第6章概率 4.2超几何分布 北师大版高中数学选择性必修第一册课件

第六章4.2超几何分布基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引

课程标准1.通过具体实例,了解超几何分布的概念及其均值.2.会用超几何分布解决一些简单的实际问题.基础落实·必备知识一遍过知识点

超几何分布1.定义一般地,设有N件产品,其中有M(M≤N)件次品.从中任取

(n≤N)件产品,用X表示取出的n件产品中次品的件数,那么P(X=k)=

,max{0,n-(N-M)}≤k≤min{n,M},其中n≤N,M≤N,n,M,N∈N+.公式中的k可以取的最小值为max{0,n-(N-M)},而不一定是0.

若一个随机变量X的分布列由上式确定,则称随机变量X服从参数为N,M,n的

.

n超几何分布

名师点睛对超几何分布的理解(1)在形式上适合超几何分布的模型常由较明显的两部分组成,如“男生,女生”“正品,次品”“优,劣”等;(2)在产品抽样中,一般为不放回抽样;(3)其概率计算可结合古典概型求得.2.超几何分布的均值一般地,当随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布时,其均值为思考辨析已知在10件产品中有4件次品,分别采取有放回和不放回方式随机抽取3件,设抽取的3件产品中次品数为X,试写出当X=2时对应的概率.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)超几何分布的总体里只有两类物品.(

)(2)超几何分布的模型是放回抽样.(

)(3)超几何分布与二项分布的期望值都为p.(

)√××2.设袋中有80个红球、20个白球,若从袋中任取10个球,则其中恰有6个红球的概率为(

)D解析

取出的红球个数服从参数为N=100,M=80,n=10的超几何分布.由超几何分布的概率公式,知从中取出的10个球中恰有6个红球的概率为3.[人教A版教材习题]举出两个服从超几何分布的随机变量的例子.解(1)假设某鱼池中仅有鲤鱼和草鱼两种鱼,其中鲤鱼200条,草鱼40条,从鱼池中任意取出5条鱼,这5条鱼中包含草鱼的条数X服从超几何分布.(2)现有甲、乙两种品牌的电视机共52台,其中甲品牌有21台,从52台电视机中选出5台送给福利院,选出的甲品牌的电视机台数X服从超几何分布.(答案不唯一)4.[人教A版教材习题]学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会,已知有4名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到,求甲班恰有2名同学被选到的概率.解设选到的4人中甲班同学的人数为X,则X服从超几何分布,且N=12,M=4,n=4,重难探究·能力素养速提升探究点一超几何分布的判断【例1】

下列问题中,判断哪些属于超几何分布问题,并说明理由.(1)抛掷三枚骰子,所得向上的数是6的骰子的个数记为X,求X的概率分布;(2)有一批种子的发芽率为70%,任取10颗种子做发芽试验,把试验中发芽的种子的个数记为X,求X的概率分布;(3)盒子中有3个红球、4个黄球、5个蓝球,任取3个球,把不是红色的球的个数记为X,求X的概率分布;(4)某班级有男生25人,女生20人,选派4名学生参加学校组织的活动,班长必须参加,其中女生人数记为X,求X的概率分布;(5)现有100台手机未经检测,抽取10台送检,把检验结果为不合格的手机的个数记为X,求X的概率分布.解

(1)(2)中样本没有分类,不是超几何分布问题.(3)(4)符合超几何分布的特征,样本都分为两类.随机变量X表示某类样本被抽取的件数,是超几何分布.(5)中没有给出不合格品数,X不服从超几何分布.规律方法

判断一个随机变量是否服从超几何分布,应看三点:(1)总体是否可分为两类明确的对象;(2)是否为不放回抽样;(3)随机变量是否为样本中一类个体的个数.变式训练1下列随机变量中,服从超几何分布的有

.(填序号)

①在10件产品中有3件次品,一件一件的不放回地任意取出4件,记取到的次品数为X;②从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台,记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数;③一名学生骑自行车上学,途中有6个交通岗,记此学生遇到红灯的次数为随机变量X.①②

解析

根据超几何分布的定义可知①中随机变量X服从超几何分布.②中随机变量X服从超几何分布.而③显然不能看作一个不放回抽样问题,故随机变量X不服从超几何分布.探究点二超几何分布的概率及其分布列【例2】

袋中有4个红球,3个黑球,这些球除颜色外完全相同,从袋中随机抽取球,设取到一个红球得2分,取到一个黑球得1分,从袋中任取4个球.(1)求得分X的分布列;(2)求得分大于6分的概率.解

(1)从袋中任取4个球的情况为:1红3黑,2红2黑,3红1黑,4红,共四种情况,得分分别为5分,6分,7分,8分,故X的可能取值为5,6,7,8.变式探究在本例中,设X1为取得红球的分数之和,X2为取得黑球的分数之和,X=|X1-X2|,求X的分布列.解

从袋中任取4个球的情况为1红3黑,X1=2,X2=3,X=1;2红2黑,X1=4,X2=2,X=2;3红1黑,X1=6,X2=1,X=5;4红,X1=8,X2=0,X=8.规律方法

求超几何分布的分布列的步骤

变式训练2现有10张奖券,其中8张1元,2张5元,从中任取3张,求所得金额的分布列.探究点三超几何分布的综合应用【例3】

为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列,并求EX.规律方法

解决超几何分布问题的两个关键点(1)超几何分布是概率分布的一种形式,一定要注意公式中字母的范围及其意义,解决问题时可以直接利用公式求解,但不能机械地记忆公式.(2)超几何分布中,只要知道M,N,n,就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X=k),从而求出X的分布列.变式训练3[2024四川绵阳阶段检测]某班组织知识竞赛,题目共有10道,随机抽取3道让某人回答,规定至少要答对其中2道才能通过初试,已知他只能答对其中6道,试求:(1)抽到他能答对题目数的分布列;(2)他能通过初试的概率.解

(1)设随机抽出的3道题目他能答对的道数为X,则X的取值为0,1,2,3,X服从超几何分布,学以致用·随堂检测促达标1234561.盒中有4个白球、5个红球,从中任取3个球,则恰好取出2个红球的概率是(

)C1234562.(多选题)某人参加一次测试,在备选的10道题中,他能答对其中的5道.现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试,规定至少答对2道题才算合格.则下列选项正确的是(

)CD1234561234563.某导游团有外语导游10人,其中6人会说日语,现要选出4人去完成一项任务,则有2人会说日语的概率为

.

1234564.有同一型号的电视机100台,其中一级品97台,二级品3台,从中任取4台,则二级品不多于1台的概率为

(用式子表示).

1234565.已知某批产品共100