人教A版10.2事件的相互独立性题型解读（原版版）

10.2事件的相互独立性题型目录题型目录TOC\o"11"\h\u【题型1】相互独立事件的概念 2【题型2】相互独立事件的性质 3【题型3】相互独立事件概率的计算 5【题型4】相互独立事件与互斥、对立事件概率的计算 7【题型5】独立事件概率的综合应用 8【跟踪训练】 11知识梳理知识梳理知识点一相互独立事件的概念相互独立事件的概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.知识点二相互独立事件的性质1.如果事件A与事件B相互独立，那么A与eq\o(B,\s\up6(－))，eq\o(A,\s\up6(－))与B，eq\o(A,\s\up6(－))与eq\o(B,\s\up6(－))也都相互独立.2.一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的乘积.方法归纳方法归纳独立事件可同时发生（如抛两枚硬币），互斥事件不能同时发生（如“正面”和“反面”）。​唯一交集：只有当某个事件概率为0时，独立与互斥可共存（极特殊情况，做题时默认二者无关）。题型1题型1题型题型【题型1】相互独立事件的概念判断两个事件是否相互独立的方法(1)定量法：利用P(AB)＝P(A)P(B)是否成立可以准确地判断两个事件是否相互独立.(2)定性法：直观地判断一个事件发生与否对另一个事件的发生的概率是否有影响，若没有影响就是相互独立事件．典型例题典型例题例1：（2024春•浦东新区月考）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件是“第一枚为正面”，事件是“第二枚为正面”，事件是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的有①②③（填序号）．①与；②与；③与．【答案】①②③．【解答】解：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件是“第一枚为正面”，事件是“第二枚为正面”，事件是“两枚结果相同”，故答案为：①②③．变式训练变式训练例1：【变式练1】（2024春•铜仁市期末）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则A．甲与丙相互独立 B．丙与丁相互独立 C．甲与丁相互独立 D．乙与丙相互独立【变式练2】（2023•宁都县模拟）分别抛掷3枚质地均匀的硬币，设事件“至少有2枚正面朝上”，则与事件相互独立的是A．3枚硬币都正面朝上 B．有正面朝上的，也有反面朝上的 C．恰好有1枚反面朝上 D．至多有2枚正面朝上【变式练3】（2024春•桥西区月考）分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设是事件“第一枚为正面”，是事件“第二枚为正面”，是事件“2枚结果相同”．则事件与，事件与，事件与中相互独立的有A．0个 B．1个 C．2个 D．3个题型2题型2题型题型【题型2】相互独立事件的性质互斥事件与相互独立事件都描述了两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．典型例题典型例题例1：【答案】【分析】分别求解各个事件的概率，利用独立事件的乘法公式可判断选项．【解答】解：用表示第一次取到的小球的标号，用表示第二次取到的小球的标号，由题意事件包含两种情况，两次取出的标号都是奇数和都是偶数，故选：．变式训练变式训练例1：【变式练1】（2025春•邵东市期中）数学课上周媚老师先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件“两次掷出的点数之和是6”，事件“第一次掷出的点数是奇数”，事件“两次掷出的点数相同”，则【变式练2】（2025春•白银区月考）连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数，设事件为“第一次的点数是2”，事件为“第二次的点数小于4”，事件为“两次的点数之和为偶数”，则【变式练3】（2024秋•宝山区期末）有5张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为奇数”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则A．与为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件题型3题型3题型题型【题型3】相互独立事件概率的计算1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤：(1)首先确定各事件之间是相互独立的；(2)确定这些事件可以同时发生；(3)求出每个事件的概率，再求积.2.使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生典型例题典型例题（2024春•河东区期末）据平安保险公司统计，某地车主购买车损险的概率为0.5，购买第三者人身安全险的概率为0.6．购买两种保险相互独立，各车主间相互独立．①求一位车主同时购买车损险与第三者人身安全险保险的概率．②求一位车主购买第三者人身安全险但不购买车损险的概率．【答案】（1）0.3．（2）0.3．