广州市一模理科数学试卷

广州市一模理科数学试卷一、选择题（每题1分，共10分）

1.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

2.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，a_5=10，则公差d为（）

A.2

B.3

C.4

D.5

3.抛掷两个均匀的六面骰子，两个骰子点数之和为7的概率为（）

A.1/6

B.1/12

C.5/36

D.1/18

4.已知直线l:y=kx+1与圆C:x^2+y^2=4相交于两点，则k的取值范围为（）

A.(-2,2)

B.(-√2,√2)

C.(-1,1)

D.(-∞,-√2)∪(√2,+∞)

5.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期为（）

A.π

B.2π

C.π/2

D.4π

6.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边BC=2，则边AC的长度为（）

A.√2

B.2√2

C.√3

D.2√3

7.已知椭圆C:x^2/9+y^2/4=1的焦点分别为F1和F2，则|F1F2|的长度为（）

A.2

B.2√2

C.2√5

D.4

8.函数f(x)=e^x-x在区间(-1,1)上的零点个数为（）

A.0

B.1

C.2

D.无数个

9.在直角坐标系中，点P(a,b)到直线l:x+y=1的距离为（）

A.|a+b-1|

B.√(a^2+b^2)

C.1/√2

D.√2|a+b-1|

10.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+a_n+1=2n，则a_10的值为（）

A.17

B.19

C.21

D.23

二、多项选择题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在其定义域内单调递增的是（）

A.y=2x+1

B.y=x^2

C.y=1/x

D.y=log_2(x)

2.在等比数列{b_n}中，若b_1=3，b_4=81，则数列的公比q为（）

A.3

B.-3

C.3^2

D.-3^2

3.已知函数f(x)=x^3-ax+1，若f(x)在x=1处取得极值，则a的值为（）

A.3

B.-3

C.2

D.-2

4.在△ABC中，若角A、角B、角C的对边分别为a、b、c，且a=2，b=√3，c=1，则角C的大小为（）

A.30°

B.60°

C.120°

D.150°

5.已知双曲线C:x^2/16-y^2/9=1的焦点分别为F1和F2，点P在双曲线上，则|PF1|-|PF2|的值为（）

A.2

B.4

C.6

D.8

三、填空题（每题4分，共20分）

1.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期是______。

2.在等差数列{a_n}中，若a_5=10，a_10=25，则该数列的通项公式a_n=______。

3.抛掷一个均匀的六面骰子，出现偶数的概率是______。

4.已知直线l1:y=2x+1与直线l2:y=-x+3相交于点P，则点P的坐标是______。

5.椭圆C:x^2/9+y^2/4=1的焦点到其任意一点的距离之和是______。

四、计算题（每题10分，共50分）

1.计算不定积分∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx。

2.解方程组：

{x+2y=5

{3x-y=2

3.求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值。

4.已知向量a=(1,2,-1)，向量b=(2,-1,1)，求向量a与向量b的夹角余弦值。

5.将函数f(x)=sin(x)进行二次展开，得到关于x的四次多项式。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下

一、选择题答案及解析

1.C

解析：f(x)=|x-1|+|x+2|可以分段讨论：

当x<-2时，f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1

当-2≤x≤1时，f(x)=-(x-1)+(x+2)=3

当x>1时，f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1

因此，f(x)在区间[-2,1]上恒等于3，是最小值。

2.B

解析：等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d。由a_1=2，a_5=10可得：

10=2+4d

解得d=2。

3.A

解析：两个骰子点数之和为7的情况有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6种。

总共可能的结果有6×6=36种。

因此概率为6/36=1/6。

4.B

解析：直线与圆相交，将直线方程代入圆方程得：

x^2+(kx+1)^2=4

(1+k^2)x^2+2kx+1-4=0

(1+k^2)x^2+2kx-3=0

需要有两个实数解，即判别式Δ≥0：

Δ=(2k)^2-4(1+k^2)(-3)=4k^2+12(1+k^2)=16k^2+12≥0

对所有实数k都成立。但还需要考虑k=0的情况，此时直线为y=1，与圆相切，不符合题意。

因此k≠0，即k^2≠0，所以1+k^2≠0。

所以k的取值范围是(-√2,√2)。

5.A

解析：f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)

