云南省曲靖市会泽县2023-2024学年高二年级下册期末考试数学试卷（解析版）

云南省曲靖市会泽县2023-2024学年高二下学期

期末考试数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的

1.己知集合4={%|-2Wx<2},3={-3,—2,—则4口3=()

A.{-2,-1,0,1,2}B.{-1,0,1}

C.3WxW2}D.{-2,-1,0,1}

【答案】D

【解析】因为A={x|—2Wx<2},5={-3,—2,—所以Ac5={-2,—1,0,1}.

故选：D.

2.已知复数z=(2+i)(l-2i),则忖=()

A.5B.25C.4D.3

【答案】A

【解析】因为Z=(2+i)(l—2i)=4—3i,所以忖=5.

故选：A

3.已知数列{4},贝『'd=4_14+1(北2)”是“{4}为等比数歹广的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】若{«„}为等比数列，则&=N2)一定成立；若片=%一避“+1，

则{«„}不一定为等比数列，比如册=0

所以“=%_]%+](〃22)”是“{4}为等比数歹旷的必要不充分条件.

故选：B.

4.在一次身高检查中，某班10名同学的身高分别为170cm,173cm,173cm,175cm,177cm,

178cm,182cm,184cm,186cm,190cm,则这组数据的第80百分位数是（）

A.183cmB.184cmC.185cmD.186cm

【答案】C

【解析】将这10个数据从小到大排列，因为10x80%=8,

所以第80百分位数为第8个数与第9个数的平均数184+186=i85cm,即185cm.

2

故选：C

）sinx在区间［-兀,兀］上的图象大致为

什

一兀10兀'

;

【答案】A

【解析】因为/(-x)=(eT—e)sin(-x)=〃x),所以/(%)为偶函数，排除C,

因为/(。)=0,排除D,因为当xe(0㈤时,f(x)>0,所以排除B,

故选：A

6.若tana=3,则tan[2a+：)=

()

111

A.----B.----C.-D.

577

【答案】C

2tana_3

【解析】因为tan。=3,所以tan2a

1-tan2cif4'

小兀

/\tan2a+tan—~4+11

所以tan2e+=::：

'J1-tan2crtan—

4

故选：C

7.已知直线/交抛物线C:/=-18y于M,N两点，且MN的中点为（3,—2）,则直线/的

斜率为（）

111

A.-3B.——C.-D.——

693

【答案】D

【解析】易知直线/的斜率存在，设直线/的斜率为左,"（%

则=T8''两式相减得才_君=-18（%—%），整理得二21二一"”，

君=—18%,玉一%18

因为肱V的中点为（3,—2）,则%+々=2义3=6,

,y-K611

所以左=，^2=—==-W，即直线/的斜率为一一.

%-%1833

故选：D.

8.小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字.如下图所示，我们可以用火柴棒拼出

1至9这9个数字，比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒.若用10根火柴棒以适

当的方式全部放入表格□□□中（没有放入火柴棒的空位表示数字“0”），那么最多可以表

示无重复数字的三位数的个数为（）

【答案】A

【解析】因为10根火柴可以摆出的数字为2,3或2,5或3,5或4,6或4,9或7,8或

1,2,5或1,3,7或1,5,7,所以可以组成6C；A；+3A；=42个无重复数字的三位数.

故选：A

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.

9.己知方=（9,8）,B=（5,彳），则下列选项中正确的是（）

45

A.若万则彳=?

O

B.若（M—/?）//万，则几=

C.若;1=5,则归/=5

D.若4=5,则。-B与方夹角的余弦值为述

10

【答案】BCD

【解析】对于A,若少」5，则。出=45+84=0,

45

解得2=——,故A不正确;

8

对于B,ci—b=（4,8—X）,

若（G-町//万，则存在实数X,使得伍-B）=x万,

4=9%440

即《,解得x=§,X=W，故B正确;

18-2=8%

对于C,若几=5,则M—B=（4,3）,卜一闸=“2+3?=5,故C正确；

一一一（a-b\b35772

对于D,由C知，cos。—b,b=-j---11一|二------尸=,故D正确.

