2024-2025学年广东省深圳市某校高二（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省深圳市某校高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是(

)A.若m⊥α，n//α，则m⊥n

B.若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n

C.若m//n，n⊂α，则m//α

D.若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α//β2.2025年蛇年春晚的武汉分会场地点设在黄鹤楼，楼的外观有五层而实际上内部有九层.为营造春节的喜庆气氛，主办方决定在黄鹤楼的外部用灯笼进行装饰.这五层楼预计共挂186盏灯笼，且相邻两层中的下一层灯笼数是上一层灯笼数的2倍，则最中间一层需要挂灯笼的数量为(

)A.12盏 B.24盏 C.36盏 D.48盏3.根据变量Y和x的成对样本数据，由一元线性回归模型Y=bx+a+e,E(e)=0,D(e)=σ2得到经验回归模型y​=bA. B.

C. D.4.函数f(x)=lnx−12x2A.(−∞,−1)与(1,+∞) B.(0,1)∪(1,+∞)

C.(0,1) D.(1,+∞)5.某市计划开展“学两会，争当新时代先锋”知识竞赛活动.某单位初步推选出3名党员和5名民主党派人士，并从中随机选取4人组成代表队参赛.在代表队中既有党员又有民主党派人士的条件下，党员甲被选中的概率为(

)A.12 B.1115 C.7136.将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中，下列说法错误的是(

)A.恰有一个空盒，有324种放法

B.把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有12种放法

C.有256种放法

D.每盒至多两球，有204种放法7.若半径为23的球与正六棱柱的各个面均相切，则该正六棱柱外接球的表面积为(

)A.48π B.56π C.96π D.112π8.若点P是曲线y=ex+x+a上任意一点，且点P到直线y=2x的距离的最小值5，则aA.0 B.4 C.−6 D.4或−6二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.甲公司从某年起连续7年的利润情况如下表所示．第x年1234567利润y(亿元)2.93.33.64.4m5.25.9根据表中的数据可得回归直线方程为y=0.5x+2.3，则以下正确的是A.m=4.8 B.相关系数r>0

C.第8年的利润预计大约为8.3亿元 D.第6个样本点的实际值比预测值小0.110.下列说法正确的有(

)A.若随机变量ξ～N(2,σ2)，且P(ξ<4)=0.8，则P(0<ξ<4)=0.6

B.若随机变量X～B(6,13)，Y=2X+3，则E(Y)=7，D(Y)=83

C.已知事件A，B，若A⊆B，且P(A)=0.4，P(B)=0.7，则P(B|A−11.如图所示，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点P为侧面ADD1A1内的一个动点(含边界)，点E，F，A.直线A1G//平面AEF

B.平面AEF截正方体所得的截面面积为112

C.PB1⋅PF的最小值为114

D.若PF⊥BD1，则点P12.在(x2+2x13.南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为1，3，7，13，则该数列的第10项为______．14.∀x1，x2∈[1,e]，且x1≠x四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=12x−sinx+1．

(1)求函数y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程；

(2)当x∈[0,π]16.(本小题15分)

已知数列{an}中，a1=4，an=an−1+2n−1+3(n≥2,n∈N∗)

(1)17.(本小题15分)

深圳一高中为了解学生周末使用手机的情况，统计了全校所有学生在一年内周末使用手机的时长，现随机抽取了60周末使用手机时长(ℎ)0123456≥7合计男生人数1245654330女生人数4556432130合计579111086460(1)若将周末使用为3小时及3小时以上的，称为“经常使用”，其余的称为“不经常使用”．

请完成以下2×2列联表，并依据小概率值α=0.1的独立性检验，能否认为性别因素与使用的经常性有关系；性别使用手机合计不经常经常男生女生合计(2)对于周末使用手机6小时及以上的同学，学校想要为进一步了解他们的手机使用情况：

(ⅰ)在样本的10名周末使用手机6小时及以上的同学中，随机抽取3人进行访谈，求恰好抽中1名男生的概率；

(ⅱ)在和小明的访谈中得知，他有5款喜爱的手机游戏，并且在周五周六周日三天中，每天随机选择一款玩一个小时，每天的选择互相独立.记至少选中过一次游戏的数目为Y，求Y的分布列和数学期望．

附：χ2=n(ad−bcα0.10.050.01x2.7063.8416.63518.(本小题17分)

如图，四边形ABCD是正方形，平面PABE⊥平面ABCD，PA⊥AB，EB//PA，AB=PA=4，EB=2．

(1)求证：BD//平面PEC；

(2)求二面角D−PC−E的大小．

(3)点Q在直线BD上，直线PQ与直线CE的夹角为α，二面角D−PC−E为β，是否存在点Q，使得α+β=π.如果存在，请求出|BQ|；如果不存在，请说明理由．19.(本小题17分)

已知函数f(x)=ax−e−x，g(x)=x2+xlnx．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)证明：g(x)>−516；

