重难点突破：利用导数解决一类整数问题（四大题型）

重难点突破10利用导数解决一类整数问题

目录

题型一：整数解问题之分离参数、分

离函数、半分离

题型二：整数解问题之直接限制法

利用导数解决一类整数问题

题型三：整数解问题之虚设零点

题型四：整数解问题之必要性探路

■方法技巧总结

利用导数解决一类整数问题常见技巧有：

1、分离参数、分离函数、半分离

2、直接限制法

3、虚设零点

4、必要性探路

・必考题型归纳

题型一：整数解问题之分离参数、分离函数、半分离

例1.(2023•贵州•校联考一模)己知/(x)=lnx-ox+l(aeR).

⑴讨论/(x)的单调性；

⑵若/卜)4：62_工对_^(0,+8)恒成立，求整数。的最小值.

【解析】(1)/(x)的定义域为(0,+⑹J'(x)=L-。，

X

(i)当时，/'(x)〉o,/(x)在％w(0,+8)上单调递增;

(ii)当Q>0时，令/'(%)>0=>1—ax>0=>0<x<,，

a

令f\x)<0=>x>—,

・••当a«0时，/(x)在xG(0,+co)上单调递增；

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当a>0时，/(x)在上单调递增，在+^|上单调递减.

(2)由/(x)一、，可得：«(x2+2x)>2(lnx+x+1),

・・•x>0,・・・原命题等价于。>2(1n：+“+，对X£(0,+8)恒成立.

x+2x

令尸(x)=2(ln：+x+D,.•.P(X)=-2(X+：)(21；：+X),

x+2x(x+2x)

2

令G(x)=21nx+x,/.G'(x)=—+l>0,G(x)在xw(0,+8)上单调递增.

x

XG(0.5)=-21n2+0.5=-ln4+lnV^<0,G(l)=l>0,

故存在唯一的％e(0.5,1),使得G(.%)=21nxo+.%=0.

当0<x</时，G(x)<0,:.F(x)>0,

尸(%)在工£(0,%)上单调递增，

当时，G(x)>0,/.r(x)<0,

尸(%)在(%,+8)上单调递减.

2(InxQ+x0+1)x0+21

尸Wmax=尸(％)=

XQ+2x0%(%+2)/

・•・〃>'时，XG

o恒成立.

<7>2,又〃£Z,「.a的最小整数值为2.

例2.(2023・四川广安・广安二中校考模拟预测)已知函数/(x)=(x-2)e、-

⑴若函数/(x)在［0,2］上有两个零点，求实数。的取值范围;

(2)当xe1,1时，关于x的不等式/(x)Wx-1-lnx恒成立，求整数。的最小值.

【解析】⑴〃x)=(x-2)e*-a,［解)=卜-1户,

当0<x<l时，/f(x)<0,当x>l时，#(x)>0,

则/(x)在［0,1)上单调递减，在(1,2］上单调递增，

7(0)=-2-a>0

若/(x)在［0,2］上有两个零点，则/(l)=-e-a<0

〃2)="0

解得-e<aV-2,故。的取值范围是Qe,-2］

(2)/(x)Wx—1—Inx,［ipa>(x—2)e'+Inx—x+1,在xe—,1时恒成立,

令g(x)=e*-x-1,g'(x)=e*-1,

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当x<0时，g'{x)<0,当x>0时，g'(x)>0*

则g(x)在(-«,0)上单调递减，在(0,+网上单调递增，

故g(x)2g(0)=0,即HNx+1,当且仅当尤=0时等号成立，

令/z(x)=lnx-x+1,h'{x}=--\,

x

当0<x<l时，h'(x)>0,当x>l时，h'(x)<0,

则以x)在(0,1)单调递增，在(L+8)上单调递减，

A(x)<A(l)=0,即Inx-x+lVO,当且仅当x=l时等号成立，

而xe1,1时，x-2<0,故

(x—2)e*+lnx—x+l<(x—2)(x+1)=x?—无一2W—2,

当x=l时，不等式为a2-e,而a=-2时满足题意，

故整数。的最小值为-2

例3.(2023•黑龙江鹤岗•高三鹤岗一中校考阶段练习)已知函数〃x)=4"2+21nx-3(aeR).