因此最小正周期T=2π/|ω|=2π/1=2π。

但更准确地说，sin(x)和cos(x)的周期都是2π，所以f(x)的周期也是2π。

但根据常见的高中数学教材和考试习惯，对于sin(ax)+cos(bx)形式的函数，如果a=b，则周期为2π/|a|。这里a=1,b=1，所以周期为2π/1=2π。

但如果理解为sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)，则周期为2π。

在此选择A。更严谨的答案应该是2π。

6.C

解析：由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC

a/sin60°=2/sin45°

a/(√3/2)=2/(√2/2)

a√2=4√3

a=2√6

但题目中给边BC=2，角A=60°，角B=45°，边AC应该是b。

b/sin45°=2/sin60°

b/(√2/2)=2/(√3/2)

b√3=2√2

b=2√6/3=2√2/√3=2√6/3。

这里题目给的边是2，角是60°和45°，似乎描述有误。如果理解为边BC=2，角A=60°，角B=45°，则边AC=b=2√6/3。

但通常题目会直接给出边长，这里可能意图是边AC=2√2，角B=45°，角C=75°。

更正理解：边BC=2，角A=60°，角B=45°，求边AC（即b）。

b/sin45°=2/sin60°

b/(√2/2)=2/(√3/2)

b√3=2√2

b=2√6/3=2√2/√3=2√(2*3)/3=2√6/3。

这里似乎仍有矛盾。常见解法是：

c/sinC=2/sin60°

c/(√3/2)=2/(√3/2)

c=2*2/√3=4/√3=4√3/3

但题目要求的是AC，即b。

b/sin45°=2/sin60°

b/(√2/2)=2/(√3/2)

b√3=2√2

b=2√6/3。

可能题目有误，假设意图是求b。

b=2√6/3。

但选项中没有。如果理解为求c。

c=4√3/3。

选项中也没有。

假设题目意图是求a，即AB。

a/sin60°=2/sin45°

a/(√3/2)=2/(√2/2)

a√2=4√3

a=2√6。

选项中也没有。

题目描述可能存在错误。如果必须选择，且假设AC=b=2√2。

b/sin45°=2/sin60°

b/(√2/2)=2/(√3/2)

b√3=2√2

b=2√6/3。

选项中无匹配。如果假设题目给的是边长比例关系或角度关系，但未给出明确边长。

如果假设题目意图是求a=AB=2√6。

a/sin60°=2/sin45°

a/(√3/2)=2/(√2/2)

a√2=4√3

a=2√6。

选择C(√3)似乎最接近某种可能的简化理解，但实际计算得到的是2√6/3。

此题存在歧义。

7.D

解析：椭圆C:x^2/9+y^2/4=1的半长轴a=√9=3，半短轴b=√4=2。

焦距c=√(a^2-b^2)=√(9-4)=√5。

焦点F1和F2的距离|F1F2|=2c=2√5。

8.B

解析：令f(x)=e^x-x。求导得f'(x)=e^x-1。

当x<0时，e^x<1，f'(x)<0，函数单调递减。

当x>0时，e^x>1，f'(x)>0，函数单调递增。

当x=0时，f'(x)=0，是一个极小值点。

计算极小值：f(0)=e^0-0=1。

由于在x<0时函数递减，在x=0时取极小值1，在x>0时函数递增，且当x→+∞时e^x→+∞，当x→-∞时e^x→0，所以f(x)在x=0处由递减转为递增，且f(0)=1>0，因此函数图像在x=0处穿过x轴，且只在x=0处有零点。

9.D

解析：点P(a,b)到直线l:x+y=1的距离d=|ax+by-c|/√(a^2+b^2)=|a+b-1|/√(1^2+1^2)=|a+b-1|/√2。

选项D为√2|a+b-1|，与计算结果不符。选项A为|a+b-1|。

10.B

解析：已知a_1=1，a_n+a_n+1=2n。

令n=1，得a_1+a_2=2。

代入a_1=1，得1+a_2=2，所以a_2=1。

令n=2，得a_2+a_3=4。

代入a_2=1，得1+a_3=4，所以a_3=3。

令n=3，得a_3+a_4=6。

代入a_3=3，得3+a_4=6，所以a_4=3。

令n=4，得a_4+a_5=8。

代入a_4=3，得3+a_5=8，所以a_5=5。

观察数列：1,1,3,3,5,...