【解答】解：记表示事件“购买车损险”，表示事件“购买第三者人身安全险”，所以一位车主同时购买车损险与第三者人身安全险保险的概率为：所以一位车主购买第三者人身安全险但不购买车损险的概率：变式训练变式训练例1：【变式练1】（2023春•泸水市期末）甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：（1）两个人都译出密码的概率；（2）两个人都译不出密码的概率；（3）恰有1个人译出密码的概率．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式能求出两个人都译出密码的概率；（2）利用以相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式能求出两个人都译不出密码的概率；（3）利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式能求出恰有1个人译出密码的概率．【变式练2】（2025春•仁寿县期中）甲、乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，飞行目标被雷达发现的概率为A．0.02 B．0.28 C．0.72 D．0.98A． B． C． D．题型4题型4题型题型【题型4】相互独立事件与互斥、对立事件概率的计算求较复杂事件的概率的一般步骤(1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示.(2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式.(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算.(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．典型例题典型例题例1：（2024春•齐齐哈尔期末）甲、乙两名射击运动员分别对一个目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：（1）2人中恰有1人射中目标的概率；（2）2人中至少有1人射中目标的概率．【答案】（1）0.26．（2）0.98．【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式直接求解．（2）利用间接法，结合独立事件的概率乘法公式求解．变式训练变式训练例1：【变式练1】（2024•兴庆区一模）甲、乙、丙三名学生一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三名学生的平时成绩分析，甲、乙、丙三名学生能通过的笔试概率分别为0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.6，0.6，0.75．（1）求甲、乙、丙三名学生中恰有一人通过笔试的概率；（2）求经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率．A． B． C． D．【变式练3】（2025春•江西月考）甲、乙、丙3名射击手组队完成一项任务，需要对同一目标各射击一次，3人命中与否互不影响，若甲命中乙未命中的概率为，乙命中丙未命中的概率为，甲命中丙也命中的概率为，则甲命中乙也命中的概率为A． B． C． D．题型5题型5题型题型【题型5】独立事件概率的综合应用1.用恰当的字母表示题中的事件.2.根据题设条件，分析事件间的关系.3.利用公式求出事件的概率.4.根据计算结果结合实际作出决策.．典型例题典型例题例1：（2024秋•平谷区期末）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求：（Ⅰ）该应聘者用方案一考试通过的概率；（Ⅱ）该应聘者用方案二考试通过的概率．【答案】（1）0.75；（2）0.43．【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式及互斥事件的加法公式直接计算即可；（2）分情况结合乘法公式即互斥事件加法公式即可得解．【解答】解：（1）记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为，，，应聘者用方案一考试通过的概率：（2）应聘者用方案二选择任意两科的概率为，考试通过的概率：变式训练变式训练例1：【变式练1】（2025•广东学业考试）梅雨季节，上市，现有8筐，其中3筐是种，5筐是种，两种筐子完全相同．（1）从中抽取1筐，直接写出所抽为种的概率；（2）从中无放回地抽取2筐，求所抽筐都是种的概率；（3）从中无放回地抽取2筐，求所抽筐中至少有1筐是种的概率．【变式练2】（2025春•宜春月考）甲，乙两人进行羽毛球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响，若甲，乙两人总共进行4局比赛．（1）求甲恰好有2局比赛获胜的概率；（2）求甲获胜的局数比乙获胜的局数多的概率．【变式练3】（2025春•顺义区月考）“猜灯谜”是我国传统节日元宵节的特色活动．某公司组织猜灯谜比赛，根据谜底不同分为“字谜”、“事谜”、“物谜”三种类型，每个人每类灯谜只能猜一个．小张猜对“字谜”、“事谜”、“物谜”的概率分别为、、，假设每类灯谜猜对与否互不影响．（1）求小张恰好猜对一类灯谜的概率；（只列式不化简）（2）求小张至少猜对一个灯谜的概率．