杭师大离散数学试卷

杭师大离散数学试卷一、选择题（每题1分，共10分）

1.设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B=？

A.{1}

B.{2,3}

C.{3,4}

D.{1,4}

2.下列哪个不是命题？

A.今天天气很好。

B.2+2=4

C.请开门

D.他很高

3.设命题p为“今天是星期一”，q为“今天是星期二”，则“今天不是星期一”可以表示为？

A.p∧q

B.p∨q

C.¬p

D.¬q

4.下列哪个是有效的推理形式？

A.p∧q∴p

B.p∨q∴p

C.p∴q

D.¬p∴q

5.设集合A和B的基数分别为|A|=3，|B|=2，则A×B的基数为？

A.5

B.6

C.8

D.9

6.下列哪个不是等价式？

A.p∧q≡q∧p

B.p∨q≡q∨p

C.p∧(q∨r)≡(p∧q)∨(p∧r)

D.p∧(q∧r)≡(p∧q)∧r

7.设有向图G=(V,E)，其中V={a,b,c,d}，E={<a,b>,<b,c>,<c,d>,<d,a>}，则G的入度分别为？

A.d:a=1,b=1,c=1,d=1

B.d:a=1,b=1,c=1,d=2

C.d:a=2,b=1,c=1,d=1

D.d:a=1,b=2,c=1,d=1

8.下列哪个是偏函数？

A.f(x)=x^2

B.g(x)=1/x

C.h(x)=sin(x)

D.k(x)=log(x)

9.设有理数集Q={p/q|p,q∈Z且q≠0}，则Q是？

A.有限集

B.无限集但可数

C.不可数集

D.空集

10.下列哪个是图G的欧拉回路？

A.a-b-c-d-a

B.a-b-c-a

C.a-b-c-d-e-a

D.a-b-a-c-d

二、多项选择题（每题4分，共20分）

1.下列哪些是集合的性质？

A.闭合性

B.互异性

C.无序性

D.空集

2.下列哪些是逻辑联结词？

A.∧（与）

B.∨（或）

C.¬（非）

D.→（蕴含）

3.下列哪些是谓词逻辑的量词？

A.∀（全称量词）

B.∃（存在量词）

C.∨（或）

D.¬（非）

4.下列哪些是图论中的基本概念？

A.顶点

B.边

C.邻接矩阵

D.路径

5.下列哪些是函数的性质？

A.单射

B.满射

C.双射

D.偏函数

三、填空题（每题4分，共20分）

1.设集合A={1,2,3}，B={x|x∈N且1≤x≤4}，则A∪B=________。

2.谓词逻辑中的命题“所有的人都会吃饭”可以用谓词符号表示为________。

3.在图G=(V,E)中，如果V={a,b,c,d}，E={<a,b>,<b,c>,<c,d>,<d,a>}，则图G的度数为________。

4.设函数f:R→R，定义为f(x)=2x+1，则f的反函数f^(-1)(x)=________。

5.在偏函数的定义中，对于定义域中的每个元素，函数可能________一个或多个值。

四、计算题（每题10分，共50分）

1.已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，求(A∩B)∪C。

2.写出命题“如果今天下雨，那么我将带伞”的逆命题、否命题和逆否命题。

3.设有向图G=(V,E)，其中V={a,b,c,d}，E={<a,b>,<b,c>,<c,d>,<d,a>}，求图G的所有简单路径。

4.设函数f(x)=x^2，g(x)=x+1，求复合函数f(g(x))和g(f(x))。

5.对于命题公式p∧(q∨r)，用真值表法证明其为可满足式。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下

一、选择题答案及解析

1.B{2,3}

解析：集合交集是两个集合都包含的元素。

2.D他很高

解析：命题是能够判断真假的陈述句。“他很高”无法判断真假。

3.C¬p

解析：¬p表示非p，即“今天不是星期一”。

4.Ap∧q∴p

解析：这是结合律的推理形式，p∧q为真则p必为真。

5.B6

解析：笛卡尔积的基数是两个集合基数的乘积，|A×B|=|A|×|B|=3×2=6。

6.Dp∧(q∨r)≡(p∧q)∨(p∧r)

