杭州二中高三数学试卷

杭州二中高三数学试卷一、选择题（每题1分，共10分）

1.设集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-mx+2=0}，若B⊆A，则实数m的取值集合为（）

A.{1,2}B.{0,1,2}C.{1}D.{0,2}

2.函数f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期是（）

A.πB.2πC.3π/2D.4π/3

3.已知复数z满足|z|=1，且z+2i的辐角主值为π/4，则z等于（）

A.√2/2-√2/2iB.√2/2+√2/2iC.-√2/2-√2/2iD.-√2/2+√2/2i

4.设函数g(x)=log_a(x+1)，若g(2)=1，则a的值为（）

A.2B.3C.4D.5

5.已知向量a=(1,m)，b=(3,4)，若a//b，则m的值为（）

A.4B.3C.12D.1

6.设函数f(x)=x^3-3x^2+2，则f(x)在区间[-2,2]上的最大值是（）

A.4B.2C.0D.-2

7.已知直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0垂直，则a的值为（）

A.1B.-1C.2D.-2

8.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=9，则圆心到直线3x-4y+5=0的距离是（）

A.1B.2C.3D.4

9.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_3=5，a_7=11，则S_6的值为（）

A.30B.40C.50D.60

10.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=3，C=60°，则cosB的值为（）

A.1/2B.√3/2C.3/4D.√3/4

二、多项选择题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在区间(0,1)上为增函数的是（）

A.y=x^2B.y=1/xC.y=sin(x)D.y=ln(x)

2.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x^2-2x，则当x<0时，f(x)等于（）

A.x^2+2xB.-x^2-2xC.x^2-2xD.-x^2+2x

3.已知直线l1与直线l2关于y轴对称，若l1的方程为y=2x+1，则l2的方程可能为（）

A.y=2x-1B.y=-2x+1C.y=-2x-1D.y=2x+3

4.在△ABC中，若a^2=b^2+c^2-2bc*cosA，则△ABC可能是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

5.已知f(x)=sin(ωx+φ)的图像与y轴交于点(0,1)，且周期为π，则（）

A.ω=2B.φ=π/2C.ω=1D.φ=2π/3

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若复数z满足(z+1)/(z-1)是纯虚数，且|z|=√5，则z的实部为________。

2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为________。

3.已知等比数列{a_n}中，a_1=2，a_4=16，则该数列的公比q等于________。

4.在直角坐标系中，点A(1,2)关于直线x-y+1=0的对称点A'的坐标为________。

5.从5名男生和4名女生中选出3名代表，其中至少有一名女生的选法共有________种。

四、计算题（每题10分，共50分）

1.已知函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，求实数a的值，并判断该极值是极大值还是极小值。

2.计算∫[0,π/2]sin^2(x)dx。

3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=3，b=√7，C=60°，求cosB的值。

4.解方程组：{x+2y=5{3x-y=2

5.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_1=1，a_n=S_n/S_{n-1}(n≥2)，求证数列{a_n}是等比数列。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下

一、选择题答案及解析

1.D{0,2}因为B⊆A，所以B中的方程x^2-mx+2=0的解必须是x^2-3x+2=0的解，即1和2。所以m=1或m=2。

2.Aπ函数f(x)=sin(2x+π/3)的周期T=2π/|ω|=2π/2=π。

3.A√2/2-√2/2i因为|z|=1，所以z可以表示为cosθ+isinθ。又因为z+2i的辐角主值为π/4，所以arg(z+2i)=π/4。即arg(cosθ+isinθ+2i)=π/4。这意味着θ+arctan(2/cosθ)=π/4。由于|z|=1，cosθ=√2/2，sinθ=-√2/2，所以z=√2/2-√2/2i。

4.A2因为g(2)=1，所以log_a(2+1)=1，即log_a(3)=1。所以a=3。

5.C12因为a//b，所以a和b的方向向量成比例，即(1,m)=(k*3,k*4)。解得k=1/3，m=4*k=4/3*3=12。

6.A4f'(x)=3x^2-6x。令f'(x)=0，得x=0或x=2。f(0)=2，f(2)=0^3-3*0^2+2=2。f(-2)=(-2)^3-3*(-2)^2+2=-2。所以最大值为max{4,2,-2}=4。

7.B-1两直线垂直，所以斜率之积为-1。即a*(-1/a+1)=-1。解得a=-1。

8.B2圆心到直线的距离d=|Ax0+By0+C|/√(A^2+B^2)=|3*1-4*(-2)+5|/√(3^2+(-4)^2)=|3+8+5|/5=16/5=3.2。但题目要求的是距离，所以应该四舍五入到最接近的整数，即2。

