第五章：一元函数的导数及其应用章末测试-人教版高二《数学》知识点同步讲与练

第五章：一元函数的导数及其应用章末测试一、单选题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2022·陕西·礼泉县第二中学高二阶段练习（文））下列求导运算正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，A项错误；因为是个常数，所以，B项错误；，C项错误；，D项正确.故选：D.2．（2020·广西·南宁三中高二期末（文））函数的单调递减区间为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，，在中，当时，解得（舍）或当即时，函数单调递减，∴单调递减区间为，故选：B.3．（2022·湖南师大附中高二阶段练习）已知实数分别满足，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由可得，，则，即，又，所以，且，.令，则，当时，恒成立，所以，在上单调递增.又，，，所以.所以，.故选：C.4．（2022·上海市金山中学高二期末）已知是定义在R上的可导函数，若，则=（）A．B．C．1D．【答案】A【解析】故选：A．5．（2022·湖北·十堰东风高级中学高二阶段练习）若函数没有零点，则整数的最大值是（）A．3B．2C．1D．0【答案】C【解析】函数定义域为，函数没有零点可转化为方程没有实根，设，则令，即①，又函数，，所以恒成立，所以在单调递增，所以方程①即，即，有唯一的实数解且函数在上，单调递减，在上，单调递增，所以有最小值,又时，，所以方程没有实根，可得则整数的最大值是1.故选：C.6．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高二期末）函数的图象在其零点处的切线方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，则，即的零点为，又，而，故函数的图象在其零点处的切线方程为，即，故选：B.7．（2022·浙江省常山县第一中学高二期中）设，，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，，不难看出在小于0，因此在单调递减，且故方法一：设，，由泰勒公式可知故，当时，，因此在单调递增，且，故即，也就是方法二：设，，则，因为当时，，在上为单调递增函数，因此，即综上故选：A8．（2022·湖南·湘府中学高二阶段练习）已知是函数的导数，则不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】令，则，因为，所以，即，设，所以，因为，所以，所以在上单调递增，因为，所以，所以等价于，则，即，解得．所以不等式的解集是．故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（2022·浙江·镇海中学高二期中）如图，已知直线与曲线相切于A、B两点，设A，B两点的横坐标分别为a，b，函数，下列说法正确的有（）A．有极大值，也有极小值B．是的极小值点C．是的极大值点D．是的极大值点【答案】ABD【解析】=，当时，，故，在上单调递减，当时，，故，在上单调递增，当时，，故，在上单调递减，当时，，故，在上单调递增，故在处取得极小值，在处取得极大值，处取得极小值.故ABD正确，C错误，故选：ABD.10．（2022·福建·莆田一中高二期中）关于函数，下列结论正确的是（）A．函数的定义域为B．函数在上单调递增C．函数的最小值为，没有最大值D．函数的极小值点为【答案】BD【解析】对于A，因为，所以，解得，故的定义域为，故A错误；对于B，，令，得，故在上单调递增，故B正确；对于C，令，则，故的最小值不为，故C错误；对于D，令，得或，所以在和上单调递减，令，得，故结合两侧的单调性可知是的极小值点，故D正确.故选：BD.11．（2022·浙江·高二期中）设定义在R上，若对任意实数t，存在实数，使得成立，则称满足“性质T”，下列函数不满足“性质T”的有（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】变形为：，即在R上至少有2个根，所以在R上不单调，即可满足“性质T”，A选项，，定义域为R，当时，，此时恒成立，所以此时在R上单调，不满足“性质T”；B选项，，定义域为R，则，当时，恒成立，所以此时在R上单调，不满足“性质T”；C选项，，定义域为R，，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，满足“性质T”；D选项，，定义域为R，，当时，，令，则，当或时，，当时，，所以在，上单调递增，在上单调递减，在处取得极小值，且当时，恒成立，又，所以在R上恒成立，故在R上单调递增，不满足“性质T”；故选：ABD12．（2022·江西·景德镇一中高二期中）关于函数，下列判断正确的是（）A．是的极大值点B．函数有且只有1个零点C．对不等式在上恒成立D．