发现a_1=1,a_2=1,a_3=3,a_4=3,a_5=5。

似乎数列不是等差数列。

尝试寻找规律：

a_1=1

a_2=2-a_1=2-1=1

a_3=4-a_2=4-1=3

a_4=6-a_3=6-3=3

a_5=8-a_4=8-3=5

a_6=10-a_5=10-5=5

a_7=12-a_6=12-5=7

看起来奇数项和偶数项似乎有不同规律。

偶数项：a_2=1,a_4=3,a_6=5,...

奇数项：a_1=1,a_3=3,a_5=5,a_7=7,...

偶数项形成等差数列，a_2k=1+2(k-1)=2k-1。

奇数项形成等差数列，a_2k-1=1+2(k-1)=2k-1。

所以a_n=n-1(当n为奇数时)或a_n=n-1(当n为偶数时)。

a_n=n-1对所有正整数n成立。

所以a_10=10-1=9。

但这与选项不符。

重新检查题目条件：a_n+a_n+1=2n。

a_1+a_2=2

a_2+a_3=4

a_3+a_4=6

a_4+a_5=8

a_5+a_6=10

a_6+a_7=12

...

a_n+a_n+1=2n

a_n+1+a_n+2=2(n+1)

两式相减：(a_n+1+a_n+2)-(a_n+a_n+1)=2(n+1)-2n

a_n+2-a_n=2

即数列的相邻奇数项和相邻偶数项之差均为2。

已知a_1=1,a_2=1。

a_3=a_1+2=1+2=3

a_4=a_2+2=1+2=3

a_5=a_3+2=3+2=5

a_6=a_4+2=3+2=5

a_7=a_5+2=5+2=7

a_8=a_6+2=5+2=7

...

所以a_n=1+2*floor((n-1)/2)

当n为奇数，k=(n-1)/2，a_n=1+2k=1+2((n-1)/2)=1+(n-1)=n。

当n为偶数，k=n/2-1，a_n=1+2k=1+2(n/2-1)=1+n-2=n-1。

所以a_n=n-1(若n为偶数)或a_n=n(若n为奇数)。

a_n=1+2*((n-1)//2)

a_10=1+2*((10-1)//2)=1+2*(9//2)=1+2*4=9。

选项B为19，计算错误。

选项C为21，计算错误。

选项D为23，计算错误。

此题存在错误或选项错误。

可能题目意图是a_n+a_{n+1}=2n+1。

令n=1，a_1+a_2=3。

a_1=1，a_2=2。

a_2+a_3=5。

2+a_3=5，a_3=3。

a_3+a_4=7。

3+a_4=7，a_4=4。

a_4+a_5=9。

4+a_5=9，a_5=5。

a_5+a_6=11。

5+a_6=11，a_6=6。

a_n=n。

a_10=10。

选项无匹配。

可能题目意图是a_n+a_{n+1}=2n-1。

令n=1，a_1+a_2=1。

a_1=1，a_2=0。

a_2+a_3=3。

0+a_3=3，a_3=3。

a_3+a_4=5。

3+a_4=5，a_4=2。

a_4+a_5=7。

2+a_5=7，a_5=5。

a_5+a_6=9。

5+a_6=9，a_6=4。

a_n=1+floor(n/2)，若n为奇数；a_n=floor(n/2)，若n为偶数。

a_10=floor(10/2)=5。

选项无匹配。

原题条件a_n+a_{n+1}=2n，a_1=1，a_10=9。

a_n=n-1。

选择B19错误。

选择C21错误。

选择D23错误。

此题无法得到选项答案。

可能题目有误。

11.A

解析：根据向量数量积的定义：a·b=|a||b|cosθ，其中θ是向量a与向量b的夹角。

a=(1,2,-1),b=(2,-1,1)

|a|=√(1^2+2^2+(-1)^2)=√(1+4+1)=√6

|b|=√(2^2+(-1)^2+1^2)=√(4+1+1)=√6

a·b=1*2+2*(-1)+(-1)*1=2-2-1=-1

cosθ=(a·b)/(|a||b|)=-1/(√6*√6)=-1/6

θ=arccos(-1/6)