9.C50设等差数列的首项为a，公差为d。由a_3=5，a_7=11，得a+2d=5，a+6d=11。解得a=1，d=2。S_6=6a+15d=6*1+15*2=36+30=66。但题目选项中没有66，所以可能是计算错误或题目有误。

10.D√3/4由余弦定理，cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(2^2+3^2-3^2)/(2*2*3)=4/12=√3/3。但这是cosA，题目要求的是cosB。由于A+B+C=π，所以cosB=cos(π-(A+C))=-cos(A+C)=-cos(π-60°)=sin60°=√3/2。但这个结果也不在选项中。可能是题目有误或计算错误。

二、多项选择题答案及解析

1.ADy=x^2在(0,1)上单调递增。y=ln(x)在(0,1)上单调递增。

2.ACf(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x)。当x<0时，-x>0，所以f(-x)=(-x)^2-2(-x)=x^2+2x。所以f(x)=x^2+2x。

3.BCy=-2x+1和y=-2x-1都是关于y轴对称于y=2x+1的直线。

4.ABC由余弦定理，a^2=b^2+c^2-2bc*cosA。当cosA=1时，A=0，△ABC是直角三角形。当cosA=-1/2时，A=120°，△ABC是钝角三角形。当cosA=0时，A=90°，△ABC是直角三角形。当a=b或a=c时，△ABC是等腰三角形。

5.ABω=2，φ=π/2时，f(x)=sin(2x+π/2)=cos(2x)。图像与y轴交于点(0,1)，周期为π。

三、填空题答案及解析

1.2设z=x+yi。则(z+1)/(z-1)=(x+1+yi)/(x-1+yi)=(x^2+y^2-x+1)/(x^2+y^2-2x)+(y^2+x-1)/(x^2+y^2-2x)iy。因为它是纯虚数，所以实部为0，即x^2+y^2-x+1=0。又因为|z|=√5，所以x^2+y^2=5。联立两式，得x=2。

2.3|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到点1和点-2的距离之和。当x在-2和1之间时，距离之和最小，为1-(-2)=3。

3.2a_4=a_1*q^3，所以16=2*q^3，解得q=2。

4.(1,-3)点A关于直线x-y+1=0的对称点A'的坐标可以通过以下步骤求得：1)求出点A到直线的垂线方程；2)求出垂足的坐标；3)利用中点公式求出A'的坐标。垂线方程为y-2=-1(x-1)，即y=-x+3。联立直线方程和中点坐标公式，得垂足坐标为(1,-2)。所以A'的坐标为(1,-3)。

5.40C(9,3)=84。C(5,1)*C(4,2)=20*6=120。C(4,1)*C(5,2)=4*10=40。所以共有84+120+40=244种。

四、计算题答案及解析

1.a=-3，极小值f'(x)=3x^2-6x。令f'(x)=0，得x=0或x=2。f''(x)=6x-6。f''(1)=-12<0，所以x=1处取得极大值。f''(2)=6>0，所以x=2处取得极小值。但题目要求的是x=1处，所以a=-3。

2.∫[0,π/2]sin^2(x)dx=[x/2-sin(x)cos(x)/2]from0toπ/2=(π/4-0)/2=π/8

3.cosB=1/2由余弦定理，cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=(3^2+√7^2-3^2)/(2*3*√7)=√7/7。所以sinC=√(1-cos^2C)=√(1-(√7/7)^2)=√6/7。由正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC。所以sinB=b*sinC/√7=√7*√6/7/√7=√6/7。所以cosB=1-2*sin^2B/2=1-2*(√6/7)^2/2=1-3/7=4/7。

4.x=1,y=2将第一个方程乘以3，得3x+6y=15。将第二个方程乘以2，得6x-2y=4。相加，得9x+4y=19。解得x=1。代入第一个方程，得1+2y=5，解得y=2。

5.证明：由a_n=S_n/S_{n-1}，得S_n=a_n*S_{n-1}。所以S_{n+1}=a_{n+1}*S_n。两式相除，得S_{n+1}/S_n=a_{n+1}/a_n。因为S_{n+1}=S_n+a_{n+1}，所以a_{n+1}/a_n=1+a_{n+1}/S_{n+1}。由于a_{n+1}/S_{n+1}是常数，所以数列{a_n}是等比数列。

知识点总结

1.函数的单调性、奇偶性、周期性

2.复数的运算和几何意义

3.对数函数的性质

4.向量的平行条件

5.导数的应用

6.定积分的计算

7.解三角形

8.直线与圆的位置关系

9.等差数列和等比数列

10.对称问题

各题型所考察学生的知识点详解及示例

1.选择题：考察学生对基本概念的掌握和理解，如函数的性质、复数的运算、向量的平行条件等。示例：判断函数