专题01绝对值中的八类最值模型（几何模型讲义）数学苏科版2024七年级上册

专题01绝对值中的八类最值模型最值问题一直都是初中数学的最难点之一，但也是高分的必须突破点，而绝对值中的最值模型是初中学生第一次接触最值类问题，该类最值模型主要依据绝对值的几何意义或代数意义，考查分类讨论和数形结合的数学思想。需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。本专题就绝对值中的八类最值模型进行梳理及对应试题分析，方便大家掌握。TOC\o"14"\h\z\u 1模型来源 2真题现模型 2提炼模型 3模型拓展 4模型运用 4模型4.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 12模型6.绝对值最值模型的实际应用 15模型7.绝对值相关运算与最值问题 19模型8.绝对值最值中的新定义问题 20 24绝对值最值问题的历史发展脉络源于几何直观与代数研究的结合，其核心理论随数学分析的发展逐步完善。绝对值的概念源于物理学中的距离概念，表示一个数到原点的距离。在数学中，绝对值用于表示一个数到数轴原点的距离，因此绝对值总是非负的。这一性质使得绝对值在数学分析中有着广泛的应用，特别是在处理不等式和最值问题时显得尤为重要。在解决含绝对值的代数式最值问题时，可以利用绝对值的几何意义或零点分段法，整体来说绝对值的几何意义较为简单适用。我们先看表示的点可能的3种情况，如图所示：如图①，在1的左边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1．如图②，在1，2之间（包括在1，2上），可以看出到1和2的距离之和等于1．【答案】(1)a在数轴上对应的点到4和7两个点的距离之和；3；(2)2；2；(3)6；(4)。故答案为：a在数轴上对应的点到3和6两个点的距离之和；3（4）当a取中间数1013时，绝对值最小，【答案】或②绝对值的几何意义：表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离；另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。规律可总结为：“奇中点，偶中段”。5.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型①绝对值系数不为“1”：如：｜x1｜+2｜x2｜+3｜x3｜+4｜x4｜+5｜x5｜解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。②x系数不为“1”：如：求｜2x4｜+｜5x+5｜的最小值。解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先‬第一步‬想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x4｜+｜5x+5｜=｜2（x2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x2｜+5｜x+1｜。第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开‬，然后‬利用“奇中点‬，偶中段”来求了‬。解‬得‬当x=1时‬取得‬最小值，最小值‬为‬6。另解：上述两类问题也可以采用绝对值的代数意义（根据零点分区讨论）求解。【答案】75A．①② B．①②④ C．①④ D．①②③④【答案】CA．或5 B．或9 C．或9 D．5或9【答案】C【答案】或/8或例1（2425七年级上·江苏宿迁·期中）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．在学习绝对值时，我们知道：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．请根据所学内容并结合数轴解答下列问题：(3)改变数x在数轴上对应点的位置，结合数轴回答下列问题：【答案】25法2：解：当x≥2时，|x2||x+3|=x2x3=5；当3＜x＜2时，|x2||x+3|=（x2）（x+3）=2x1；当x≤3时，|x2||x+3|=（x2）+（x+3）=5．例3（2024·广西·七年级专题练习）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|ab|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题：（1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为____，数x与1所对应的点的距离为____；【答案】（1）|x1|，|x+1|；（2）2；（3）20例1（2324七年级上·安徽合肥·阶段练习）认真阅读下面的材料，完成有关问题．(1)点，，在数轴上分别表示有理数，，，那么到的距离与到的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）；（2）①到数轴上两个点距离之和最小的点取在这两点之间，最小距离即是这两个点的距离，②到数轴上三个点距离之和最小的点即是中间那个点，最小值是左右两边二点之间的距离，综上，a的值为6或；(1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是_______；(3)数轴上点A用数a表示，探究以下几个问题：例4（2324七年级上·湖北黄石·阶段练习）在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形结合的方法使复杂问题简单化．∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x表示的点到的距离等于5．当n是偶数时，中间的两个点相同为，模型4.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型【答案】(1)，故答案为：，；A．0 B．5 C．2 D．3【答案】B【答案】1【答案】81模型6.绝对值最值模型的实际应用(1)线段的长度是；(2)x表示任意一个有理数，利用数轴回答下列问题：【答案】(1)5(2)或3；5；5(3)便民服务点建在之间（包括点和点，能使到四个村庄、、、总路程最短，最短距离是14．理由见解析（3）便民服务点建在之间（包括点和点，能使到四个村庄、、、总路程最短，最短距离是14千米，理由如下：记点表示的有理数为0，则、、、表示的有理数分别为，，，，设便民服务点在数轴上表示的点处，答：便民服务点建在之间（包括点和点，能使到四个村庄、、、总路程最短，最短距离是14．例2（2425七年级上·江苏南通·阶段练习）阅读下列材料并解决问题：应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们顺次有快递车16辆，8辆，4辆，12辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数．（2）∵线段上的点到线段的两端点的距离最小，共有5种调配方案，如下图所示：∴调出的最小车辆数为：辆．例3（2425七年级上·江苏连云港·阶段练习）【定义新知】【答案】（1）数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离，或0；（2），，，0，1，2；（3），8；（4）实验室P建在点B处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元．所以x可以取整数，，，0，1，2；故答案为，，，0，1，2；最小值为到2的距离为8；故答案为：，8；（4）解：设市民广场O原点，建立数轴，实验室P所对应的数为x，A、B、C在数轴上分别表示，，1，3，∵A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．核酸样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，∴此时最低成本12元，实验室P建在点B，才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元．模型7.绝对值相关运算与最值问题【答案】8（1）已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，8，那么A、B两点的距离为；【答案】（1）18；（2）5；（3）5或；（4）、0、1、2；、、、0、1；3∴m的值为：、0、1、2；，n的值为：、、、0、1，∴的最大值为：3，故答案为：、0、1、2；、、、0、1；3．模型8.绝对值最值中的新定义问题A．1 B．3 C．5 D．7【答案】C综上，全部输入完毕后显示的结果的最大值是5．故选：C．(1)和3关于1的“相对关系值”为________；(2)若和2关于1的“相对关系值”为，求的值；(3)若和关于1的“相对关系值”为1，和关于2的“相对关系值”为1，和关于3的“相对关系值”为1，…，和关于的“相对关系值”为1．∴和3关于1的“相对关系值”为，故答案为：

