《构造三角函数基本图形解实际问题的四种数学模型》专项训练

专项训练构造三角函数基本图形解实际问题的四种数学模型方法指导：解直角三角形及其应用是近几年各地中考命题的热点之一，考查内容不仅有传统的计算距离、高度、角度的应用题，还有要求同学们根据题中给出的信息构建三角函数的基本图形，建立数学模型，将某些简单的实际问题转化为数学问题，把数学问题转化为锐角三角函数问题来求解．运用锐角三角函数知识解决与实际生活、生产相关的应用题是近年来中考的热点题型．构造一个直角三角形解实际问题1．如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8m，已知小汽车车门宽AO为1.2m，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)．构造形如“”的两个直角三角形解实际问题2．黔东南州某校吴老师组织九(1)班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子(折线BCD)恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，在C处测得电线杆顶端A的仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD＝4m，请你根据这些数据求电线杆的高(AB)(结果精确到1m，参考数据：eq\r(2)≈1.4，eq\r(3)≈1.7)．构造形如“”的两个直角三角形解实际问题3．如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB＝30m.(1)求∠BCD的度数．(2)求教学楼的高BD(结果精确到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32)．构造形如“”的两个直角三角形解实际问题4．如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度．该楼底层为车库，高2.5m；上面五层居住，每层高度相等．测角仪支架离地1.5m，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°，在B处测得四楼顶部点E的仰角为30°，AB＝14m．求居民楼的高度(结果精确到0.1m，参考数据：eq\r(3)≈1.73)．参考答案1．解：如图，过点A作AC⊥OB，垂足为点C，在Rt△ACO中，∵∠AOC＝40°，AO＝1.2m，∴AC＝AO·sin∠AOC≈0.64×1.2＝0.768(m)．∵汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8m，∴车门不会碰到墙．2．解：延长AD交BC的延长线于点G，作DH⊥BG于点H，如图所示．在Rt△DHC中，∠DCH＝60°，CD＝4m，则CH＝CD·cos∠DCH＝4×cos60°＝2(m)，DH＝CD·sin∠DCH＝4×sin60°＝2eq\r(3)(m)．∵DH⊥BG，又易知∠G＝30°，∴HG＝eq\f(DH,tanG)＝eq\f(2\r(3),tan30°)＝6(m)．∴CG＝CH＋HG＝2＋6＝8(m)．设AB＝xm，∵AB⊥BG，∠G＝30°，∠BCA＝45°，∴BC＝xm，BG＝eq\f(AB,tanG)＝eq\f(x,tan30°)＝eq\r(3)xm.∵BG－BC＝CG，∴eq\r(3)x－x＝8.解得x≈11.答：电线杆的高约为11m.3．解：(1)如图，过点C作CE⊥BD于点E，则有∠DCE＝18°，∠BCE＝20°，∴∠BCD＝∠DCE＋∠BCE＝18°＋20°＝38°.(2)由题意得，CE＝AB＝30m，在Rt△CBE中，BE＝CE·tan20°，在Rt△CDE中，DE＝CE·tan18°，∴教学楼的高BD＝BE＋DE＝CE·tan20°＋CE·tan18°≈20.4(m)．答：教学楼的高约为20.4m.4．解：设每层楼高为xm，由题意得MC′＝MC－CC′＝2.5－1.5＝1(m)，则DC′＝(5x＋1)m，EC′＝(4x＋1)m.在Rt△DC′A′中，∠DA′C′＝60°，∴C′A′＝eq\f(DC′,tan60°)＝eq\f(\r(3),3)(5x＋1)m.在Rt△EC′B′中，∠EB′C′＝30°，∴C′B′＝eq\f(EC′,tan30°)＝eq\r(3)(4x＋1)m.∵A′B′＝C′B′－C′A′＝AB，