高中数学突破思维定势与知识灵活运用

高中数学突破思维定势与知识灵活运用不少同学在学习了一个新的知识点，或者对某些知识点做题训练多了，遇到相关的数学符号题目，就会不自主的套用这种方法。下笔特快，效果特差（典型的思维定势）。拿到一个题时，首先观察分析。这个过程一定不能省略。盲目的生搬硬套，会带来灾难性的后果。我们先来看下面的题：已知f(x)=(ax^2-8x+b)/(x^2+1)，f(x)的值域为[1,9]，求a+b解析：首先，[1,9]这个符号怎么理解？1≤f(x)≤9。【思路1】：如果能直接求出f(x)min,或f(x)max对应的x是不是有可能解决。求最值可以对其进行求导f’(x)=0，这里特别要注意的是：因为x^2+1>0，有的同学直接令g(x)=ax^2-8x+b，g’(x)=0对求导，根据a的符号分类讨论，得到的f(x)对应x的极值。错在哪里？g(x)的单调性能不能代表f(x)?答案显然是不能的。再者，对于f’(x)=0，计算起来是很复杂的。当然理论上可以找出取得f(x)极值时，x与系数的关系。有兴趣的、计算能力强的可以尝试一下。学了导数后，特别是做了不少难题后，会形成一种定向思维，万物皆可导。反而忘却了为了什么而出发。实际上如果这道题在大家初中的时候做时，解答起来更加得心用手。【思路2】：【正统解法】(ax^2+8x+b)/(x^2+1)>=1恒成立，(a-1)x^2+8x+b-1>=0恒成立。因此a-1>0并且Δ等于零(因为y可以取到1)，Δ=64-4(a-1)(b-1)=0--（1）式。(ii)(ax^2+8x+b)/(x^2+1)<=9恒成立，(a-9)x^2+8x+b-9<=0恒成立。因此a-9<0并且Δ等于零（因为y可以取到9），Δ=64-4(a-9)(b-9)=0-------------------（2）式。联立解得a=5，b=5【思路3】：[万能k法]设f(x)=y,则yx²+y=ax²-8x+b,化简得(a-y)x²-8x+b-y=0，判别式△=64-4(a-y)(b-y)≥0，得y²-(a+b)y+ab-16≤0由已知,这个不等式的解集应该是[1,9]，即y对应着[1,9]，即y²-(a+b)y+ab-16=0的两个根是1和9，将1和9代入可以解得a=5,b=5。为什么不等式的解集的端点对应着两个根？一定要想明白。突破思维定势的方法及相关知识点转化思维：通过将复杂问题转化为简单问题，将抽象问题转化为具体问题，从而突破思维定势。例如，在解决立体几何问题时，可以通过将其转化为平面几何问题来简化难度。逆向思维：反常规的思维方式，通过从问题的反面或侧面寻找突破口，从而突破思维定势。例如，在解决解析几何问题时，可以通过逆向思维来寻找解题的新思路。逻辑思维：基于推理的思维方式，通过对问题的深入分析，从而突破思维定势。例如，在解决排列组合问题时，可以通过逻辑思维来推理出正确的答案。类比思维：通过比较两个或多个事物的相似性来解决问题的思维方式。例如，在解决三角函数问题时，可以通过类比思维来将已知条件和未知条件进行比较，从而找到解题的新思路。创新思维：打破常规的思维方式，通过提出新的想法和解决方案来帮助大家突破思维定势。例如，在解决函数单调性问题时，可以通过创新思维来提出新的证明方法。系统思维：将问题看成一个整体的思维方式，通过对问题的整体把握来突破思维定势。例如，在解决解析几何问题时，可以通过系统思维来将问题看成一个整体，从而更好地理解问题的本质。特别是物理分析中，运用的非常多。灵活运用数学知识的建议建立知识网络：即构建自己的数学知识体系。便能见点成面（拿到一道题不再是看到一个点，而是一个知识面）将所学的数学知识形成一个系统的知识网络，将各个知识点联系起来。这有助于更好地理解数学知识的整体结构，更好地记忆和应用知识。学会举一反三：即知识点的逻辑串联起来。举一反三，即通过一个知识点的学习，能够推断出其他类似知识点的内容。培养敏锐的观察力和类比思维，通过比较不同知识点之间的相似性和差异性，加深对知识点的理解和记忆。掌握解题技巧：通过对各类题型的分析和总结，掌握其解题思路和技巧，可以更快地解决类似的问题。同时，也要学会对解题方法进行归类和总结，以便在遇到新问题时能够迅速找到合适的解题方法。多角度思考问题：尝试从不同的角度进行分析和思考，可以锻炼自己的思维能力和解题能力。例如，