分（共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.己知集合A={1,2,3,4,5,6},集合3={xeR|—1＜尤＜4},则AB=.

【答案】{1,2,3}

【解析】因为集合4={1,2,3,4,5,6},集合5={xeR|—1＜尤＜4},

则A5={1,2,3}.

故答案为:{1,2,3}

525

13.若（2%4-1）=%+axx+a2x+...+a5x,则4=.

【答案】40

【解析】因为二项式（2x+1）5展开式的通项公式为4M=C-（2x）5f=€；25-「.尤5-,

令5-厂=2,贝!Jr=3,所以4=C；,2?=40.

故答案：40

14.在三棱锥A—BCD中，AC±AB,BD±AB,且AC=5。=10,A5=3,若三棱锥

A-BCD的外接球表面积的取值范围为维'■兀,409兀,则三棱锥A-BCD体积的取值范

_4_

围为.

【答案】[25后50]

【解析】如图，由题意可将三棱锥A-BCD补形为三棱柱ACE-BED,

故三棱锥A-BCD的外接球即为三棱柱ACE-BFD的外接球,

因为AC_LAB,60_145即4£_1_钙，AEAC=A,AE,ACu平面ACE,

所以平面ACE,故三棱柱ACE-BED是高为3的直三棱柱，

由题可设NC4E=。，0e（0,7i）,

则由题意以及余弦定理得

BC=VAE2+AB2-10®4破）200cos-~10上t喇（-,

所以9。石的外接圆半径为r=BC=叫2。-8s6>2="2（1-cos。）,

2sin。2sin。sin。

所以外接球的半径为R=+卜也(ios年口+50(1—3°),

\sin。v4sin0

所以外接球表面积为

S=4成2=4兀4+竺f)]=9兀+随匕冷=9兀+…，

4sin20J1-cos201+cos^

故由题竺1兀49兀+。。。兀K409兀,

41+cos0

17c13c

n——<cos0<一,所以OWcos2。4一,则一Wl—cc^ewi

22544

==

由二棱柱的结构性质及题意可知VA_BC£）=^C-ABD^C-AED~^D-ACE^C-BDF且

^A-BCD+^C-AED+^C-BDF~/棱柱ACE—BfD

所以匕-BCD=§匕棱柱工CE-3F£)=]S4七.AB

=—x—xl0xl0sin6x3=5Osin0=50Vl-cos20,

32

又由上生所以匕.BCD=5ojl-cos?夕e125百,5o],

故答案为：[256,50].

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.某校开展一项名为“书香致远，阅读润心”的读书活动，为了更好地服务全校学生，需

要对全校学生的周平均阅读时间进行调查，现从该校学生中随机抽取200名学生，将他们

的周平均阅读时间（单位：小时）数据分成5组：[2,4）,[4,6）,[6,8）,[8,10）,[10,12],根

据分组数据制成了如图所示的频率分布直方图.

1724681012时间（中位r小时）

（1）求。的值，并估计全校学生周平均阅读时间的平均数；

（2）用分层抽样的方法从周平均阅读时间不小于6小时的学生中抽出6人，从这6人中随

机选出2人作为该活动的形象大使，求这2人都来自[6,8）这组的概率.

解：（1）依题意可得（0.02+0.05+0.1+a+0.18）x2=l,解得。=0.15,

又由频率分布直方图可得（3x0.02+5x0.18+7x0.15+9x0.1+11x0.05）x2=6.92,

所以估计全校学生周平均阅读时间的平均数为6.92小时.

（2）由频率分布直方图可知[6,8）,[8,10）和[10,12]三组的频率的比为

0.15:0.1:0.05=3:2:1,

所以利用分层抽样的方法抽取6人，这三组被抽取的人数分别为3,2,1,

记[6,8）中的3人为&%,名,[8,10）中的2人为4也,[10,12]中的2人为q,

从这6人中随机选出2人，

则样本空间

Q=｛a1a2,a1aJ,01bl,01b2,a1cl,01ai,a2bl,,02cl,03bl,ajb2,03cl,Z?也，，打。｝，

共15个样本点，

设事件A:选出的2人都来自[6,8）,则4=｛的2,01g,%%｝共3个样本点，

31

所以。（田=百

5

16.如图，在四棱锥P-A3CD中，四边形ABCD为正方形，△?△£）为等边三角形,

48=2,£、/分别为人。、3。的中点，EGLPF,垂足为G.

（1）证明：EG,平面P6C；

3

（2）若cos/P4B=-一，求平面R45与平面PCD形成的锐二面角的余弦值.

4

解：（1）如图，连接在△PAD中，PEJ.AD，

在正方形ABCD中，EF±AD,又因为PE、EFu平面PEF,PEcEF=E,

所以AD,平面。防，又因为BC〃A。，所以平面？砂，

而EGu平面P石户，所以

又因为EG工PF,且5C、PFu平面P8C,BCcPF=F,

所以EG,平面P6C.