⑴讨论函数/(x)的单调性；

⑵若。为整数，且/'(xkZflnx+z恒成立，求a的最大值.

【解析】(1)/(%)=4/+21n%—3的定义域为{x|%>0},ff(x)=8ax+-.

当a20时，/呦)〉0,则3在(0,+动上单调递增；

当a<0时，解/'(x)=0,BP8ax+|=0,得工=±：「!(舍去负值)；

得0<x所以/(x)在0,gJ」]

解/取)〉0,gp8ax+->0上单调递增；解/'(x)<0,即

X2VaaJ

8^+|<0,得x〉g总,所以/(、)在上单调递减.

综上所述，当a20时，/⑴=而%2+21nx—3在(0,+功上单调递增；当a<0时，/(%)在10,；J-9上单

、

调递增，在--,+°o上单调递减.

aJ

(2)由已知可得,4加+21nx-3<2x]lnx+2恒成立,x>0,

即a<在(。,+8)上恒成立.

2

令?-告+熹--2x-4xlnx2

g(x)=，则只需。<g(工)级即可•g'(x)=%-2x於x+2Inx-6

2x2?

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4^/z(x)=x2+21nx-6,〃'(x)=2x+—>0在(0,+力)上恒成立,所以人(%)单调递增.

52525「125八

l.//(2)=4+21n2-6=21n2-2<0,h----1-2In——6=—+2In—>0,

4242

2,1\使得力(%)=0,且当0

所以，3x0e时，h(x)<0,当x〉/时，/z(x)>0.

即叫，使得g'(%)=0,且当0<x</时，gr(x)<0,g(x)在(0,%)上单调递减;

当x>为时,g'(x)>0,g(x)在(尤o，+co)上单调递增.

所以，g”理-密+奈在『。处取得唯一极小值，也是最小直

+2In%-6=0,则m％=3一子.

又g'(x0)=

2%

2xo2

3-人3

3二।5_111

所以g(x())___2_.7,

22/24x024X。；4

/、17,7/、1

令A加⑴=--+“t=X2f左(/)=%+；,t>\,

1_('+l)('T)

则(,当时，左

rz)=i--=,2t>l

所以，左⑴=/+;在(1,+⑹上单调递增,

从而冽(％)=-!75

+1在(1,+⑹上单调递减，则加<m(x)<m(2),

40

又加(2)=-；X(221)711,51254+J例>0,

+F+-=——<1,m-----x一十一

22241644254400

所以0<打(%0)<1,所以0<g(x())<l.

又。为整数，a<g(x0),所以。的最大值为0.

变式1.(2023•辽宁沈阳・高三沈阳二十中校联考期中)已知函数/(尤卜平

⑴判断f(X)的单调性，并比较20202必与202、P2。的大小;

…)

(2)当x>0时，不等式+k+1>0恒成立，求整数后的最大值.

x

\7

【解析】(1)由题意知:函数"X)的定义域为(0,+功，

尸(外=上黑，当x>e时，f'(x)<0,函数/(x)单调递减;

当0<x<e时，f'(x)>0,函数/(x)单调递增；

所以函数〃x)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，

第4页共26页

所以/(2020)>/(2021),即------>------,所以2021-In2020>2020In2021,

20202021

20M

即In2020的>in202l，又因为2=Inx在(0,+oo)上单调递增,

所以202023>202J。,

liiXp-x

(2)因为/卜)=也，所以/6，)=三=一年"

xe

(f(-^)

所以不等式+左」-Q^+1>0可化为l+xe*+斤(1一e')>0,

因为xe(0,+oo),所以l-e*<0.

