2025年北京市丰台区高二（下）期末考试数学试卷（含答案）

第1页/共1页2025北京丰台高二（下）期末数学2025.07第一部分（选择题共40分）一．选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。1．已知集合，，则（A） （B）（C）（D）2．下列四幅散点图中，所对应的成对样本数据呈现负相关的是（A）（B）（C）（D）3．若，则（A） （B）（C）（D）4．已知数列是等比数列，若，则（A） （B）（C） （D）5．已知函数，则（A）（B） （C） （D）6.已知某班级有女生16人，男生14人，女生中喜欢羽毛球运动的有8人，男生中喜欢羽毛球运动的有10人.现从这个班级随机抽取一名学生，已知抽到的是女生，则该生喜欢羽毛球运动的概率为（A）（B）（C）（D）7.“”是“”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件8.已知函数，则（A）是偶函数，且在区间上单调递增（B）是奇函数，且在区间上单调递减（C）是偶函数，且在区间上单调递增（D）是奇函数，且在区间上单调递减9.某校组织大型校庆活动，有甲、乙、丙3名志愿者负责A，B，C，D共4项任务.每人至少负责一项任务，每项任务有且只有一人负责，那么甲不负责A任务的分配方法共有（A）12种 （B）18种 （C）24种 （D）36种10．已知函数，则下列四个结论不正确的是（A），有极小值（B），恰有2个零点（C），使得不等式恒成立（D），使得关于的方程有3个不同的实数解第二部分（非选择题共110分）二．填空题共5小题，每小题5分，共25分。11.在的展开式中，含项的系数是.（用数字作答）12.已知函数，且的图象经过点，则.13.用数字0、1、2、3、4组成的无重复数字的四位数的个数为.（结果用数字作答）14.某手机销售店只销售甲、乙两个品牌的手机，其中甲品牌的销售量占本店手机销售量的40%，优质率为80%，乙品牌的优质率为90%.从该店中随机买一部手机，则“买到的是优质品”的概率为.15.已知数列满足，，给出下列四个结论：①当时，对任意的，都有；②当时，对任意的，都有；③当时，存在，使数列是常数列；④当时，存在，使数列是递减数列.其中所有正确结论的序号是____________．

三．解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16.（本小题13分）已知函数.（Ⅰ）求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）求在区间上的最小值和最大值；（Ⅲ）写出不等式的解集.（不用说明理由）17.（本小题14分）2025年4月25日下午，第十五届北京国际电影节AIGC电影单元荣誉盛典在中国传媒大学隆重举行.本届活动共收到1502部参赛作品，经过激烈角逐，最终79部佳作入围社会组、高校组、青少年组及中石化主题赛四大竞赛板块.青少年组的入围作品有5部，其中有4部荣获“优秀影片”，1部荣获“最佳影片”.（Ⅰ）从参赛作品中随机选取1部，求恰好选到入围佳作的概率；（Ⅱ）现有1名同学从青少年组获奖的5部影片中随机选取3部观看，设选到“最佳影片”部数为，求的分布列及数学期望.18.（本小题14分）已知等比数列的前n项为和为（），．再从条件①，条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得数列唯一确定并解答以下问题：（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．条件①：成等差数列；条件②：；条件③：．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

19.（本小题14分）2025年3月14日（第六个国际数学日），某校开展了“站擂台”、“史探秘”、“日海报”、“徽设计”、“帽设计”共5项挑战活动，每名学生至少参与其中一项活动.为了解该校上述活动的参与情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取100名学生作为样本进行调查，调查数据如下表：参与人数挑战活动站擂台史探秘日海报徽设计帽设计高一8045557545高二4060608040高三1550402030通过样本估计该校全体学生参与活动的情况.（Ⅰ）从5项活动中随机选择1项，估计此项活动全校参与的人数大于该校总人数的一半的概率；（Ⅱ）从该校高一年级中随机选取1名学生，高二年级中随机选取2名学生，求这3名学生中恰有2名学生参与“徽设计”的概率；（Ⅲ）假设高一某班参加挑战活动的情况如下：挑战活动站擂台史探秘日海报徽设计帽设计参与人数79当数据7，，9，，的方差最小时，写出，，的值.（结论不要求证明）20.（本小题15分）已知函数，曲线在点处的切线方程为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设（为的导数），求的单调区间；（Ⅲ）求的极值点的个数.

21.（本小题共15分）已知集合和（）且.集合由元素或构成，其中，，且与恰有一个属于.定义，其中定义，其中（Ⅰ）若，且，写出，及的值；（Ⅱ）从中任意删去一个数，并从中任意删去一个数，记剩下个数的和为，证明：；（Ⅲ）若，且，设为中满足的元素个数，为中满足的元素个数，证明：.

参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．题号12345678910答案ADBCCBADCC二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．2412．13．9614．0.8615．①③④三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题14分）解：（Ⅰ），，又，所以曲线在处的切线方程为；……5分（Ⅱ）令得，，当变化时，的变化情况如下表：1-0+↘↗又，，所以在区间上的最小为，最大值为2.………11分（Ⅲ）不等式的解集为或.……………14分17.（本小题13分）解：（Ⅰ）设A=“从参赛作品中随机选取1部，恰好选到入围佳作”，则.…………4分（Ⅱ）X的可能取值为0,1，，.X的分布列如下表所示：X01PX的均值为.………………13分18.（本小题14分）解：（Ⅰ）选择②：因为，数列为等比数列，显然，所以，即，，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，即（）.选择③：因为，数列为等比数列，所以（以下同条件=2\*GB3②）……………7分（Ⅱ）因为，所以，所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以.……………14分19.（本小题15分）解：（Ⅰ）设A=“从5项活动中随机选择1项，此项活动全校参与的人数大于该校总人数的一半”，则………………5分（Ⅱ）从该校高一年级中随机选取1名学生参与“徽设计”的概率为，从高二年级中随机选取1名学生参与“徽设计”的概率为，设B=“从高一年级随机选取1名学生，高二年级随机选取2名学生，这3名学生中恰有2名学生参与徽设计”，则.………12分（Ⅲ）.…………15分20.（本小题15分）解：（Ⅰ），因为曲线在点处的切线方程为，所以所以所以.…………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，的定义域为，，令得，，所以的变化情况如下表+0-+↗↘↗所以的单调递增区间是，，单调递减区间是.…10分（Ⅲ）的极值点个数就是的变号零点的个数，即的变号零点的个数.因为，，，，，所以存在唯一的，使得，存在唯一的，使得,的变化情况如下表：0(01)-0+0--0+↘↗0↘↘↗所以的极值点个数为3.…………………15分21.（本小题14分）解：（Ⅰ）.…………4分（Ⅱ）由定义，恒有成立.所以不妨设删去的数是和，则有，和分别取得的最大值为和，下证两个最值不能同时取到.