3

（2）在上旬中，因为PA=2,AB=2,cosZPAB=——,

4

所以由余弦定理可得：P5=^4+4+2x2x2x|=714,

因为平面？即，所以BCLPF,在△//斤中，

由勾股定理得：PF=y/pB2-BF2=^/13,

4+31

又在！PEF中,由余弦定理得：cosZPEF=-1=-—

2x2xV;32

如图以E为原点，区4,五户分别为匕丁轴，过E且垂直底面ABCD的直线为z轴建系,

(3

则A(1,0,0),5(120),G(-l,0,0),C(-l,2,0),P0,--,^,D(-l,0,0),

I22J

则AB=(O,2,O),PA=，DC=(O,2,O),PD=

2%=0

设有=为平面mg的法向量,取〃i=(石,0,2卜

2玉+3%-百4二0

2y2=。

设巧=（%2，%"2）为平面PCD的法向量，贝卜0,取性=(后0,-2b

-2%2+3y2-

5•%3-41

所以cosg,%=「「=▼=_亍，

㈣.同77

故平面与与平面尸CD形成的锐二面角的余弦值’.

7

17.已知a,b,c分别为VA5C三个内角A,5c对边，且回竺主义―2cos（A+3）=

sinA'）

a+c

=~T'

（1）证明：b2—a2=ac;

(2)求cosA+乌的最小值.

b

解：⑴因为sin(2A+叽2cos(A+5)=sin((A+5)+止2cos(A+5)sinA,

sinAsinA

sin(A+5)cosA+cos(A+5)sinA-2cos(A+5)sinA

sinA

sin(A+B)cosA-cos(A+3)sinAsin[(A+5)-A]sinB

sinAsinAsinA

可得当=修，由正弦定理得2=(£,即"心仁

sinAbab

(2)由余弦定理得cosA，因为廿—42=公，所以cosA=£土9,

2bc2b

可得次osA=a+c,所以由正弦定理可得

2sinBcosA=sinC+sinA=sin(A+5)+sinA,

二sinAcosB+cosAsin5+sinA,

即sinBcosA-sinAcosB=sin(B-A)=sinA,

即sin(5—A)=sinA,故3=2A,

又因为C=71—A—8=兀一3A,所以0<2(%即，<cosA<l,

32

“ri4asinA1、厂

所以cosA+一二cosA4+----=cosA4+----->，2,

bsinB2cosA

当且仅当cosA=#时，"=”成立，故COSA+£最小值为血.

18.已知函数/(%)=are1-1-x-lnr.

(1)若a=2,求曲线〃力在点处的切线方程；

(2)求函数〃尤)在区间［1,3］上的最大值g⑷的表达式;

(3)若函数/(%)有两个零点，求实数。的取值范围.

解：⑴易知函数八％)的定义域为(0,+8).

当a=2时，/(x)=2x&x~'-x-lnx,x>0.

/'(x)=2e-+2xe"1-l--=(x+l)f2e*T

所以/(无)在点M处的切线斜率左=/'⑴=(1+1)12e°-=2,

又/(l)=2e°—1—0=1,即点M坐标为(1,1),

所以点“处的切线方程为y=2(x—l)+l=2x—1；

(2)因为=-x-lnx,x>0.

所以/'(x)=ae*T+axex~'-1--=(x+l)(aex~l__j，

当a<0时，易知尸O)<0在(0,+8)上恒成立，

所以/(%)在(0,+8)上单调递减，

故函数/(尤)在区间［1,3］上的最大值为〃l)=ae°—1—0=a—1.

当a>0时，令/z(x)=ae*T—工,％>0,

X

则h(x)在(0,+8)上单调递增，

且当X.0时，当X—+CO时，力(1).+8,

所以〃(尤)=0在(0,+8)上有唯一的一个零点.

令ae，T—L=0,则该方程有且只有一个正根，记为毛（%>0）,则可得:

X

X（。，/）（不，+”）

f'M—+

/(x)单调递减单调递增

所以函数/（%）在区间［1,3］上的最大值为max{〃l）"（3）},

由=l,/（3）=3ae2—3—ln3,有：

当°<a<时'8（。）=/（1）=。-L

当时，g（a）=/（3）=3ae2-3-ln3,

,2+ln3

a-l,a<------

3e2-l

故g(a)=<

2n3

3ae2-3-ln3,tz>V

3e2-l

（3）由（2）可知,当a«0时,/（九）在（。,+8）上单调递减，

故此时函数/（可至多有一个零点，不符合题意；

当a>0时，在xe（0,%）时，/（%）单调递减，在时，/（%）单调递增；

且tze'0-1--=0,所以aex°~'=」，①

七%

又X-0时，/（X）3+8,当Xf+CO时，+8,

x

为了满足/（X）有两个零点，则有/（x0）=axoe°~'-x0-lnx0<0.②

对①两边取对数可得Ina=1-%-In%,③

将①③代入②可得/（%）=-x0-lax0=Ina<0,解得a<1.

所以实数。的取值范围为0<a<l.

19.二项分布是离散型随机变量重要的概率模型.我们已经知道，若XB（n,p）,则

p（X=A）=C：p*（l—p）”-。多项分布是二项分布的推广，同样是重复〃次试验，不同的是

每次试验的结果不止2种，而有加种，记这加种结果为事件，4“，它们的概率分

别为B,必，…，P,n，则R20,Pl+P2+…+=1•现考虑某厂生产的产品分成一等品A、

二等品4、三等品4和不合格品4,它们出现的概率分别为。1，必，。3，。4,从该厂产品中

抽出〃个，研究各类产品出现的次数的情况，就是一个多项分布.由于产品很多，每次抽取可

以看作是独立重复的.

(1)若从该厂产品中抽出4个，且。|,必，23和。4分别为0.15,0.70,0.10和().05,求抽出

一等品1个、二等品2个，三等品1个的概率；

(2)现从该厂中抽出〃个产品，记事件从出现的次数为随机变量X,/=1,2,3,4.为了定

出这一多项分布的分布列，只需