所以不等式等价转化为k<空口对任意的xe(0,+A)恒成立,

ex-1

xex+1eJ(ev-x-2)

令g(x)=则g'(无)=

ex-l(e'-l)2

令e(x)=e*-x-2,贝！|(p\x)=e%-1,

因为xe(0,+oo),所以(p\x)=ex-1>0对任意的xe(0,+»)恒成立,

所以0(x)=3-x-2在(0,+⑹上单调递增，

因为0(1)=e-3<0,^(2)=e2-4>0,

故叫e(l,2),使得0(Xo)=e'。-/-2=0,

因此当0<x<x()时,a(x)<0,g'(x)<0,即此x)在(0,%)上单调递减,

当x>/时，e(x)>0,g'(x)>0,即g(x)在(％,+00)上单调递增，

io

,,zX/\Xoe+1x0(x0+2)+l

故g(x)1nhi=g(x°)=而|---=X。+1e(2,3,

-1x0+1

所以左<g(x)1nto=%+1,

故整数上的最大值为2.

变式2.(2023•天津河北•统考一模)已知函数［(x)=^-lnx-2.

⑴求曲线了=〃x)在点(1J⑴)处的切线方程；

(2)讨论函数/("的单调性；

⑶若对任意的尤e(l,+℃),都有xlnx+x>M尤-1)成立，求整数上的最大值.

【解析】(1)函数〃x)=x-lnx-2,求导得/'(x)=l-L贝⑴=0,而/⑴=7,

X

所以曲线y=/(%)在点(1,/(1))处的切线方程是卜=-1.

(2)函数/(x)=x—lnx—2的定义域是(0,+s),/(x)=l--,

X

当xe(0,l)时，f'(x)<0,函数〃x)单调递减，当xe(l,E)时,f'(x)>0,函数单调递增,

所以函数f(x)的递减区间是(0,1),递增区间是(1,+◎.

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,、―八、1,-,xInx+x

(3)VxG(I,+oo),x\nx+x>k(zx-1)<=>A:<-----------

x-l

(

令g(x)=xMx：x,x>l,求导得g'(x)=2+lnx)(x-l)-(xlnx+x)x-lnx-2

x-l(1)2(1)2

由(2)知，/0)=、_山1_2在(1,+8)上单调递增，/(3)=l-ln3<0,/(4)=2(l-ln2)>0,

因此存在唯一与e(3,4),使得/(Xo)=o,即=

当)£(1,%0)时,/(X)<0,Bpg\x)<0,当)£(%,+8)时,/(X)>0,BPgr(x)>0,

因此函数g(x)在(1,%)上单调递减，在(%,+⑹上单调递增,

xInx+x_x(x-2)+x

于是gOU=g(%)=000000=x(,贝I］左ex。e(3,4),

%-1%-1

所以整数上的最大值是3.

变式3.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=lnx.

k1IA

(1)若函数y=/(%)+—在下,+8上有两个不同的零点，求实数左的取值范围;

xe'

51，+8］，都有函数＞=/(')+8的图象在g(')=《的图象的下方?

⑵是否存在实数左，使得对任意的工£

2xx

若存在，请求出最大整数左的值；若不存在，请说理由.

(参考数据：1口2=0.6931,”=1.6487)

kk

【解析】(1)因为/(x)+土=lnx+—,

XX

则由题意知方程-左=xln尤，在上有两个不同的根.

由Inx+—=0,得一左=xIn%,令g(x)=xlnx,则g'(x)=lnx+l,

x

由g'(x)=0解得x=L

e

当时，g'(x)<0,g(无)单调递减;

ee)

当xe时，g'(%)>0,g(x)单调递增,

第6页共26页

所以当x=」时，g(无)取得最小值为g(1=-L

ee

又gg)=-，g⑴=0,

所以一_1L<—左工―2彳，解得彳2(上<L1.

eeee

(2)假设存在实数人满足题意，则不等式lnx+幺〈《对恒成立,

XX)

即左<e"-xlnx对x£15，+8)恒成立.

