2024-2025学年江苏省南通市高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省南通市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=21−i，则|z|等于(

)A.1 B.2 C.2 D.2.南通轨道交通1号线从南通西站到孩儿巷共10个车站，某时刻各站上车的人数统计如下：10，20，30，40，40，50，50，60，60，70，则这组数据的第75百分位数为(

)A.25 B.30 C.55 D.603.已知向量a，b满足|a|=|b|=1，a⋅b=−1A.12a B.−12a 4.在△ABC中，若cosABC=cosBAC，则△ABCA.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形5.已知α，β，γ是三个不同的平面，l是一条直线，则下列说法正确的是(

)A.若α⊥γ，β⊥γ，则α//β B.若l//α，l//β，则α//β

C.若l⊥α，l⊥β，则α//β D.若l//α，α//β，则l//β6.已知sin(α−π6)=1A.79 B.−79 C.27.已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，它的侧面展开图是圆心角为π的扇环，则该圆台的体积为(

)A.733π B.838.如图，用X，Y，Z三种不同元件连接成系统N，每个元件是否正常工作不受其它元件的影响.当元件X，Y都正常工作或Z正常工作时，系统N正常工作.已知元件X，Y，Z正常工作的概率分别为0.7，0.8，0.9，则系统N正常工作的概率为(

)A.0.504 B.0.846 C.0.902 D.0.956二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列等式中，正确的是(

)A.sin21°cos39°+cos21°sin39°=32C.(tan10°+1)(tan35°+1)=2 D.1−tan75°10.依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一次向上的点数是1”为事件A，“第二次向上的点数是偶数”为事件B，“两次向上的点数之和是8”为事件C，则(

)A.A与B相互独立 B.A与C互斥 C.P(A+B)=712 11.在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=2，AA1=4，M为BC的中点，点A.AM⊥BN

B.A1B//平面AMC1

C.直线MN与平面ACC1A1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知数据2，4，a，6，8的平均数为5，则该组数据的方差为______．13.在△ABC中，AB=3，AC=23，CD=2DB，且AD14.在△ABC中，cos2A+cos2B−cos2C=1，∠ACB的角平分线交AB于D，CD=22，则△ABC面积的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量a，b满足|a|=2，b=(12,32)，a与b的夹角为π3．

(1)求16.(本小题15分)

为调查学生体能状况，现从某校高一年级参加体能测试的学生中随机抽取100名学生的体能测试成绩，这组数据均在区间[40,100]，其频率分布直方图如图所示．

(1)求m的值；

(2)用组中值估计该校高一学生的平均体能测试成绩；

(3)现用分层抽样的方法从区间[40,50)，[80,90)，[90,100]抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求这2人体能测试成绩在[80,90)的概率．17.(本小题15分)

已知α，β∈(0,π2)，sin(α+β)=5sin(α−β)．

(1)求tanαtanβ；

(2)18.(本小题17分)

一副三角板按如图所示的方式拼接，将△BCD折起，使得AB⊥CD．

(1)证明：平面ABC⊥平面BCD；

(2)求二面角A−BD−C的余弦值；

(3)设BD，CD的中点分别为M，N，平面AMN与平面ABC的交线为l，求直线l与BD所成角的余弦值．19.(本小题17分)