\a-b\\b\5x54210

故选：BCD.

2

10.已知点「在左、右焦点分别为耳,巴的双曲线。：5-〉2=1上，|尸国+忱阊=12,

则（）

B.离心率为更

A.渐近线方程为y=±2%

2

15/—

C.cos^FPF——D.S—v31

1}2]6

【答案】BCD

【解析】因为a=21=1,

所以c=,/+/=45,C的渐近线方程为y=土;X，离心率e=当,

故A错误,B正确.

不妨设点P在。的右支上，贝。归国―归闾=4.因为|「耳|+|尸阊=12,

也「+/闾2T月闾2

15

所以|尸片|=8,归阊=4.在小耳鸟中,cos/F'PF2二

2|叫I*16

后

则sinN^Pg=J1-COS2/F]PF2

~16~

所以△尸耳工的面积S/F比二3户片卜卢耳卜=gx8x4x1p=用，

故C,D正确.

故选：BCD

11.在棱长为2的正方体ABC。—43012中，点尸满足丽=4比+〃附，其中Xe

[0』，4G[0,1],则()

A.当；1=1时，AP±BD

Q

B.当〃=1时，三棱锥P—ABD的体积为]

c.当几+〃=1时，AP〃平面4G。

D.当2=〃=工时，p到平面的距离为冬8

23

【答案】ACD

【解析】当4=1时，PeCQ,根据正方体结构特征，易知5。工平面4ACG，APu平面

AACC],所以AP，5£),故A正确.

当〃=1时，Pe耳。「易知p到平面ABD的距离为定值2.

114

因为SAAB»=QX2X2=2,所以/=故B错误.

当几+〃=1时，Pe4C,根据正方体结构特征，

易证面AB。//面AGRAPu面AB。，所以AP//面AG。，故C正确.

当％=〃=g时，P=BC°BiC,即为3。1，耳。的中点，

以。为坐标原点，万A,前，函的方向分别为x，%z轴的正方向建立空间直角坐标系,

则2(0,0,2),3(2,2,0)C(0,2,2)1(1,2,1),

所以平面4G。的法向量为用=(2,2,—2),QP=(1,O,-1)，

兽，故D正确.

所以p到平面4G。的距离d=

加263

故选：ACD

12.定义在R上的偶函数满足〃r+2)=〃x+2),当无40,2］时,〃x)=xln(x+l),

则()

A.〃T)=ln2

B./(九)的一个周期为4

C./(力的图象关于点(—2,0)对称

D./(0)+/(1)+/(2)+...+/(2024)=5061n6

【答案】AB

【解析】对于A,因为为偶函数，且当xe［0,2］时，〃x)=xln(x+l),

所以/(—l)=/(l)=ln2,故A正确；

对于B,因/(九)为偶函数，且/(—x+2)=/(x+2),

所以/(r+2)=/(x+2)=/(x_2),所以〃x+4)=〃x),

所以〃力的周期为4,故B正确；

对于C,因为/(—x+2)=〃x+2),所以“力的图象关于直线x=2对称.

因为/(%)的周期为4,

所以/(%)的图象关于直线x=—2对称，故C错误；

对于D,因为/⑼=0J⑴=ln2J(2)=21n3,/(3)=/(l)=ln2,

所以/'(0)+/■⑴+/(2)+…+"2O24)=/(O)+5O6x(O+ln2+21n3+ln2)

=10121n6,故D错误.

故选：AB

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知函数/(x)=e*—/，则曲线y=/(x)在点(0,7(0))处的切线方程为.

【答案】x-y+l=。

【解析】函数/(x)=e-必，求导得/'(x)=e=2x,则解(0)=1,而/(0)=1,

所以所求切线方程为y—l=x,即x—y+l=。.

14.函数/(x)=cos10x+m(0〉O)的最小正周期为兀，则曲线y=/(x)的一条对称轴

方程为.