令h(x)=ex-xlnx,贝Uh(x)=ex-lnx-L

令r(x)=-Inx-1,贝ijrz(x)=ex,

x

因为/(%)在(g，+s]上单调递增，/(；)=1—2<0,/⑴=e—1>0,

且/(x)的图象在(；,1)上不间断，所以存在毛£(；,1),使得/(%)=0,

即ex°--=0,则与=_加%,

%o

所以当xe(g,x。)时，«x)单凋递减；当xe(x°,+co)时，«x)单调递增，

则r(x)取到最小值r(x0)=e"-Inx。-1=X。H----1>2x0----1=1>0,

%Vxo

当且仅当％=1时，等号成立，

但由于％e[J,故等号无法取到，贝什(%)>1>0,

所以h'(x)>0,即“(x)在区间(1,+«)内单调递增.

<1A111L1

所以上-=e2--ln-=e2+-ln2=1.99525,

⑵222

所以存在实数人满足题意，且最大整数左的值为1.

变式4.(2023・云南•校联考三模)设函数/(x)=xe、+",〃〉-!,若存在唯一整数升,使得/(/)<0,则。

的取值范围是.

_

【答案】f_5-"T

Iee」

【解析】由函数〃x)M：xe*}ar,a>T,设g(x)=xe*和y=-ax,a>-1

因为存在唯一整数升,使得/(%)<0,

所以存在唯一的整数年使得g(x。)在直线>=一依的下方，如图所示，

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因为g'(x)=(x+l)e",当尤<-1时,g'(x)<0；当x>-l时，g")>0,

所以g(x)在上单调递减，在(-1,+8)单调递增，

当x=-l时，g(x)取得极小值，也为最小值g(x)1nll1=g(-l)=T,

且当x=0时，g(0)=0,当x=—2时，g(—2)=---,

又由直线>恒经过原点。(0,0),斜率为-。(其中〃>—1),

1?11

所以Q〉g(—l)=――且g(—2)=一一^>2a,解得一一<a<--r,

eeee

所以实数0的取值范围是［-士-二,

kee」

-

故答案为：f-?--\

Iee」

变式5.(2023•辽宁锦州•渤海大学附属高级中学校考模拟预测)若关于X的不等式Mx2+2%)<inx+l的解

集中恰有2个整数，则左的取值范围是.

・小田、ln3+l,/n2+l

【答案］

15o

【解析】Vx>0,，不等式上(x?+2无)Vlnx+1可化为4(x+2)V^^,

x

令〃尤)=啊!1,./,(力=当,由/取)〉0解得0<》<1,由/'(x)<0解得x>l,.•J(x)在(0,1)为增函

XX

数，/(X)在(L+8)为减函数，

令g(x)=Mx+2),则g(x)的图象恒过(-2,0),若解集恰有2个整数,

当上40时，有无数个整数解，不满足题意；

当左>0时，如图，则两个整数为1和2,故2满足不等式且3不满足不等式，即8左WU12+1且15斤>ln3+l,

ln3+l7jln2+l

15o

ln3+l,ln2+l

故答案为：——<k<^—

15o

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变式6.(2023•云南•高三校联考阶段练习)已知函数/(x)=ln(x+〃7)-e，M,满足/G)<0恒成立的最大

整数m的值为___.

【答案】3

【解析】原不等式等价于ln(x+W<eZ,由y=lnx与尸e'的图象平移变换可知,

若满足题意，则只要加小于>=ln(x+机)与了=6田两个函数相切时的加值即可.

=ln(x0+m)m=~x0+e-'”一

设公切点为(%,%),x+1

则有龈1，所以“e°=-x0-1

x0+m[x0+m>\

1

所以加=一尤。+-----

F-l

令g(x)=e*+x,则g，(x)=e，+l>0,故g(x)单调递增,

故W+lw]-1"，-；]，使得

eXo+1=-x-l,所以—(%+1)£

0ill,

由对勾函数的性质，可得加=-Xo-l+—-+le

-x0-l

故最大整数m取3.

