第05讲成比例线段相似图形

思维导图第05讲成比例线段相似图形思维导图一、成比例线段的定义成比例线段是指四条线段a、b、c、d满足a/b=c/d，那么这四条线段就是成比例线段。二、成比例线段的性质如果a、b、c、d是成比例线段，那么它们具有以下性质：如果一条线段是成比例线段的一部分，那么这条线段与另一条线段的比值等于另外两条线段的比值。成比例线段中，任意两条线段长度的比值是恒定的。平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例。对应线段是指两条直线被一组平行线所截得的线段（如AB与DE、BC与EF、AC与DF），对应线段成比例是指同一直线上的两条线段的比，等于另一条直线上与它们对应的线段的比。推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。一、相似图形的定义相似图形指的是形状相同但大小不一定相等的图形。相似图形只与图形的形状有关，与图形的大小、位置无关。二、相似多边形的性质相似多边形的对应边成比例，对应角相等。实际上，这也是判定两个多边形是否相似的方法，即对于两个边数相同的多边形，如果对应边成比例且对应角相等，那么这两个多边形相似。教材习题01已知四个数a，b，c，d成比例．（1）解：∵四个数a，b，c，d成比例，（2）解：∵四个数a，b，c，d成比例，教材习题02教材习题03

教材习题04考点一、成比例线段1．下列各组中的四条线段成比例的是（

）【答案】B【分析】本题考查比例线段的概念．注意掌握在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．由题意根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，依次对各选项进行分析判断．【详解】解：故选：B．2．在下列四组线段中，成比例线段的是（

）【答案】C【分析】本题主要考查比例线段，熟练掌握成比例线段的性质是解题的关键．根据比例线段的性质可直接进行排除选项即可．故选：C．A．2 B．4 C．8 D．16【答案】C【详解】解：线段，，，是成比例线段，故选：C．考点二、相似图形1．下列选项中，是相似图形的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同．根据形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可．【详解】解：A、两个图形形状相同，相似，符合题意；B、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意；C、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意；D、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意。故选：A．【答案】D【分析】本题考查的知识点是相似图形的定义，解题关键是熟练掌握相似图形的定义．结合相似图形的定义对选项进行逐一判断即可．【详解】解：选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意，选项错误；选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意，选项错误；选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意，选项错误；选项，两个图形形状不同，不符合相似定义，符合题意，选项正确．故选：．3．下列每个选项中的两个图形，不是相似图形的是（

）A．

B．

【答案】D【分析】本题考查了相似图形，根据相似图形的概念即可作出判断．判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其他因素无关．【详解】解：由相似图形的概念知，选项中D的两个图形不相似；故选：D．考点三、相似多边形1．两个下列图形必定互为相似形的是（）A．等腰三角形 B．平行四边形 C．正方形 D．等腰梯形【答案】C【分析】本题主要考查了相似多边形，根据相似多边形的定义进行判定即可．【详解】解：A．两个等腰三角形的内角不一定对应相等，因此两个等腰三角形不一定相似，故A不符合题意；B．两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边不一定对应成比例，因此两个平行四边形不一定相似，故B不符合题意；C．两个正方形对应角相等，对应边成比例，因此两个正方形一定相似，故C符合题意；D．两个等腰梯形的对应角不一定相等，对应边不一定对应成比例，因此两个等腰梯形不一定相似，故D不符合题意．故选：C．2．下列各组图形中，不一定相似的是（

）A．两个正方形 B．两个等边三角形【答案】C【分析】本题主要考查了相似图形的定义，熟练掌握相似图形的对应边成比例，对应角相等和等腰三角形，等边三角形，正方形的性质是解决此题的关键．根据相似图形的定义，以及等边三角形，等腰三角形，正方形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解即可．【详解】解：A、两个正方形，对应边的比相等，角都是，相等，所以一定相似，不符合题意；B、两个等边三角形，对应边的比相等，角都是，相等，所以一定相似，不符合题意；C、各有一个角是的两个等腰三角形，若一个等腰三角形的底角是，而另一个等腰三角形的顶角是，则两个三角形就不相似，所以不一定相似，符合题意；故选：C．3．在如图所示的三个矩形中，相似的是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．都不相似【答案】B【分析】本题考查的是相似多边形的判定，掌握两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形是解题的关键．分别求出三个矩形的邻边之比，根据相似多边形的判定定理判断即可．∴相似的是②③，故选：B．考点四、比例线段【答案】D【详解】解：设甲、乙两地的实际距离是，根据题意得：故选：D．【分析】本题考查的是比例的性质及解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题的关键．根据题意列出一元二次方程，解方程即可．(1)求线段a、b的长；(2)若线段c是线段a、b的比例中项，求线段c的长．【答案】(1)线段的长为18，线段的长为12【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题关键．线段的长为18，线段的长为12．考点五、分割A．3.82 B．4.82 C．6.18 D．6.28【答案】A故选：A．【分析】本题考查了分割点的相关计算，以及一元一次方程的运用．设至少向前走米，由比列方程解答即可．【详解】解：设至少向前走米，3．【探究与证明】【操作发现】第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处．【问题解决】【答案】(1)(3)见解析【分析】本题考查了分割，矩形，折叠与矩形的性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，掌握分割的定义．（3）根据矩形的定义证明即可得．考点六、比例的性质A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查比例，根据比例的性质求解即可．故选：C．【答案】故答案为：．【答案】(1)1；【分析】本题考查了比例的性质的应用，主要考查学生的计算能力．．考点七、相似多边形的性质1．如图，现将一张纸沿它的长边对折（为折痕）可以得到两张纸，已知A系列纸的长宽比是相等的，那么纸的长边与短边的比是（