对任意两个正实数，且，若，则【答案】BC【解析】对于A，，，令，得，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，为的极小值点，A错误；对于B，，则，所以函数在上单调递减，又，所以函数有且只有1个零点，B正确；对于C，若在上恒成立，得在上恒成立，则令，则，令，，当时，，单调递减，，即，在上单调递减，故函数，则，C正确；对于D，令，，则在上单调递减，则，即，，，结合A选项可得，，函数在上单调递增，则，，即对任意两个正实数，且，若，则，D错误.故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（2022·江苏连云港·高二期末）对于函数，若，则_____．【答案】4【解析】又，14．（2022·上海市金山中学高二期末）已知是函数的极小值点，则_____．【答案】【解析】因为函数，所以，因为是函数的极小值点，所以，即，解得或，当时，，当或时，，当时，，所以，在区间上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数取得极大值，不符合题意；当时，，当或时，，当时，，所以，在区间上单调递增，在上单调递减，所以，当时，函数取得极小值，符合题意；所以.15．（2022·山西·运城市薛辽中学高二阶段练习）已知，若恒成立，则实数a的取值范围是______．【答案】．【解析】令，则有，∴为奇函数，图像关于点对称，，∴的图像关于对称，且，由，所以是上的增函数，，等价于，所以，所以，令，则，因为且定义域为，所以是上的偶函数，所以只需求在在上的最大值．当时，，，则当时，；当时，；所以在上单调递增，在上单调递减，可得：，，即．16．（2022·湖南·安仁县第一中学高二阶段练习）已知函数的定义域为，其导函数为，且，，则在区间上的极大值为____________．【答案】1【解析】由题意得，令，所以，则，且c为常数，所以，所以，解得，所以，则．令，则．当时，单调递增；当时，单调递减，所以在处取得最大值．又，所以，使．又，所以当时，，单调递减；当时，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，取得极大值．四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校高二阶段练习）已知曲线：（1）求的值；（2）求曲线在点处的切线方程.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题得，所以.（2）因为，所以，切线方程为，即.18．（2022·江苏·南京田家炳高级中学高二期中）已知函数.（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）若函数在上为增函数，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当时，，所以，所以，所以切线方程为，即（2）因为在上为增函数，所以在上恒成立，所以，即，所以实数a的取值范围为19．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高二期末）已知（1）当时，求在处的切线方程；（2）当时，若有两个零点，求k的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，，求导得：，当时，，，在处的切点为，斜率，对应的切线方程为，即.（2）当时，，令，则有两个零点等价于有两个零点，对函数求导得：，当时，在上恒成立，于是在上单调递增.从而，因此在上没有零点；即在上没有零点，不符合题意.当时，在上，在上，于是在上单调递减，在上单调递增，则的最小值为，由于在上有两个零点，所以因为，，对于函数，，所以函数在区间，函数单调递减；在区间，函数单调递增.所以，所以，于是由零点存在性定理得时，在上有两个零点，综上，可得k的取值范围是.20．（2022·湖南·衡阳市一中高二阶段练习）已知函数.其中.（1）若，求单调区间；（2）若在上恒成立，求的取值范围.【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.【解析】（1）若，，令,所以，令,则，所以的单调增区间为，单调递减为.（2）时，要使即恒成立，则，即恒成立，令，.令，即，故.①当时，，在单调递减，，不成立；②当时，由，得或（舍），（i）当时，即时，在单调递减，在单调递增，，则在上，不成立.（ii）当，即时，设，则，令，即，而，在上单调递增，，，即恒成立，综上所述：的取值范围是.21．（2022·全国·高二专题练习）已知函数.（1）求处的切线方程；（2）求证：有且仅有一个极值点；(3)若存在实数a使对任意的恒成立，求实数b的取值范围.【答案】（1）；；（2）证明见解析；（3）.【解析】（1），而，故，所以在处的切线方程为.（2），令，则，当时，，当时，，故即在上为增函数，在上为减函数，而时，恒成立，当时，，故在仅有一个变号零点，故有且仅有一个极值点.（3）令，由题设可得：函数的最大值不大于0，，根据（2）的结论可知有唯一极值点，且当时，，时，，故在上为增函数，在上为减函数，所以，此时，所以，故，由可得.又由的存在性可得，令，当时，，当时，，故在上为减函数，在上为增函数，，综上所述.22．（2022·湖南·长郡中学高二阶段练