故答案为：3.

变式7.(2023•全国■高三专题练习)已知函数/'(x)=e*(3x-l)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数升,

使得/(/)<0,则实数。的取值范围是.

【答案】

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【解析】设g(x)=e、(3x-l),y=ax-a,

由题意知，函数V=g(x)在直线y=ax-a下方的图象中只有一个点的横坐标为整数,

2

g，(x)=/(3x+2),当时，g'(x)<0,

27_2

.,.当时，g'(x)>0,所以，函数y=g(无)的最小值为g(-()=e3.

又g(O)=-l,g(1)=e>0,

直线y=办-。恒过定点(1,0)且斜率为a,

e

故答案为：

变式8.(2023•全国•高三专题练习)若对Vx>0,关于x的不等式;Md+s-lnxNx+l恒成立，则整数加

的最小值为.

【答案】2

【解析】设=,g(x)=lnx+x+l,只需保证的图象在g(无)的上方即可

易知：g(x)在区间(0,+司上单调递增，且机>0(否则当x无限趋近无穷大时，不能成立)

则存在f(x)与g(x)在某个点处相切，设切点为产(毛,几)

一(%)=3(无。)

可得：'/(%)=；5％?+mx0

g(x0)=lnx0+x0+l

-1

m=——

化简可得：“°

।1八

1nXo+y=0

设〃(x)=lnx+gx=O,易知在区间(0,+ao)上单调递增

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可得：^(1)=1>0,心J=：_ln2<0

可得：万<x0<1

则1〈冽<2,这是/(x)与g(x)在某个点处相切的小范围，当加比相切时大，则/(“会在g(x)上方，即

也满足题意

故加的最小整数为2

故答案为：2

题型二：整数解问题之直接限制法

例4.(2023・全国•高三专题练习)已知函数〃x)=axe=ax+a-e'(a>0),若有且仅有两个整数天«=1,2),

满足/'(xj<0,则实数。的取值范围为.

2

【答案】-Ie—<a<l

2e2-l

xxx

(解析】若/(x)=axe-ax+a-e<0f即a(xe“-x+1)<e,

因为a>0,所以xe=x+l<《，即xe,-x+l<]_,记"》)=型二±±1,

aexaex

故只需有且仅有两个整数=1,2)使得M”<｝成立即可，

所以〃(x)=(x+W'-1-(m-x+1)

v7eYex

记尸(x)=e，+x—2,所以户〈x)=e，+l>0,

所以尸(x)在R上单调递增，

因为尸(0)=1-2=-1<0,F(l)=e-l>0,

所以电e(O,l),使得尸(%)=0,即e』+x。—2=0,

在(-8,%)上尸(x)<0,即〃(x)<0,〃(x)单调递减,

在(%,+8)上尸(x)>o,即力(x)单调递增,所以“(X)有最小值〃(尤0),

因为无。40,1),且"0)=1,4)=1,

，/1\—e]+1+1__\2e~—2+1.1。1

A(-l)=--------=2e-l,TA(2)=--------=2——,而2e-l>2--,

eeee

若使；>“X)有且仅有两个整数X,(/=1,2),

112

只需即可，解得e

e2a2e2-l

2

故答案为：e<a<l

2e2-l

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例5.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=g/+("-1,-1何eR).

⑴求函数f(x)在区间［L2］上的最大值；

(2)若加为整数，且关于x的不等式;'(尤)》Inx恒成立，求整数机的最小值.

【解析】(1)若加=0时，“x)=r-lj(x)在区间［1,2］上单调递减，

所以/(初则=一2.

1—m

若加〉0,则二次函数图象对称轴l二——，

m

1—m32

当——<-,即加2—时，1离对称轴近，2离对称轴远，

m25

所以/(x)max=/(2)=4/-3.