(3)答案解析1.【答案】A

【解析】解：若m⊥α，n//α，根据线面垂直的性质可知m⊥n，所以选项A正确；

若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n可能平行、相交或异面，所以选项B错误；

若m//n，n⊂α，则m//α或m⊂α，所以选项C错误；

若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，当m//n时，α与β可能相交，

根据面面平行的判定定理，需m与n相交时才有α//β，所以选项D错误．

故选：A．

可根据空间中直线与平面、平面与平面的位置关系的判定定理逐一分析选项．

2.【答案】B

【解析】解：五层楼预计共挂186盏灯笼，且相邻两层中的下一层灯笼数是上一层灯笼数的2倍，

由题意知，各层楼的灯笼数从上至下依次成等比数列，记为数列{an}，

第5层楼所挂灯笼数为a1=2，公比q=2．

由S5=a1(1−q5)1−q=186，解得a3.【答案】D

【解析】解：对于A，残差与观测时间有线性关系，故A错误；

对于B，残差的方差不是一个常数，随着观测时间变大而变小，故B错误；

对于C，残差与观测时间是非线性关系，故C错误；

对于D，残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，故D正确．

故选：D．

根据一元线性回归模型中对随机误差的假定进行判断．

本题考查线性回归方程的运用，属于中档题．4.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了导数和函数的单调性的关系，关键是求导，属于基础题．