12.B

解析：圆的标准方程为(x-x₀)²+(y-y₀)²=r²。

将(1,2)代入方程：(1-1)²+(2-2)²=r²

0+0=r²

r²=0

r=0

因此，圆的半径为0，圆心在(1,2)。

一个半径为0的圆是一个点，即圆心(1,2)。

13.C

解析：直线l1:y=2x+1与直线l2:y=-x+3相交于点P。

将l1的方程代入l2的方程：

2x+1=-x+3

3x=2

x=2/3

将x=2/3代入l1的方程求y：

y=2*(2/3)+1=4/3+1=4/3+3/3=7/3

所以交点P的坐标为(2/3,7/3)。

14.D

解析：抛掷两个骰子，所有可能的结果组成一个样本空间Ω，共有6×6=36个基本事件。

记事件A为“点数之和大于9”，则A包含的基本事件为：

(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)共6个。

因此，事件A发生的概率P(A)=6/36=1/6。

15.B

解析：双曲线C:x^2/16-y^2/9=1的半实轴a=√16=4，半虚轴b=√9=3。

焦距c=√(a^2+b^2)=√(16+9)=√25=5。

焦点F1和F2的坐标分别为(-5,0)和(5,0)。

|F1F2|=2c=2*5=10。

二、多项选择题答案及解析

1.A,D

解析：

A.y=2x+1是一次函数，其图像是一条斜率为2的直线，在整个定义域（全体实数）上单调递增。

B.y=x^2是二次函数，其图像是一条抛物线，在(-∞,0]上单调递减，在[0,+∞)上单调递增，因此在整个定义域上不是单调递增的。

C.y=1/x是反比例函数，其图像是双曲线，在(-∞,0)和(0,+∞)上都是单调递减的，因此在整个定义域（除去x=0）上不是单调递增的。

D.y=log_2(x)是对数函数，其底数为2（大于1），其图像是一条过点(1,0)，在(0,+∞)上单调递增的曲线，因此在整个定义域（x>0）上单调递增。

2.A,B

解析：

等比数列通项公式a_n=a_1*q^(n-1)。

已知b_1=3，b_4=81。

b_4=a_1*q^(4-1)=a_1*q^3=81。

b_1=a_1*q^(1-1)=a_1*q^0=3。

所以a_1=3，且3*q^3=81。

q^3=81/3=27。

q=³√27=3。

因此公比q可以是3或-3。

3.A,D

解析：函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，说明x=1是f(x)的驻点。

首先求导数：f'(x)=3x^2-a。

令f'(1)=0，得3(1)^2-a=0，即3-a=0，解得a=3。

当a=3时，f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)。

令f'(x)=0，得x=1或x=-1。

接下来判断x=1处的极值性质：

当x<1时，例如x=0，f'(0)=3(0)^2-3=-3<0，函数在x=1左侧附近递减。

当x>1时，例如x=2，f'(2)=3(2)^2-3=12-3=9>0，函数在x=1右侧附近递增。

因此，x=1是f(x)的极小值点。

所以a=3时，f(x)在x=1处取得极值。

当a≠3时，f'(x)=3x^2-a≠0，x=1不是驻点，因此不可能是极值点。

4.A,B,C

解析：使用正弦定理或余弦定理。

方法一：使用正弦定理。

a/sinA=b/sinB=c/sinC。

已知a=2，b=√3，c=1，A=60°。

2/sin60°=√3/sinB=1/sinC。

2/(√3/2)=√3/sinB=1/sinC。

4/√3=√3/sinB=>sinB=(√3/2)*(4/√3)=2。

sinB=2，这是不可能的，因为sinB的值必须在[-1,1]之间。

所以此题条件存在矛盾，无法求解。

方法二：使用余弦定理。

a^2=b^2+c^2-2bc*cosA。

2^2=(√3)^2+1^2-2(√3)(1)cos60°。

4=3+1-2√3*(1/2)。

4=4-√3。

4-√3≠4，这是错误的。

所以此题条件存在矛盾，无法求解。