1—W732

当——>-,即。<根<三时，1离对称轴远，2离对称轴近,

m25

/(X)max=/(1)=］加一2.

若m<0,对称轴X=4<0J(X)在区间［1,2］上单调递减,

3

/Wmax=/(l)=-m-2

二o2

4m-3,m>—

综上，/OOmax=，32

125

(2)因为恒成立,

EPInx-^-mx2+(l-m)x+l<0恒成立,

G(x)=lnx-~+(1-^)x+l,(x>0),

，/、1/、-mx2+(l-m)x+l+—加x)

所以G(x)=——mx+(l-m)=----------------=------------,

xxx

当加工0时，因为x>0,所以G'(x)〉0,

所以G(x)在(0,+句上是单调递增函数.

3

又因为6(1)=-5根+2>0,所以关于尤的不等式G(X)40不能恒成立.

mT(叫

当根〉0时，、(X+1)(1-加X)

G(x)

XX

令6'("=0得了=L，所以当xe(0,L］时，G'(x)>0；当x/L+s］时，G'(x)<0.

m\m))

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因此函数G(x)在上是增函数，在上是减函数.

故函数G(x)的最大值为=机.

)2m

］111-

4/?(w)=--Inm,因为”(l)=5>0,/z(2)=7-ln2〈了一lne2<0.

又因为A(m)在机e(0,+oo)上是减函数，所以当机22时，/?(m)<0,

即关于x的不等式G(x)WO恒成立，

所以整数机的最小值为2.

例6.(2023・云南・高三云南民族大学附属中学校考期中)已知函数/(无)=lnx+加x(加eR).

⑴讨论函数的单调性;

⑵若沉为整数，且关于x的不等式〃力45/+(2〃?-1卜-1恒成立，求整数加的最小值.

【解析】(1)由题意知，/(x)的定义域为(0,+e),

对/(X)求导，得/'(x)=：+m=f」(x>0)

当加20时，〃(x)>0恒成立，所以/⑺在(0,+司上单调递增；

当加<0时，由#(。〉0,得0<x<二,由/'(x)<0,得

mm

所以，〃x)在］o，T上单调递增，在［：,+«)］上单调递减；

综上所述：当加20时，/(X)在(0,+司上单调递增；

当机<0时，/(x)在上单调递增，在上单调递减.

(2)因为/(x)<-^-x2+(2加一1)%—1恒成立，BPlnx+mx<^-x2+(2m-l)x-l,

BPlnx--mx2+(1-加)x+l<0恒成立，令G(x)=Inx-—mx2+(l-m)x+l.

22

rr，/、1/、-mx2+(l-m)x+l+

所以G(x)=——mx+(l-m)=-----------------=-----------.

xxx

当加W0时，因为x>0,所以G'(x)>0,所以G(x)在(0,+8)上是递增函数.

又因为G(l)=-；加+2>0,所以关于尤的不等式G(x)V0不能恒成立.

当机>0时,，G'(x)—(x+l)(l-™Q_/x-j(x+l).

XX

令G'(x)=0得x=’,所以当时，G'(x)>0；当时，G'(x)<0.

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因此函数G(x)在上是增函数，在上是减函数.

故函数G(x)的最大值为61］=二_一出机.

J2m

令——In加，因为刈1)=；>0,〃(2)=：-ln2co.

又因为A(m)在机e(0,+oo)上是减函数，所以当加22时，/?(/n)<0.

所以整数m的最小值为2.

变式9.(2023・全国•高三专题练习)已知函数f(x)=x(lnx+l).

(I)求函数/(x)的单调区间；

(II)求证：曲线了=/(x)在点(％,/(%))处的切线不经过原点；

(III)设整数上使得/(x)2(x-1对xe(O,+s)恒成立，求整数上的最大值.

【解析】(I)函数的导数为/'(x)=2+lnx,由/'(x)=0得

由#(无)〉0,得x>1,所以/(无)在W，+s)上单调递增，

由/'(x)<0,得0<x<"2,所以/(x)在(0,1)上单调递减.

