第06讲用空间向量研究距离夹角问题（原卷版）

第06讲用空间向量研究距离、夹角问题题型梳理题型梳理易错分析易错点一忽视向量的夹角与空间角的范围及关系而致错题型方法题型一用空间向量研究点线距题型二用空间向量研究点面距题型三用空间向量研究线面距、面面距题型四用空间向量研究线线角题型五用空间向量研究线面角题型六用空间向量研究二面角或面面角知识清单知识清单知识点01点到直线的距离点到直线的距离已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设eq\o(AP,\s\up6(→))＝a，则向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝eq\r(|\o(AP,\s\up6(→))|2－|\o(AQ,\s\up6(→))|2)＝eq\r(a2－a·u2).注意点：如果两条直线l，m互相平行，可在其中一条直线l上任取一点P，将两条平行直线的距离转化为点P到直线m的距离求解知识点02点、直线、平面到平面的距离点到平面的距离已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则点P到平面α的距离PQ＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).注意点：(1)实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是eq\o(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量eq\o(QP,\s\up6(→))的长度．(2)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解．(3)如果两个平面α，β互相平行，可在其中一个平面α内任取一点P，将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解．知识点03两异面直线所成的角若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(u·v,|u||v|)))＝eq\f(|u·v|,|u||v|).注意点：两异面直线所成角的范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系．知识点04直线与平面所成的角设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(u·n,|u||n|)))＝eq\f(|u·n|,|u||n|).注意点：(1)直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角．(2)线面角的范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(3)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角．知识点05两个平面的夹角若平面α，β的法向量分别是n1和n2，设平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(n1·n2,|n1||n2|)))＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).注意点：(1)求两平面的夹角问题转化为两平面法向量的夹角问题．(2)两平面的夹角的范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(3)二面角与两平面的夹角不是相同的概念．易错分析易错分析【易错点一】忽视向量的夹角与空间角的范围及关系而致错A． B．C． D．A． B． C．或 D．【变式2】（2324高二上·全国·课后作业）如图，在正方体ABEF­DCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，则平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值为（

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A．－ B．题型方法题型方法【题型一】用空间向量研究点线距解题技巧用向量法求点到直线的距离的一般步骤(1)求直线的单位方向向量．(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度．(3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．A． B． C． D．(2)求点到直线的距离.【题型二】用空间向量研究点面距解题技巧向量法求点面距离的步骤(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系．(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标．(3)求向量：求出相关向量的坐标(eq\o(AP,\s\up6(→))，α内两不共线向量，平面α的法向量n)．(4)求距离d＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).A． B． C． D．

(2)求点到平面BCD的距离.【题型三】用空间向量研究线面距、面面距A． B． C． D．A． B． C． D．【题型四】用空间向量研究线线角解题技巧求异面直线所成角的步骤(1)确定两条异面直线的方向向量．(2)确定两个向量夹角的余弦值的绝对值．(3)得出两条异面直线所成的角．A． B．4 C．2 D．3

【题型五】用空间向量研究线面角A． B． C．或 D．或解题技巧利用平面的法向量求直线与平面所成角的基本步骤(1)建立空间直角坐标系．(2)求直线的方向向量u.(3)求平面的法向量n.(4)设线面角为θ，则sinθ＝eq\f(|u·n|,|u||n|).【题型六】用空间向量研究二面角或面面角A． B． C． D．解题技巧求两平面夹角的两种方法(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角．也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同．(2)法向量法：分别求出两平面的法向量n1，n2，则两平面的夹角为〈n1，n2〉eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当〈n1，n2〉∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时))或π－〈n1，n2〉eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当〈n1，n2〉∈\b\l