（只列式不化简）跟踪训练跟踪训练10.2事件的相互独立性一．选择题（共10小题）1．（2024春•南阳期中）某地一农业科技实验站，对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为A．0.02 B．0.08 C．0.72 D．0.182．（2022春•龙海市期末）有一道数学难题，学生解出的概率为，学生解出的概率为，学生解出的概率为．若、，三人独立去解答此题，则恰有1人解出的概率为A． B． C． D．A． B． C． D．4．（2025•天水学业考试）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则两人都中靶的概率为A．0.26 B．0.98 C．0.72 D．0.95．（2024•保定三模）如图，一个电路中有，，三个电器元件，每个元件正常工作的概率均为，这个电路是通路的概率是A． B． C． D．6．（2023春•资阳期末）某地气象部门预报，在国庆期间甲地的降雨概率为0.2，乙地的降雨概率为0.3．假定这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这段时间内至少有一个地方降雨的概率为A．0.4 B．0.44 C．0.56 D．0.67．（2023•茂名模拟）甲、乙两人进行象棋比赛，已知甲胜乙的概率为0.5，乙胜甲的概率为0.3，甲乙两人平局的概率为0.2．若甲乙两人比赛两局，且两局比赛的结果互不影响，则乙至少赢甲一局的概率为A．0.36 B．0.49 C．0.51 D．0.758．（2023春•西宁期末）如图所示，，，表示3个开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.8，则该系统的可靠性个开关只要一个开关正常工作即可靠）为A．0.504 B．0.964 C．0.994 D．0.996A． B． C． D．10．（2022春•唐山期末）甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能独立破译的概率分别是0.3，0.4，则密码被成功破译的概率为A．0.18 B．0.7 C．0.12 D．0.58二．多选题（共4小题）（多选）11．（2023•浙江学业考试）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是A．2个球都是红球的概率为 B．2个球不都是红球的概率为 C．至少有1个红球的概率为 D．2个球中恰有1个红球的概率为（多选）12．（2021秋•开福区月考）如图所示的电路中，5只箱子表示保险匣，设5个盒子分别被断开为，，，，．箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列结论正确的是A．，两个盒子串联后畅通的概率为 B．，两个盒子并联后畅通的概率为 C．，，三个盒子混联后畅通的概率为 D．当开关合上时，整个电路畅通的概率为（多选）14．（2021春•鼓楼区期末）现有分在同一组的三个代表队参加党史知识竞赛，若对于某个问题3个队回答正确的概率分别为，，，则关于该问题的回答情况，以下说法中正确的是A．3个队都正确的概率为 B．3个队都不正确的概率为 C．出现恰有1个队正确的概率比出现恰有2个队正确的概率大 D．出现恰有2个队正确的概率比出现恰有1个队正确的概率大三．填空题（共4小题）15．（2024春•酒泉期末）某科研攻关项目中遇到一个问题，请了甲、乙两位专家单独解决此问题，若甲、乙能解决此问题的概率分别为，，则此问题被解决的概率为．16．（2024•和平区模拟）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时该队获胜，比赛结束），根据以往比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”，设甲队主场取胜的概率为0.8，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以获胜的概率是．17．（2024春•开封期中）在某市举办的城市运动会的跳高比赛中，甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7、0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，若甲、乙各试跳两次，则两人中恰有一人第二次才成功的概率为．18．（2024春•上海期中）某学生在上学的路上要经过三个路口，假设在各路口是否遇到红绿灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯的概率为．四．解答题（共6小题）19．（2024秋•涪城区期末）计算机能力考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书．甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响．（1）假设甲、乙、丙三人同时进行计算机理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？（2）这三人进行计算机理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率．20．（2024春•仓山区期末）某学校组织校园安全知识竞赛．在初赛中有两轮答题，第一轮从类