2024-2025学年福建省福州市九校联考高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年福建省福州市九校联考高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.集合A={x|−2<x<3}，B={x|x≥1}，则A∩B=(

)A.(1,3) B.(−2,3) C.[1,3) D.[1,3]2.复数z=−2i(−1+i)的虚部为(

)A.−2 B.2i C.2 D.−2i3.已知a∈R，则“a2−3a−4<0”是“a<4”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知平面向量a，b满足a=(1,−3)，b=(2,x)，若aA.−3 B.−23 C.5.若m+n=1(mn>0)，则1m+1nA.1 B.2 C.3 D.46.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点P(−1,2)在角α的终边上，则sinA.−63 B.−337.甲、乙、丙、丁、戊5名学生站成一排，记“甲、乙相邻”为事件A，“甲不站在两端”为事件B，则P(B|A)=(

)A.16 B.14 C.128.设随机变量Z～N(μ,1)，函数f(x)=x3−3x2+Z⋅x在定义域R上是单调递增函数的概率为12，则P(1<Z≤2)=(

)

A.0.1587 B.0.1355 C.0.2718 D.0.3413二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列选项正确的是(

)A.命题“∃x>0，x2+x+1≥0”的否定是∀x<0，x2+x+1<0

B.满足{1}⊆M⊆{1,2,3}的集合M的个数为4

C.已知x=lg3，y=lg5，则lg45=2x+y

D.已知指数函数f(x)=ax10.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，NA.D1N⊥平面ADM B.BN/​/AM

C.B，D，M，N四点共面 D.平面ADM⊥11.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2bcosB，且b≠c，则下列说法中正确的是(

)A.A=2B

B.ab的取值范围是(2,3)

C.点P是△ABC所在平面内任一点，若c=2，则PA⋅PB的取值范围是[−1,2]

D.点P是△ABC所在平面内任一点，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.(2x13.若正方体的表面积为6，则它的外接球的表面积为

．14.已知抛物线C的准线是圆x2+y2−4=0与圆x四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a2=7，S5=55．

(1)求an，Sn；

(2)若数列{16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，且M是PD的中点，PA=AD=4，AB=2．

(1)求证：AM⊥平面PCD；

(2)求AM与平面MBC所成角的余弦值．

17.(本小题15分)

已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，且3asinC+ccosA=3c，A为锐角．

(1)求角A的大小；

(2)在①△ABC的面积为23，②AB⋅AC=12，③|BA18.(本小题17分)

已知函数f(x)=lnx+x2+ax+2在点(2,f(2))处的切线与直线2x+3y=0垂直．

(1)求a；

(2)求19.(本小题17分)

如图，已知椭圆C：y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1、F2，左顶点为P，焦距为2，若△PF1F2为正三角形．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点F1，斜率为33

参考答案1.C

2.C

3.A

4.B

5.D

6.A

7.D

8.B

9.BC

10.AD

11.ABD

12.20

13.3π

14.y215.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，

因为a2=7，S5=55，所以a1+d=75a1+5×42×d=55，解得a1=3，d=4，

所以an=3+(n−1)×4=4n−1，

Sn=(3+4n−1)×n2=2n2+n．16.解：(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，

∴PA⊥CD，又四边形ABCD是矩形，则CD⊥DA，

∵DA∩PA=A，DA、PA⊂平面PAD，

∴CD⊥平面PAD，AM⊂平面PAD，

∴CD⊥AM，

又M是PD的中点，PA=AD=4，则AM⊥PD，

而CD∩PD=D，CD、PD⊂平面PCD，

∴AM⊥平面PCD；

(2)由题易知：PA，AB，AD两两互相垂直，

以A为空间坐标系的原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则M(0,2,2)，A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，

故MB=(2,−2,−2),MC=(2,2,−2)，

设平面MBC法向量为n=(x,y,z)，

则n⊥MBn⊥MC，则n⋅MB=0n⋅MC=0，

即2x−2y−2z=02x+2y−2z=0，

令x=1，y=0，则z=1，

即n=(1,0,1)，

而AM=(0,2,2)，17.解：(1)∵△ABC中，3asinC+ccosA=3c，

∴由正弦定理得：3sinAsinC+sinCcosA=3sinC，

又C∈(0,π)，sinC>0，

∴3sinA+cosA=3，即sin(A+π6)=32，

又A为锐角，

∴A=π6；

(2)若选①△ABC的面积为23，则12bcsinA=12bc×12=23⇒bc=83(1°)；

又a=2，由余弦定理得：a2=b2+c2−2bccosA，即4=b18.解：(1)f′(x)=1x+2x+a，则f′(2)=12+2×2+a=92+a，

由题意可得(92+a)×(−23)=−1，解得a=−3；

(2)由a=−3，故f(x)=lnx+x2−3x+2，

则f′(x)=1x+2x−3=2x2−3x+1x=(2x−1)(x−1)x，x>0，

故当0<x<12时，f′(x)>0，当19.解：(1)由焦距为2可得2c=2，再由△PF1F2为正三角形，P为左顶点，可得b=32⋅2c=3，

所以a2=b2+c2=3+1=4，

所以椭圆的方程为：x24+y23=1；

(2)由(1)可得上焦点F1(0,1)，

由