）【答案】B【分析】本题主要利用相似多边形对应边成比例的性质，设原来矩形的长为，宽为，先表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，即可得答案．【详解】解：设原来纸的长为，宽为，则对折后的纸的长为，宽为，纸和纸的长宽比例是相等的，故选：B．【答案】9【分析】本题主要考查相似多边的性质，根据周长比等于相似比可得答案．故答案为：9．请你解决下列问题：(1)当矩形的长和宽分别为1，7时，它是否存在“减半”矩形？若存在，请求出“减半”矩形的长和宽，若不存在，请说明理由．(2)边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由．(2)不存在，理由见解析。【分析】本题考查反证法和相似图形的性质，关键知道相似图形的面积比，周长比的关系．（1）假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x、y，根据如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，可列出方程组求解．（2）正方形和其他的正方形是相似图形，周长比是2，面积比就应该是，所以不存在“减半”正方形．（2）解：不存在，理由如下：因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为时，面积比必定是，所以正方形不存在“减半”正方形．考点八、平行线分线段成比例求解A．9.6 B．6.4 C．4.8 D．3.2【答案】A故选：A．【答案】故答案为：．【答案】(1)=，116(2)(3)75；故答案为：=；116．∴垂直平分，故答案为：75；．知识导图记忆A． B． C．20 D．【答案】B【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质，直接计算即可，熟练掌握比例的性质，是解题的关键．故选B．2．如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不变的是（

）A．每条边的长度 B．每个内角的度数 C．面积 D．周长【答案】B【分析】本题考查的知识点是相似多边形的性质，解题关键是熟练掌握相似多边形的性质．根据相似多边形的性质即可得解．【详解】解：由题意得：用放大镜看到的多边形与原多边形相比较是相似的关系，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，周长、面积、每条边的长度的长度均增大了，但每个内角的度数保持不变．故选：B．【答案】D【分析】本题考查相似多边形的性质，由相似多边形的对应边成比例，即可求解．【详解】解：设缩小后的宽是，∵缩小前后的两个矩形相似，故选：D．【答案】D【详解】解：∵点C是靠近点B的分割点，点D是靠近点A的分割点，故选：D．A． B． C． D．2【答案】A【分析】本题考查了比例的性质及求代数式的值，根据条件利用“设法”是解题的关键．故选：A．【答案】/【分析】本题考查比例的性质．根据比例的性质进行计算即可求解．故答案为：．【答案】【分析】此题主要考查相似多边形的性质，根据相似多边形面积之比等于相似比的平方即可解答．故答案为：．【答案】【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟记相似多边形的面积的比等于相似比平方是解题的关键．根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方解答即可求出结果．∴面积为：，故答案为：．【答案】/【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，正确运用定理找准对应关系是解题的关键．故答案为：．【答案】①②③【详解】解：延长交于点H，∵M为中点，E为中点，故答案为：①②③．【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、平行线分线段成比例定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．(1)；【答案】(1)(2)【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．（1）根据比例的性质进行计算，即可解答；12．如图，两个四边形相似，求未知边x、y的长度及角α的大小．【答案】x=24，y=28，α=75°【分析】已知题意，想到根据相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例，从而正确解答此题．【详解】∵两个四边形相似，∴20：5=x：6=y：7，解得：x=24，y=28，∵四边形内角和等于360°，∴x=24，y=28，α=75°．【点睛】本题考查相似多边形的性质．相似多边形的对应角相等，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方，认真计算是解答本题的关键．【答案】(1)不相似，见解析(2)，见解析【分析】此题考查了相似多边形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．【详解】（1）解：不相似，理由如下：设四周的小路的宽为x，（2）解：当小路的宽x与y的比值为时，理由如下：(2)求的长．【答案】(1)2【分