1.1二次函数浙教版初中数学九年级上册

1.1二次函数【考点1：二次函数的概念】我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,C是常数，a≠0)的函数叫做二次函数,称a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项.【例题精讲】1．下列函数中，其中是以x为自变量的二次函数是（A）A．y=x（x﹣3） B．y=（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）2C．y=x2+ D．y=2．下列函数中是二次函数的是（D）A．y=2（x﹣1） B．y=（x﹣1）2﹣x2 C．y=a（x﹣1）2 D．y=2x2﹣1【巩固练习】1．函数y=（a﹣1）x+x﹣3是二次函数时，则a的值是（B）A．1 B．﹣1 C．±1 D．0【考点2：二次函数的解析式以及三种形式】待定系数法求二次函数的解析式:把已知点代入二次函数,解出其中的系数和常数项,即可求出解析式.用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法：1．已知抛物线过三点，设一般式为y＝ax2＋bx＋c．2．已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式y＝a(x－h)2＋k．3．已知抛物线与x轴有两个交点（或已知抛物线与x轴交点的横坐标），设两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)．（其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标）【例题精讲】1．函数y=x2+2x﹣2写成y=a（x﹣h）2+k的形式是（C）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x﹣1）2+1 C．y=（x+1）2﹣3 D．y=（x+2）2﹣12．二次函数y=﹣3x2+6x变形为y=a（x+m）2+n形式，正确的是（D）A．y=﹣3（x+1）2﹣3 B．y=﹣3（x﹣1）2﹣3 C．y=﹣3（x+1）2+3 D．y=﹣3（x﹣1）2+33．将二次函数y=x2+4x+3化成顶点式，变形正确的是（D）A．y=（x﹣2）2﹣1 B．y=（x+1）（x+3） C．y=（x﹣2）2+1 D．y=（x+2）2﹣14．二次函数y=2（x﹣1）（x﹣2）的图象与y轴的交点坐标是（C）A．（0，1） B．（0，2）C．（0，4） D．（0，﹣4）(3)当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点【例题精讲】例1、满足a﹤O，b＞0，c=0的函数y=ax2+bx+c的图象是图中的（C）例2、已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系内的大致图象是中的（C）【巩固练习】1；如图，函数y=ax2﹣2x+1和y=ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（B）A． B． C． D．2．当ab＞0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是（D）A． B． C． D．【课堂检测】2、在二次函数y=x2+bx+c中，若b+c=0，则它的图象一定经过点（D）A．（1，1）B．（1，1）C．（1，1）D．（1，1）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个OOxy11图象大致为（C）5．如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为（D）A． B． C． D．6．如果在二次函数的表达式y=ax2+bx+c中，a＞0，b＜0，c＜0，那么这个二次函数的图象可能是（C）A． B． C． D．7．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（D）A．b2＜4ac B．ac＞0 C．2a﹣b=0 D．a﹣b+c=0⑴它的开口向上，对称轴是直线x=2，顶点坐标为（2，1）；⑵图象与轴的交点为（1，0）（3，0），与轴的交点为（0，3）。9．顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的解析式为y=x²4x9．10．对称轴是轴且过点A（1，3）、点B（－2，－6）的抛物线的解析式为y=3x2+6．．11．若y=（m+2）x+3x﹣2是二次函数，则m的值是2．12．若函数y=（m2﹣m）x是二次函数，则m=2．13．若y=（m2+m）xm2﹣2m﹣1﹣x+3是关于x的二次函数，则m=3．14．抛物线与x轴交于点（1，0），（﹣3，0），则该抛物线可设为：y=a（x﹣1）（x+3）（a≠0）．15．把二次函数y=（x﹣2）2+1化为y=x2+bx+c的形式，其中b、c为常数，则b+c=1．16、如图2612，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x=1．下面给出了4个结论：①a﹤O，b＞0；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④4a+2b+c=0．正确结论的序号是①②③④.17．求出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标．（1）y=x2+2x﹣3（配方法）；（2）y=x2﹣x+3（公式法）．【分析】（1）利用配方法把一般式变形为顶点式y=（x+1）2﹣4，然后根据二次函数的性质求解；（2）利用抛物线的顶点坐标公式分别计算出﹣和的值，然后根据二次函数的性质求解．【解答】解：（1）y=x2+2x﹣3=x2+2x+1﹣4=（x+1）2﹣4，所以抛物线的开口向上，对称轴为直线x=﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣4）；（2）﹣=﹣=1，==，所以抛物线的开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，）．18．已知一次函数y=kx+3与二次函数y=ax2﹣4ax+3a的图象交于y轴上的点P．（1）求二次函数解析式；（2）若一次函数的图象经过该二次函数图象的顶点，求一次函数的解析式．