所以/(x)的单调减区间为(0,e~2),增区间为(e之+动.

(II)由(I)得曲线了=/(无)在点(尤o,/&))处的切线为尸/(%)=/伉)(了一天),其中%>0,

假设V=f(x)在点(%,/(%))处的切线经过原点.

则有0-7(%)=((％)(0-即-X。(In尤0+1)=(2+In无0)(-%),

整理得X。=0与%>0矛盾，

则曲线y=/(x)在点处的切线不经过原点；

(III)/(X)W左［x-；］对xe(0,+oo)恒成立等价于当尤>0时，/(X)-左W0恒成立.

令8(%)=/(》)一后l-',则g，(x)=lnx+2-左.由g，(x)=0,得x=e"2，

随着x变化，g(x),g'(x)的变化情况如下表所示：

XW)ek~2(e"2,+oo)

g'(x)-0+

g(x)极小值/

所以g(x)在(0，个)上单调递减，在(e"2,+动上单调递增,

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所以函数g(x)的最小值为g(e"2)=g

k-2>0,

令从月="_产,则“(2)=；x2_e2-2=］一1=0.

当后=2时，因为g(x)的最小值为g(e~2)=g(l)=0,

所以恒成立，符合题意；

当上>2时.由/?'(左)=；一e"2<g-e2-2<0,得函数“左)=；”广2,在(2,+8)上单调递减，所以

力⑻<〃(2)=0,

故此时g(x)的最小值g(个)=〃㈤<0,不符合题意，

所以整数上的最大值是2.

题型三：整数解问题之虚设零点

例7.(2023・贵州•校联考模拟预测)已知函数/⑺=尤可-1("0),g(x)=lnx+bx+l.

⑴求函数/'(x)的单调区间；

⑵若对任意的。41,+⑹，不等式(尤)在xe(O,+⑹上恒成立，求整数b的最大值.

【解析】(1)函数/(x)的定义域为R,f'(x)=x(ax+2)eax,

2

令f'(x)=0得再=0,%=——，

a

①当a>0时，若xe1-oo,-|•卜(0,+co),则*x)〉0；若xe1-jo),贝了(%)<0,

故/⑺在,0-j］，(0,+")上单调递增，在［-jo］上单调递减；

②当a<0时，若xe［o,-1］,则"(x)>0；^xe(-M,0)u|^-1,+»^则/⑺<0,

故/(X)在上单调递增，在(-咫0),1j+s］上单调递减.

(2)因为且x>0,所以春3_12娱*_1,

于是原命题等价于不等式xe，>lnx+bx+l对任意的xe(0,+s)恒成立.

从而6Ve，-叱-工对一切无«0,+8)恒成立，

XX

令尸⑺=e「『T(x>0),则1mn，

“,(x)=e'+W=在A，

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令=x2ex+Inx,XG(0,+oo),则"(%)=2xex+x2ex+—>0,

二・在(0,+e)上单增，又〃(l)=e>0,/zf-^=ee2-1<e°-1=0,

3x0GGJ使〃(%)=0，即+lnXo=0①，

当工£(0,%)时,A(x)<0,即尸(x)在(0,%)递减；

当%£(%0，+8)时,A(X)>0,即产(%)在(%,+8),递增，

•••尸3皿=网％)=於。-?一，

%xo

x

由①矢口片e"=—In/,xoe°--=—In—=fIn—e殉,

%%%

函数9(x)=xex在(0,+司上单调递增，

x°=In—即x0=—lnx0,

xo

：.F(x)=e-ln^-^-—=—+1-—=1,

'/minYYYY

人0人0A040

因此整数6的最大值是1.

例8.(2023•河北石家庄•高三校联考期末)已知函数〃x)=e-3，+ax的图象在x=l处的切线方程为

y=(e-2)x+b.