JTJTKIT

【答案】x=--(X=--+y,^eZ,只需写一个答案即可)

【解析】由函数〃"=35[*+1](0〉0)的最小正周期为兀，

所以生=兀，得69=2,所以/(x)=cos12x+g)

ITTTKTT

令2x+?=E/eZ,得x=—2+二/eZ.

5102

故答案为：x=-—(x=-—+—,^eZ,只需写一个答案即可)

10102

15.过直线x—2y+5=0上一点尸向圆C：(x—l)2+(y+2)2=4作切线，切点为四，则

\PM\的最小值为.

【答案】4

【解析】由题知，圆心C。,—2),半径厂=2,

11+2x2+51

圆心C到直线x-2y+5=0的距离d=।।=2Vr5>2.

因为△尸Q0为直角三角形，且

所以=JPCI2-r2></―4=4，

当且仅当PC与直线x-2y+5=0垂直时，等号成立，

所以|加|的最小值为4.

故答案为：4.

16.《九章算术》是中国古代数学专著，承先秦数学发展的源流，进入汉朝后又经许多学

者的删补后才最后成书.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膈.

如图，在鳖膈P—ABC中，上4，平面43。,4。_13。,巳4=2,/>3=20,3。=1,点

。在线段AC上，尸。+Q3的最小值为；当尸Q+QB的值最小时，三棱锥P-

AQ3外接球的表面积为

p

【答案】26；亍

【解析】如图，将△以€：与VA6C展开至同一平面内，连接PB交AC于Q,

此时尸。+4的值最小，

在△B4B中，R4=AB=2,/PA3=120。，所以NAPB=30°,

PB=J4+4-2x2x2cosT=2有，即尸。+Q5的最小值为2出.

因为上4,平面ABC,ACu平面ABC,所以B4LAC,

在R324Q中，因为NAPS=30°,PA=2,所以PQ=华，

又PB=26,得到BQ=®，又NQA3=工，

36

所以AABQ外接圆的半径r=BQ=空,

2sin3003

设三棱锥P—AQB外接球的半径为A,则A?=/+1—)=Z,

所以三棱锥P-AQB外接球的表面积为4兀R2=等.

C

故答案为：2百；亍.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知在等差数列｛。,｝中，a?+%）=34,%=14.

（1）求｛%,｝的通项公式;

（2）求数列Q—-—1的前〃项和S”.

〔用4+"

解：（1）设｛4｝的公差为d.由。2+。10=34,可得。6=17.

因为。5=14,所以〃=。6-a5=3.

因为。5=4+4d=14,所以q=2,故a“=3〃-1.

11If11

⑵因为4=37,所以^；=（3〃—i）（3“+2）=g〔历一

所以s“=，U"-…--------V-f--——V—^―

3（25）3（58）3（3〃-13n+2j3（23«+2）6〃+4

18.在VABC中，内角A,B,C的对边分别为a,dc,6+〃一02=J?,sinC=L

4

（1）求VABC的面积；

（2）若sinAsinB=,求c.

6

解：（1）因为/+62-2=6,

-1-«2+b2-c2=2«Z?cosC»

所以aOcosC=■

2

因为sinC=L,所以cosC=巫或cosC=—Y6（舍去）,

444

所以加孥

所以VA5C的面积为-absinC=-x"x工=走

223412

2百

c2ab

（2）因为sinAsinB=,所以=4,

63sin2csinAsinB

6

11

所以L9=4x一=-,

164

所以c=£

19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，若ABAD=6(T,PB=

尸。=2,Q为尸。的中点，△3DQ的面积为逅.

(1)求P到平面A6CD的距离；

(2)求平面3DQ与平面夹角的余弦值.

解：(1)连接AC交BD于。点，连接PO,QO.

因为ABCD为菱形，所以。为的中点，

因为28=20,且。为5。的中点，所以

因为ACnPO=O,AC,P0u平面PAC,所以/平面PAC,

因为OQu平面BDQ,所以BOJ.。。，因为ABCD为边长为2菱形且NBA。=60。，

所以△A3。为等边三角形，所以BD=2,

因为,BOO=g§D・OQ=；x2xOQ=^,所以OQ=4，

在△/%(?中，为中位线，所以PA=20Q=«,

在A/YM中，PO2=3,(9A2=3,PA2=PO2+OA2,所以尸AC.