先求出函数的定义域，再求导，根据导数大于0解得x的范围，继而得到函数的单调递增区间．

【解答】

解：∵f(x)=lnx−12x2，

∴函数f(x)的定义域为(0,+∞)，

∴f′(x)=1x−x=1−x2x，

当f5.【答案】C

【解析】解：由题意，既有党员又有民主党派人士有C31C53+C32C52+C33C6.【答案】A

【解析】解：选项A：恰有一个空盒，有C41C42C31A22=4×6×3×2=144种放法，

故A错误；

选项B：先从四个盒子中选出三个盒子，

再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个．

已知四个小球相同即没有顺序，属于组合问题，

故共有C43C31=12种放法，

故B正确；

选项C：每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有44=256种放法，

故C正确；

对于D：由C分析，不考虑盒中球个数，共有256种放法，

若一个盒中放3个球，另外1盒放1球，

则有C42C21C43=6×2×4=48种放法，

若1个盒中放4球，有4种放法，

故每盒至少3个球的情况有48+4=52种，

所以每盒至多两球，有256−52=204种放法，

故D正确．

故选：A．

对选项进行逐一分析，选项A7.【答案】D

【解析】解：因为半径为23的球与正六棱柱的各个面均相切，

所以正六棱柱的高为43，且底面正六边形的内切圆半径为23，如图所示：

所以底面正六边形的外接圆半径r=23sin60°=4，

所以该正六棱柱外接球半径为R=r2+(ℎ8.【答案】B

【解析】解：因为y=ex+x+a，所以y′=ex+1，

令y′=ex+1=2，解得x=0，

当x=0时，则y=a+1，故P(0,a+1)到直线y=2x的距离最小，

由点到直线的距离公式得最小值为d=|a+1|22+1=5，解得a=49.【答案】ABD

【解析】解：由题意可得，x−=17×(1+2+3+4+5+6+7)=4，

y−=0.5x−+2.3=0.5×4+2.3=4.3，

故m=7×4.3−2.9−3.3−3.6−4.4−5.2−5.9=4.8，故A正确，

y=0.5x+2.3可知，随着x的增加，y逐渐增加，故变量x，y正相关，故r>0，故B正确，

∵y=0.5x+2.3，

∴当x=8时，y=0.5×8+2.3=6.3≠8.3，故C错误，

10.【答案】ACD

【解析】解：选项A：因为P(ξ<4)=0.8，所以P(ξ≥4)=1−0.8=0.2，

因为对称轴为x=2，所以P(ξ≤0)=P(ξ≥4)=0.2，

所以P(0<ξ<4)=1−P(ξ≥4)−P(ξ≤0)=1−0.2−0.2=0.6，故A正确；

选项B：由X～B(6,13)可得，E(X)=np=6×13=2，D(X)=np(1−p)=6×13×23=43，

因为Y=2X+3，所以E(Y)=2E(X)+3=7，D(Y)=22D(X)=163≠83，故B错误；

选项C：因为A⊆B，所以P(B∩A)=P(A)=0.4，所以P(BA−)=P(B)−P(AB)=0.7−0.4=0.3，

所以P(B|A−)=P(BA−)P(A−)=11.【答案】AC

【解析】解：对于A，连接A1D1，D1F，GF，

因为点E，F分别是线段BC、CC1的中点，

所以EF//BC1//AD1，所以D1F⊂平面AEF，

点F，G分别是线段CC1、BB1的中点，

故GF//A1D1，GF=A1D1，

故四边形A1GFD1为平行四边形，

所以A1G//D1F，且D1F⊂平面AEF，A1G⊄平面AEF，

故直线A1G/​/平面AEF，故A正确；

对于B，由A选项可知，平面AEF截正方体所得的截面为梯形A1D1FE，

且由正方体可知，AD1=2AD=22，EF=12AD1=2，

AE=AB2+BE2=22+12=5，

故梯形A1D1FE的高ℎ=AE2−[12(AD1−EF)]2

=5−(22−22)2=322，

故梯形A1D1FE的面积S=12×(2+22)×322=92，故B错误；

对于C，以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x12.【答案】−319

【解析】解：已知(2x−1)6的展开式通项Tr+1=C6r(2x)r(−1)6−r=(−1)13.【答案】91

【解析】解：设该二阶等差数列为{an}，由前4项为1，3，7，13，即a1=1，a2=3，a3=7，a4=13，

由二阶等差数列的定义可知，a2−a1=2，a3−a2=4，a4−a3=6，…，

所以数列{an+1−an}是以a2−a1=2为首项，公差d=2的等差数列，

14.【答案】(−∞,e]

【解析】解：不妨设1≤x1<x2≤e，则x2−x1>0，由ex2−ex1x2−x1>m可得ex2−ex1>m(x2−x1)，

所以ex2−mx2>ex1−mx1，令f(x)=e15.【答案】y=−12x+1．

极小值【解析】(1)由于函数f(x)=12x−sinx+1，因此f(0)=12×0−sin0+1=0−0+1=1，切点为(0,1)，

由于导函数f′(x)=12−cosx，因此k=f′(0)=12−cos0=12−1=−12，

根据直线的点斜式方程，得切线为y−1=−12x，即y=−12x[0,π(f′(x)−0+f(x)单调递减极小值单调递增因此当x∈[0,π]时，函数f(x)无极大值，有极小值f(π3)=12×π3−sinπ3+1=π6−3216.【答案】(1)证明：∵an=an−1+2n−1+3(n≥2,n∈N∗)，∴(an−2n)−(an−1−2n−1)=3，

∴数列{an−2n}是等差数列，公差为3，首项为【解析】(1)由an=an−1+2n−1+3(n≥2,n∈17.【答案】表格见解析，性别因素与学生使用的经常性有关系；

(ⅰ)740；(ⅱ)分布列见解析，E(Y)=【解析】(1)根据统计表格数据可得列联表如下：性别使用手机合计不经常经常男生72330女生141630合计213960零假设为H0：性别与使用手机情况独立，即性别因素与学生使用手机的经常性无关；

根据列联表的数据计算可得χ2=60×(7×16−14×23)221×39×30×30=14039≈3.590>2.706=x0.1，

根据小概率值α=0.1的独立性检验，推断不成立，

即性别因素与学生使用的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1．

(2)(ⅰ)设抽取的三人中男生的人数为X，易知10名周末使用手机6小时及以上的同学中有7名男生，3名女生，

所以X的所有可能取值为0、1、2、3，

且X服从超几何分布：P(X=1)=C71C32C103=740，

则恰好抽中1名男生的概率为Y123P11212所以E(Y)=1×125+2×1214+3×1225=125+127+3625=6125．

(1)完善2×2列联表，提出零假设H0：性别与使用手机情况独立，计算出χ2的观测值，结合临界值表可得出结论；

(2)(i)利用超几何分布的概率公式求解即可；

(ii)由题意得，18.【答案】证明见解析；

5π6；

存在|BQ|=46【解析】(1)证明：如图，以A为原点，AD、AB、AP为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，

依题意，得A(0,0,0)，B(0,4,0)，C(4,4,0)，D(4,0,0)，P(0,0,4)，E(0,4,2)，

取PC的中点M，连接EM，则M(2,2,2)，EM=(2,−2,0)，BD=(4,−4,0)，

所以BD=2EM，则BD//EM，又EM⊂平面PEC，BD⊄平面PEC，

所以BD/​/平面PEC．

(2)取PD中点F，则F(2,0,2)，又AD=AB=PA，则AF⊥PD，

由AB⊥PA，AB⊥AD，且PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD，

则AB⊥平面PAD，

由CD/​/AB，则CD⊥平面PAD，AF⊂平面PAD，故CD⊥AF，

由PD∩CD=D，PD、CD⊂平面PCD，

所以AF⊥平面PCD，

故AF=(2,0,2)为平面PCD的一个法向量．

设平面PCE的法向量n=(x,y,z)，且PC=(4,4,−4)，PE=(0,4,−2)，

则n⊥PCn⊥PE，所以n⋅PC=0n⋅PE=0，即4x+4y−4z=04y−2z=0，

令y=−1，得n=(−1,−1,−2)．

所以cos〈AF,n〉=−2−0−422×6=−32，

由图，二面角D−PC−E为钝二面角，

所以二面角D−PC−E的大小为5π6．

(3)设

BQ=λB