(1)求4，6的值；

(2)若关于x的不等式/(x)>加对于任意xe［l,+”)恒成立，求整数机的最大值.(参考数据：11110^2.3)

【解析】(1)函数/(无)=e"-3/+ax,求导得：f\x)=ex-6x+a,

因为函数/(x)的图象在x=l处的切线方程为y=(e-2)x+6,则/⑴=e-6+a=e-2,解得。=4,

当x=l时，y=c—2+b,则e—2+6=/(l)=e—3+a=e+l,解得b=3,

所以。=4,b=3.

(2)由(1)矢口，f(x)=ex-3x2+4x,/r(x)=ex-6x+4,令g(x)=/<x)=e"-6x+4,x>1,

8<%)=治-6在(1,+8)上单调递增,当l<x<ln6时，gf(x)<0,当x>In6时，g'(x)>0,

因此函数［(x)在(lJn6)上单调递减，在(In6,+8)上单调递增，

/'(In6)</<2)=e2-8<(2⑨2_8=0,r(l)=e-2>0,/(InlO)=14-61nl014-6x2.3>0,

于是存在占e(l,ln6),x0e(ln6,lnl0),使得八网)=/也)=0,

当1<》<匹或x>Xo时，f\x)>0,当再<了</时，f\x)<0,

x

即有函数〃x)在(1,再),(%,+向上单调递增，在(西,尤。)上单调递减，M/(l)=e+l,/(x0)=e»-3x^+4x0,

显然函数〃x)在［1,+s)上的最小值为了⑴与/(%)中最小的，由/(%)=0得招=6%-4,

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因此/(%)=-3x：+10x0-4,函数y=-3x2+10x-4图象对称轴x=｝显然山10>2>；,以下比较lnl0,ln6

到g的距离大小：

若ln6>g,则有|lnl0-g|>|ln6-§,e2<2.722=7.3984<7.5>e4<7.52=56.25>

若ln6<g,则|lnlO——一|山6—■||=山10+1116—三=11160—?>4一个，

从而函数y=-3f+10x-4在xe［ln6/nl0］上，

当x=lnlO时，有用=-3(11110)2+101nl0-42-3x2.32+19=3.13,即/(山10)。3.13,显然/'(inlOk/(x0),

综上，函数/(x)在［1,+8)上的最小值在区间(3,4)内，/(x)>加对于任意xe［1,+功恒成立，则有m</(x0),

所以整数机的最大值为3.

例9.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(无)=史詈.

⑴求函数/'(x)的极值；

(2)若。为整数，且函数g(x)=l+aej-/(x)有4个零点，求。的最小值.

【解析】(1)函数的定义域为(0,+司，

f\x)=i~a~lnx,令小)=0,即x=e〜，/'(X)，/(x)的关系如下表:

X(0,e'-0)el(ej,+oo)

/⑴+0-

/(X)/极大值

时，〃x)的极大值为/©-“人与，/(X)无极小值.

e

(2)由题意得，g(x)=l+a-ei-号上有4个零点，

即方程x+Qx.eiT-Inx-a=0在(0,+。)有4个不相等的实根.

令力(x)=x+Qx・e「*-\nx-a,「.=l+^(e1-v-xe1-x)--「.__。(二］__,

令夕(x)=e'T-"，可知要使Zz(x)有四个零点，则/(%)至少应有三个零点，・.・/⑴=0,

至少有两个零点，(p\x)=Qx~x-a,其中％>0,

①当时，则0(x)在(0,+司上单调递增，0(x)至多只有一个零点不合题意;

②当时，x£(0,ln〃+l)时，e'(x)<0；x£(ln〃+l,+oo),°'(x)〉0,

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9(x)在(O/na+1)上递减,在(In〃+1,+8)上递增,

要使9(x)有两个零点，(pflna+l^Q^12^-a(lna+l)=-alna<0,解得a>1

止匕时夕(1)=]_Q<0,0<-—<1,/.(p\-—]=e"6z-—e~a=e1-e~a

a\a)a

Q~a