在平面四边形ABCD中，AB=2BC，∠BAC=π6，AD=1，CD=2．

(1)若A，B，C，D四点共圆，求AC；

(2)若∠ADC为锐角，且四边形ABCD的面积为3，求CB⋅CD；

(3)答案解析1.【答案】B

【解析】解：∵z=21−i=2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i，

∴|z|=2．2.【答案】D

【解析】解：数据10，20，30，40，40，50，50，60，60，70共10个数，

因为10×75%=7.5，

所以这组数据的第75百分位数为第8个数，等于60．

故选：D．

利用总体百分位数的定义求解即可．

本题考查百分位数的求法，是基础题．3.【答案】D

【解析】解：向量a，b满足|a|=|b|=1，a⋅b=−12，

则a在b上的投影向量为a4.【答案】A

【解析】解：在△ABC中，因为cosABC=cosBAC，

由正弦定理可得cosAsinA=cosBsinB，

则sinAcosB=cosAsinB，可得sinAcosB−cosAsinB=0，

得sin(A−B)=0，

因为A∈(0,π)，B∈(0,π)，

可得A−B=0，解得A=B，

即△ABC的形状是等腰三角形，故A正确．

故选：A5.【答案】C

【解析】解：若α⊥γ，β⊥γ，则α，β可能会相交也可能平行，所以A选项错误；

若l/​/α，l/​/β，则α，β可能会相交或平行，所以B选项错误；

若l⊥α，l⊥β，则α/​/β，所以C选项正确；

若l/​/α，α/​/β，则l/​/β或l⊂β，所以D选项错误．

故选：C．

根据空间中各要素的位置关系，逐一判断即可．

本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．6.【答案】A

【解析】解：已知sin(α−π6)=13，则sin(2α+π6)=cos[π7.【答案】A

【解析】解：因为圆台的上、下底面半径分别为1和2，

圆台的侧面展开图是圆心角为π的扇环，

所以圆台的母线长度为2π×(2−1)π=2，

所以圆台的高为ℎ=22−(2−1)2=3，

8.【答案】D

【解析】解：根据题意，元件X，Y，Z正常工作的概率分别为0.7，0.8，0.9，

则P(X)=0.7，P(Y)=0.8，P(Z)=0.9，

又由系统N正常工作的对立事件为系统X，Y不都正常工作且Z也不正常工作，

而每个元件是否正常工作不受其它元件的影响，则X，Y，Z相互独立，

可得X，Y不都正常工作的概率为1−0.7×0.8=0.44，

故系统N不正常工作的概率为0.44×(1−0.9)=0.044，

故系统N正常工作的概率为1−0.044=0.956．

故选：D．

利用对立事件的概率公式将目标事件合理转化，再结合独立事件的概率公式求解即可．

本题考查相互独立事件的概率计算，涉及对立事件的性质，属于基础题．9.【答案】AC

【解析】解：根据sin21°cos39°+cos21°sin39°=sin(21°+39°)=sin60°=32，可知A正确；

根据二倍角的余弦公式，可得cos215°−sin215°=cos30°=32，可知B项错误；

由两角和的正切公式，可得tan45°=tan(10°+35°)=tan10°+tan35°1−tan10∘tan35∘=1，

所以tan10°+tan35°=1−tan10°tan35°，

可得(tan10°+1)(tan35°+1)=tan10°tan35°+tan10°+tan35°+1

=tan10°tan35°+(1−tan10°tan35°)+1=2，所以C项正确；

10.【答案】ABC

【解析】解：根据题意可知，共有62=36个基本事件，

第一次向上的点数是1有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，共6种情况，

由古典概型概率公式得P(A)=636=16，

第二次向上的点数是偶数有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(2,2)，(2,4)，(2,6)

(3,2)，(3,4)，(3,6)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(5,2)，

(5,4)，(5,6)，(6,2)，(6,4)，(6,6)，共18种情况，

由古典概型概率公式得P(B)=1836=12，

两次向上的点数之和是8有(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，共5种情况，

由古典概型概率公式得P(C)=536，

而事件AB表示第一次向上的点数是1且第二次向上的点数是偶数，

符合条件的有(1,2)，(1,4)，(1,6)，共3种，则P(AB)=336=112，

下面，我们开始分析各个选项，

对于A，由已知得P(AB)=112，P(A)⋅P(B)=16×12=112，

满足P(AB)=P(A)⋅P(B)，则A与B相互独立，故A正确；

对于B，事件A+C表示第一次向上的点数是1或两次向上的点数之和是8，

符合条件的有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)

(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，共11个，故P(A+C)=1136，

满足P(A+C)=P(A)+P(C)，可得A与C互斥，故B正确；

对于C，由概率加法公式得P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)