【答案】(1)1(2)或(3)7或或或【详解】（1）解：设点C表示的数是，∴点C表示的数是1，故答案为：1．综上所述m的值为7或或或．A．2023 B．4046 C．20 D．0【答案】AA．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值3 D．有最大值3【答案】D3．（2425七年级上·河南郑州·阶段练习）若、有理数，下列判断：A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B故选BA．1 B．2 C．3 D．4【答案】BA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B综上，正确结论的个数是2个，故选：B．【答案】3故答案为：3．【答案】①②④综上所述：正确的结论有①②④，故答案为：①②④．【答案】【答案】或故答案为：或，．12．（2425七年级上·江苏宿迁·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：【答案】(1)3；(2)或；(3)14；(4)；(5)2，7．∴数轴上表示和1两点之间的距离是3；故答案：；13．（2324七年级上·江苏连云港·阶段练习）在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用：利用数形结合思想回答下列问题：(1)数轴上表示和6的两点之间的距离表示为__________；数轴上表示和的两点之间的距离表示为__________．(4)规律应用工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件相应该放在工作__________处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是__________米．（4）以E点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E、F、G、H、I依次在数轴上排列，则A点表示的数为，B点表示的数为，C点表示的数为，D点表示的数为，F点表示的数为2，G点表示的数为4，H点表示的数为6，I点表示数为8，设配件箱应该放在数轴上表示x的数的位置，∴配件箱应该放在工作台E处，最短路程为40米，故答案为：E，40；14．（2324七年级上·江苏盐城·阶段练习）数学实验室：(1)数轴上表示2和6的两点之间的距离是____，数轴上表示1和的两点之间的距离是_____；(2)若表示数和的两点之间的距离是5，那么________；∴x的取值范围是________；y的取值范围是________．由（3）可知：当x在最大数右边（或最大数上）时有最大值；(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离为______；17．（2425七年级上·四川成都·阶段练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：请你根据他们的解题解决下面的问题：

(1)数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为．为到之间的整数，这样的整数有、、、，故答案为、、、；(1)请直接写出a，b的值：，；(3)如果在数轴连续的整数点上依次有n个机器人，且相邻两个机器人之间的距离都是1个单位，同时数轴上有一个快递包裹分发点智能机器人，它能根据机器人的数量自动决策出快递包裹分发点的位置，使得每个机器人去取快递包裹的距离之和最小，请直接用含n的代数式表示这个最小值．问题探究：参考阅读材料，解答下列问题．(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是______；故点P选在