【分析】（1）先由一次函数的解析式确定直线与y轴的交点P的坐标，代入二次函数解析式，得到a的值从而确定二次函数解析式；（2）先求出二次函数图象的顶点坐标，用待定系数法确定一次函数的解析式．【解答】解：（1）一次函数y=kx+3交于y轴上的点P．当x=0时，y=3．∴点P（0，3）由于二次函数y=ax2﹣4ax+3a的图象经过点P，∴3=3a，解得，a=1∴二次函数的解析式为：y=x2﹣4x+3；（2）∵y=x2﹣4x+3y=（x﹣2）2﹣1∴二次函数y=x2﹣4x+3的顶点为（2，﹣1），由于一次函数y=kx+3的图象经过（2，﹣1）∴2k+3=﹣1解得，k=﹣2所以一次函数的解析式为y=﹣2x+3．【课后巩固】1．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（D）A． B． C． D．2．在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＜0）的图象可能是（B）A． B． C D．3．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0），下列结论：①ab＜0，②b2＞4，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞﹣1时，y＞0．其中正确结论的个数是（B）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（C）A．③④ B．②③ C．①④ D．①②③5．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是x=﹣1，则这个二次函数的表达式为（D）A．y=﹣x2+2x+3 B．y=x2+2x+3 C．y=﹣x2+2x﹣3 D．y=﹣x2﹣2x+36．抛物线y=2（x+1）2﹣2与y轴的交点的坐标是（D）A．（0，﹣2） B．（﹣2，0） C．（0，﹣1） D．（0，0）7．一元二次方程x2+bx+c=0有一个根为x=2，则二次函数y=2x2﹣bx﹣c的图象必过点（A）A．（2，12） B．（2，0） C．（﹣2，12） D．（﹣2，0）8．若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=（x﹣2）2+k，则b+k=3．9．如果抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+3经过点（2，1），那么m的值为2．11．已知二次函数的顶点坐标为（1，4），且其图象经过点（﹣2，﹣5），求此二次函数的解析式．【分析】设顶点式y=a（x﹣1）2+4，然后把（﹣2，﹣5）代入求出a的值即可．【解答】解：设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4，把（﹣2，﹣5）代入得a（﹣2﹣1）2+4=﹣5，解得a=﹣1，所以抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4．12．已知抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，﹣1）和点B（3，﹣1）．（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式．（2）写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和二次函数的最值．【分析】（1）由条件可知点A和点B的坐标，代入解析式可得到关于a和b的二元一次方程组，解得a和b，可写出二次函数解析式；（2）根据a的值可确定开口方向，并将抛物线的解析式配方后可得对称轴、顶点坐标和二次函数的最值．【解答】解：（1）将点A（﹣1，﹣1）和点B（3，﹣1）代入y=ax2+bx+2中，得，∴a=﹣1，b=2，∴y=﹣x2+2x+2；（2）∵y=﹣x2+2x+2=﹣（x2﹣2x+1﹣1）+2=﹣（x﹣1）2+3，∵a=﹣1，∴抛物线开口向下，对称轴是：x=1，顶点坐标为（1，3），二次函数的最大值为3．13．已知二次函数的图象经过点（0，3）、（﹣3，0）、（2，﹣5）（1）试确定此二次函数的解析式；（2）请你判断点P（﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上？【分析】（1）根据给定点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式即可；（2）代入x=﹣2求出y值，将其与3比较后即可得出结论．【解答】解：（1）设此二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，将（0，3）、（﹣3，0）、（2，﹣5）代入y=ax2+bx+c，，解得：，∴此二次函数的解析式是y=﹣x2﹣2x+3．（2）当x=﹣2时，y=﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3=3，∴点P（﹣2，3）在此二次函数的图象上14．在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+1与y轴交于点A，并且经过点B（3，n）．（1）求点B的坐标；（2）如果抛物线y=ax2﹣4ax+4a﹣1（a＞0）与线段AB有唯一公共点，求a的取值范围．【分析】（1）把x=3代入y=x+1，即可得到结论；（2）由题意：线段ABy=x+1（0≤x≤3），由于抛物线y=ax2﹣4ax+4a﹣1（a＞0）与线段AB有唯一公共点时得到不等式组①或②于是得到结论．【解答】解：（1）把x=3代入y=x+1，y=3+1=4，∴点B的坐标为B（3，4）；（2）由题意：线段ABy=x+1（0≤x≤3），∵y=ax2﹣4ax+4a﹣1=a（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，﹣1），∵点A（0，1），点B（3，4），∵当抛物线y=ax2﹣4ax+4a﹣1（a＞0）与线段AB有唯一公共点时，∴①或②解①得≤a＜5，②无解，综上所述，当≤a＜5时，抛物线与线段AB有一个公共点．【点评】本题考查了二次函数与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，正确的理解题意是解题的关键．15．已知二次函数y=x2﹣4x+3．（1）作出函数的图象；（2）当1＜x＜5时，求y的取值范围．【分析】（1）求出函数对称轴，函数与x轴的交点坐标，即可作出函数的图象；（2）对称轴是x=1，则当x=5时点的纵坐标，则y的取值范围即可确