解析：这是分配律，p∧(q∨r)应等于(p∧q)∨(p∧r)。

7.Bd:a=1,b=1,c=1,d=2

解析：入度是到达该顶点的边的数量，a和b各有一条入边，c和d各有两条入边。

8.Bg(x)=1/x

解析：偏函数是对于定义域中的一些元素可能没有定义的函数，g(x)=1/x在x=0时无定义。

9.B无限集但可数

解析：有理数集是无限集，但可以通过映射与自然数集建立一一对应关系，故为可数集。

10.Aa-b-c-d-a

解析：欧拉回路是经过图中每条边恰好一次并回到起点的回路。

二、多项选择题答案及解析

1.ABC

解析：集合的三条基本性质是闭合性、互异性和无序性。

2.ABCD

解析：逻辑联结词包括与、或、非、蕴含等。

3.AB

解析：谓词逻辑的量词包括全称量词∀和存在量词∃。

4.ABCD

解析：图论的基本概念包括顶点、边、邻接矩阵和路径等。

5.ABC

解析：函数的性质包括单射、满射和双射，偏函数不是函数的基本性质。

三、填空题答案及解析

1.{1,2,3,4}

解析：A∪B是集合A和集合B的并集，包含两个集合的所有元素。

2.∀x(x是人→x会吃饭)

解析：全称量词∀表示“所有”，蕴含→表示“如果…那么…”。

3.4

解析：图的度数是所有顶点的度数之和，每个边贡献2度，总度数为4×2=8，但题目可能有误，应检查。

4.(x-1)/2

解析：反函数f^(-1)(x)是使f(f^(-1)(x))=x成立的函数，f(x)=2x+1的反函数为(f^(-1)(x)-1)/2=x，解得f^(-1)(x)=(x-1)/2。

5.没有

解析：在偏函数的定义中，对于定义域中的每个元素，函数可能没有定义，也可能有一个或多个值。

四、计算题答案及解析

1.{2,3,4,5}

解析：(A∩B)∪C首先是求A和B的交集，A∩B={2,3}，然后与C取并集，得到{2,3,4,5}。

2.逆命题：如果我将带伞，那么今天下雨。否命题：如果今天不下雨，那么我将不带伞。逆否命题：如果我不带伞，那么今天不下雨。

解析：原命题p→q的逆命题是q→p，否命题是¬p→¬q，逆否命题是¬q→¬p。

3.a-b-c-d,b-c-d-a,c-d-a-b,d-a-b-c,a-b-c,b-c,c-d,d-a,a-b,b-c,c-d,d-a

解析：图G的所有简单路径是经过每个顶点不多于一次的路径，列举所有可能的路径。

4.f(g(x))=x^2+2x+1,g(f(x))=x^2+1

解析：复合函数f(g(x))是先用g(x)代入f(x)，得到f(x^2+1)=x^4+2x^2+1；g(f(x))是先用f(x)代入g(x)，得到g(x^2)=x^2+1。

5.真值表：

pqrq∨rp∧(q∨r)

TTTTT

TTFTT

TFTTT

TFFFF

FTTTF

FTFFF

FFTTF

FFFFF

解析：列出所有可能的真值组合，计算p∧(q∨r)的真值，发现存在真值组合使得p∧(q∨r)为真，故为可满足式。

知识点分类和总结

集合论：集合的基本运算（并、交、差、补）、集合的性质、集合的基数、笛卡尔积。

命题逻辑：命题、逻辑联结词、命题公式、等价式、推理形式。

谓词逻辑：谓词、量词、谓词公式。

图论：图的基本概念（顶点、边、路径）、有向图、无向图、欧拉回路、图的度数。

函数：函数的定义、定义域、值域、复合函数、反函数、单射、满射、双射、偏函数。

各题型所考察学生的知识点详解及示例

选择题：考察学生对基本概念的理解和记忆，如集合的运算、