【公开课】等差数列的前n项和公式（第2课时）课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2等差数列4.2.2等差数列的前n项和公式（第2课时）

复习回顾1.等差数列的前n项和公式:“知三求二”an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列新课讲授问题7已知数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn+r,其中p,q,r为常数，且p≠0.任取若干组p,q,r,在电子表格中计算a1,a2,a3,a4,a5的值(图已给出p=1,q=2,r=0的情况)，观察数列{an}的特点，研究它是一个怎样的数列，并证明你的结论.

图中的电子表格A列中A1，A2，A3分别表示p，q，r的值，B列、C列中分别是相应的Sn和an的值.多给p,q,r取几组值，看看有什么规律？新课讲授证明：结论：若数列{an}的前n项和是一个不含有常数项的二次函数，则该数列是等差数列.

学以致用教材P24[例2]

已知一个等差数列{an}前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗?例题再现思考

对于上节课的这道例题中的等差数列，还有其他解法求Sn吗？3.在等差数列{an}中，Sn为其前n项的和，若S4＝6，S8＝20，求S16.学以致用利用性质4还可以怎样解？典例分析[例9]

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，则Sn是否存在最大值?若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.分析1：由a1>0和d<0,可以证明{an}是递减数列，且存在正整数k，使得当n≥k时，an<0,Sn递减.这样把求Sn的最大值转化为求{an}的所有的正数项的和。注意：当数列的项中有数值为0时，n应有两解.典例分析[例9]

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，则Sn是否存在最大值?若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.解法2：(二次函数法)新课探究问题1

在例9中，当d=ￚ3.5时，Sn有最大值吗？结合例9考虑更一般的等差数列前n项和的最大值问题.d=ￚ3.5时，Sn有最大值追问1d=2时，Sn有最大值吗？有最小值吗？d=2时，Sn没有最大值，有最小值S1追问2是不是所有的等差数列前n项和的都有最大值或最小值？

如果有的话，与什么有关？

如何从函数的角度去分析？学以致用教材P243.已知等差数列－4.2，－3.7，－3.2，‧‧‧的前n项和为Sn，Sn是否存在最大(小)值?如果存在，求出取得最值时n的值.新课探究问题2总结一下等差数列前n项和最值的两种求法吗？

方法一：通项公式法①当a1>0，d<0时，数列前面有若干项为正,此时所有非负项的和为Sn的最大值.

②当a1<0，d>0时，数列前面有若干项为负,此时所有非正项的和为Sn的最小值.新课探究方法二：二次函数法当d=0时，Sn的图象是一条直线上的均匀分布的点.

当d≠0时，

是二次函数

当x=n(n∈N*)时的函数值.常数列前n项和公式Sn的图象是一条过坐标原点的抛物线上孤立的点.因此，我们可以利用二次函数研究d≠0时的等差数列前n项和最值。新课探究

①当a1>0，d<0

时，Sn的图象是一条开口向下的过坐标原点的抛物线上孤立的点.方法二：二次函数法②当a1<0，d>0

时，Sn的图象是一条开口向上的过坐标原点的抛物线上孤立的点.SnnO1SnnO1

由

利用二次函数的对称轴，求得最值及取得最值时的n的值.新课探究等差数列的前n项和Sn的最值有最小值S1有最大值S1有最大值有最小值能力提升1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.∴当n=7时，Sn取最大值49.2.若等差数列{an}的通项公式为an=-2n+11,求数列{|an|}的前n