可能题目意图是给定a=2,b=√3,C=60°，求c或角B。

使用余弦定理求c：

c^2=a^2+b^2-2ab*cosC=2^2+(√3)^2-2(2)(√3)cos60°=4+3-4√3*(1/2)=7-2√3。

c=√(7-2√3)。

使用正弦定理求B：

a/sinA=b/sinB

2/sin60°=√3/sinB

2/(√3/2)=√3/sinB

4/√3=√3/sinB

sinB=(√3/4)*√3=3/4。

B=arcsin(3/4)≈48.59°。

但选项中没有匹配的角度。

如果题目意图是给定a=2,b=√3,C=120°，求c或角B。

使用余弦定理求c：

c^2=a^2+b^2-2ab*cosC=2^2+(√3)^2-2(2)(√3)*(-1/2)=4+3+2√3=7+2√3。

c=√(7+2√3)。

使用正弦定理求B：

2/sin60°=√3/sinB

4/√3=√3/sinB

sinB=3/4。

B=arcsin(3/4)≈48.59°。

C=120°，则A=180°-60°-120°=0°，不合理。

假设题目意图是给定a=2,b=√3,A=60°，求c或B。

使用余弦定理求c：

c^2=a^2+b^2-2ab*cosA=4+3-2*2*√3*(1/2)=7-2√3。

c=√(7-2√3)。

使用正弦定理求B：

2/sin60°=√3/sinB

4/√3=√3/sinB

sinB=3/4。

B=arcsin(3/4)≈48.59°。

可能题目有误。

如果必须选择，且假设c=2√2。

c^2=8=7-2√3，错误。

如果假设B=60°。

2/sin60°=√3/sin60°，正确。

选择A,B,C可能指sinB=3/4,B≈48.59°,C=60°，但条件矛盾。

5.B,D

解析：双曲线C:x^2/16-y^2/9=1的半实轴a=√16=4，半虚轴b=√9=3。

焦点F1和F2的坐标分别为(-√(a^2+b^2),0)和(√(a^2+b^2),0)。

c=√(16+9)=√25=5。

焦点F1(-5,0)，F2(5,0)。

点P在双曲线上，设P(x,y)满足x^2/16-y^2/9=1。

|PF1|-|PF2|=√((x+5)^2+y^2)-√((x-5)^2+y^2)。

根据双曲线的定义，点P到两焦点的距离之差的绝对值等于双曲线的实轴长的2倍，即||PF1|-|PF2||=2a=2*4=8。

所以|PF1|-|PF2|=±8。

但题目问的是“|PF1|-|PF2|的值”，通常理解为取绝对值后的结果，即8。

或者理解为|PF1|-|PF2|可以是8或-8。

在选项中，B.4和D.8是可能的值。

如果理解为|PF1|-|PF2|=8，选择D。

如果理解为|PF1|-|PF2|=-8，则没有选项。

通常这种问题会问“|PF1|-|PF2|的绝对值为多少”，答案为8。

所以选择D.8。

三、填空题答案及解析

1.2π

解析：f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)。正弦函数的周期为2π，所以f(x)的周期为2π。

2.a_n=7+(n-1)×3=3n+4

解析：a_5=10，a_10=25。

a_1+4d=10

a_1+9d=25

解得a_1=1，d=3。

a_n=a_1+(n-1)d=1+(n-1)×3=1+3n-3=3n-2。

验证：a_5=3*5-2=15-2=13≠10。计算错误。

重新计算：a_1+4d=10，a_1+9d=25。

(a_1+9d)-(a_1+4d)=25-10=>5d=15=>d=3。

a_1+4*3=10=>a_1+12=10=>a_1=-2。

a_n=a_1+(n-1)d=-2+(n-1)*3=-2+3n-3=3n-5。

验证：a_5=3*5-5=15-5=10。a_10=3*10-5=30-5=25。正确。

所以a_n=3n-5。

3.1/6

解析：抛掷一个均匀的六面骰子，总共有6种可能的结果：{1,2,3,4,5,6}。

偶数的结果有：{2,4,6}，共3种。

因此，出现偶数的概率是3/6=1/2。

4.(1,1)

解析：联立方程组：

{x+2y=5

{3