=16+12−112=711.【答案】ABD

【解析】解：对于A选项：因为CC1⊥平面ABC，AM⊂平面ABC，

所以AM⊥CC1，又正三角形ABC中，M为BC的中点，

所以AM⊥BC，又AM⊥CC1，BC∩CC1=C，

所以AM⊥平面BCC1B1，又BN⊂平面BCC1B1，

所以AM⊥BN，所以A选项正确；

对于B选项：如图，连接AC1，A1C两线相交于点O，再连接OM，

易知四边形ACC1A1为长方形，

所以点O为直线A1C的中点，又M为BC的中点，

所以A1B//OM，又A1B⊄平面AMC1，OM⊂平面AMC1，

所以A1B/​/平面AMC1，所以B选项正确；

对于C选项：如图，找直线CC1的中点H，直线AC的中点G，连接BH，BG，HG，

因为C1N=3NC，

所以点N是CC1的四等分点，

所以点N为CH的中点，又M为BC的中点，所以MN/​/BH，

所以直线MN与平面ACC1A1所成角即为直线BH与平面ACC1A1所成角，

因为CC1⊥平面ABC，BG⊂平面ABC，所以BG⊥CC1，

又三角形ABC为正三角形，G为AC的中点，所以BG⊥AC，又AC∩CC1=C，

所以BG⊥平面ACC1A1，

所以∠BHG即为所求线面角，设线面角为θ，

因为HG=12+212.【答案】4

【解析】解：∵数据2，4，a，6，8的平均数为5，

∴a=5×5−2−4−6−8=5，

∴该组数据的方差为：

S2=15[(2−5)2+(4−5)13.【答案】2π3【解析】解：由CD=2DB，可得BD=13BC，

则AD=AB+BD=AB+13(AC−AB)=23AB+13AC，

又AB=3，AC=2314.【答案】8

【解析】解：设在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

根据题意可知，cos2A+cos2B−cos2C=1，∴1−2sin2A+1−2sin2B−1+2sin2C=1，

∴sin2A+sin2B=sin2C，

根据正弦定理可得c2=a2+b2，故∠ACB=π2，

根据题意可知，CD为∠ACB的角平分线，∴∠ACD=∠BCD=π4，

根据S△ACD+S△BCD=S△ACB15.【答案】3；

k=1【解析】(1)因为b=(12,32)，所以|b|=(12)2+(32)2=1，

所以a⋅b=2×1×cosπ3=1，

所以(16.【答案】m=0.012；

67.8；

310．【解析】(1)由题意可得10(0.004×2+0.20×2+m+0.40)=1，解得m=0.012；

(2)平均数为45×0.004×10+55×0.020×10+65×0.040×10+75×0.020×10+85×0.012×10+95×0.004×10=67.8，

故该校高一学生的平均体能测试成绩为67.8；

(3)[40,50)，[80,90)，[90,100]的频率分别为0.04，0.12，0.04，故之比为1：3：1，

所以从[40,50)，[80,90)，[90,100]抽取5个人，

所以需要从[40,50)，[80,90)，[90,100]分别抽取的人数为1，3，1，

设[40,50)的1个人为A，[80,90)的3个人为a，b，c，[90,100]的1一个人为B，

因此样本空间为Ω={(Aa),(Ab),(Ac),(AB),(ab),(ac),(aB),(bc),(bB),(cB)}，共有10个，

则2人体能测试成绩在[80,90)的样本点有{(ab),(ac),(bc)}共有3个，

故2人体能测试成绩在[80,90)的概率为310．

(1)根据频率之和为1即可求解，

(2)根据平均数的计算公式即可求解，

(3)列举样本点，即可根据古典概型的概率公式即可求解．

17.【答案】32；

9【解析】(1)由sin(α+β)=5sin(α−β)，

得sinαcosβ+cosαsinβ=5sinαcosβ−5cosαsinβ，

化简得3cosαsinβ=2sinαcosβ，

因为α、β都是锐角，所以cosα≠0，sinα≠0，

可得3sinβcosβ=2sinαcosα，即3tanβ=2tanα，故tanαtanβ=32．

(2)若tanβ=13，则tanα=32tanβ=12，

由tanβ=13，且β为锐角，

可得sinβ=sin2β=18.【答案】证明见解答；

55；

【解析】(1)证明：因为CD⊥BC，CD⊥AB，AB∩BC=B，AB，BC⊂平面ABC，

所以CD⊥平面ABC．

因为CD⊂平面BCD，

所以平面ABC⊥平面BCD．

(2)在△BCD中，取BC的中点O，过O作OH⊥BD，垂足为H，连结AH，

因为AB=AC，O为BC的中点，

所以AO⊥BC．

因为平面ABC⊥平面BCD，

平面ABC∩平面BCD=BC，

AO⊂平面ABC，

所以AO⊥平面BCD，

因为BD⊂平面BCD，

所以AO⊥BD，

因为OH⊥BD，OH∩AO=O，OH，AO⊂平面AOH，

所以BD⊥平面AOH，

因为AH⊂平面AOH，

所以BD⊥AH，

所以∠AHO为二面角A−BD−C的平面角，

不妨设BC=2，则AO=1,OH=12

AH=AO2+OH2=1+(12)2=52．

在Rt△AOH中，cos∠AHO=OHAH=1252=55，

所以二面角A−BD−C的余弦值为55；

(3)在△BCD中，M，N分别为BD，CD的中点，

所以MN为△BCD的中位线，

所以MN/​/BC．

因为MN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，

所以MN/​/平面ABC