因为4。^5£)=0,ACBOu平面ABC。，所以POL平面A6CD,

所以尸到平面ABCD的距离为PO=«.

(2)如图，以。为坐标原点，市，砺,无的方向分别为x,%z轴的正方向建立空间直

角坐标系，

y

则A(V3,0,0),B(O,1,O),D(O,-1,O),P(O,O,6),Qq,of,

设平面A4B的法向量为访=(%，x，zj,因为AP=bJ^,0,四),AB=bG/M,

m-AP=-#a1+6z[=0,/\

所以「「令Xl=l,得抗=1,6』.

in-AB=-A/SXJ+%=0.

设平面BDQ的法向量为〃=（9,%，Z2），因为砺=（0，L0）,丽=go,

nOB=%=0,

一>66令％=1，得为=(1,(M).

所以《

Tl,—--------X2--------Z?—(J.

、22

/rrxm-n2y/10

因为cos行川=硒=反/=可，

所以平面BDQ与平面E45夹角的余弦值为叵.

5

20.广场舞、健步走已成为广大群众喜闻乐见的健身活动，但围绕其噪音、占道发生的“扰

民”问题常让人感到头疼，也成为社会关注的热点.不少地区为此出台了相关政策，对违规

行为进行处罚，某地为引导群众文明开展健身活动，促进全民养成文明健康、绿色环保的生

活方式，规范广场舞、集体健步走等活动的开展，发布了《静音广场舞，规范健步走倡议

书》.小明的妈妈为响应号召，在家里积极锻炼，等步长沿直线前后连续移步.已知她从点

31

。出发，每次向前移动1步的概率为一，向后移动1步的概率为二.

44

（1）求移动4步后回到点。的概率；

（2）若移动5步后到达点。，记O,Q两点之间的步数为随机变量X,求X的分布列和

数学期望.

解：（1）设向前移动1步为事件A,所以尸（A）=4，P（N）=；,

移动4步，回到点。相当于4步中两步向前，两步向后，

22

所以P（A）=C：x

（2）由题知，X的可能取值为L3,5,

3

P(X=l)=C^x

P(X=3)=C；

叱5）=：

所以X的分布列为

X135

4510561

p

128256256

所以随机变量X的期望E（X）=lx%+3x型+5义包=当

256256256128

.2、,2

21.己知椭圆C：1+二=l（a〉6〉0）的离心率为咚，且椭圆C过点"（2,1）.

a2b2

（1）求椭圆。的方程.

（2）设P,Q是椭圆C上异于M的两个动点，直线MP,M2的斜率分别为勺水2.若匕+履=

0,试判断直线P。的斜率是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

解：（1）因为椭圆。的离心率为冷，且过点河（2,1）,

c_V|

a2a->^6,

41

所以《=1解得＜b=5

/=/+C2

2,,2

所以椭圆C的方程为土+==1.

63

设直线的斜率为3则直线的斜率为-屋

设尸（』,％）,Q（%,%），

直线Aff*的方程为y―]=左(1—2),ipy=kx+l—2k,

y=Ax+1-2^,

联立方程组]Y2

消去y,得（2左2+1）/+4左（I—2左）x+8左2—8左一4=0.

—+—=1,

163

因为P,M为直线MP与椭圆。的交点,

8k2-8k-44k2-4k-2

所以2X1=即Xi=

2k1+\2k2+1

4“2।4^_78k8k2—4

把k换为-k得X=所以马—玉=z,%+X）-z•

22k1+\2k2+1

8k

因为%—M=（一kX]+1+2k）一（fct]+1_2k）=k[4—（石+x,）]=

2k1+\

所以直线P。的斜率为丝』=1,

x2-x1

即直线尸。的斜率为定值1.

22.己知函数/(力=加-xlnx.

(1)若/(力在(0,+")上单调递增，求实数。的取值范围.

(2)已知方程/(%)=%有两个不相等的实数根花,々，