自动控制原理习题答案6

第六章线性离散系统的分析与校正

习题及答案

61试求卜列函数的Z变换

(1)e(t)=aT

⑵e(r)=""3,

L/、S+1

⑶七(s)=

~、$+3

(4)E(s)=-------------

5(5+1)(5+2)

g

1z

解(1)E(z)=Z〃"z-n

l

w=C1-az~z—u

z卜K

由移位定理:

23TyT23T3T

Z\t2e-3t]=Tze(ze+Tze-(z+e-)

(z^r-l)3

11

(3)EG)=

7z

E(z)=-----1--------

z-1(z-1)

七")=包+G42

(4)------1---。---

s+1s+2

5+33

cn=lim

(s+l)(s+2)2

5+3_2

c.=lim

s->-lis(s+2)-二1

c,=lim5+3

~~_I

f2s(S+1)-2

3/221/2

=T----+——

5+1s+2

3z2zz

E(z)=

2(z-Dz-e~f2(z-e-2r)

6-2试分别用部分分式法、耗级数法和反演积分法求下列函数的Z反变换。

l()z

(1)E(z)=

(z-l)(z—2)

-3+zT

⑵E(z)=

l-2z-1+z~2

£(z)

解⑴=d^

①部分分式法

七⑶一-10-1010

z(z-l)(z-2)z-1z-2

-lOzlOz

E(z)=-------+---------

(z-1)(z-2)

e(nT)=-10x1+10x2"=10(2"-1)

②基级数法：用长除法可得

10z10z

E(z)==10Z-,^30Z-2+70Z-3+/1

(z—l)(z—2)z~-3z+2

e(0=1OJ(r-T)+30J(r-27)+705(”37)+/

反演积分法

Res[£*(z).z"TL=lim火工-1。

z-2

^^=10x2,r

Res[f(z)•z"TL=顾

z-1

e(nT)=-10x1+10x2"=10(2"-1)

=f10(2〃一1"。一〃7)

;i=0

(2)E(z)=一3+z」q3z+D=z(-3z+l)

i-2z+z-2Z2-2Z+\(Z-1)2

①部分分式法

E(z)l-3z-23

z(z-l)2(z-l)2z-l

-2z3z

E(z)=

(Z—I)zZ-l

々，)=-yr-3xl(r)

8

/(f)=Zy-nT-35(.〃r)=Z(_2〃_3)b"〃T)

n=0n=0

②寤级数法：用长除法可得

-3z2+z

E(z)=

Z2-2Z+1

/(/)=-35⑺-5而-7)-7火―27)-9M-ST)-A

③反演积分法

e(nT)=ReS[E(Z)-=-lim—[(-3z2+z)•z7-']

1!’"

=lim[-3(〃+I)zn+nzn~l1=-In-3

$T1*"」

e"Q)=Z(_2〃—3)5Q—〃r)

n=0

6-3试确定下列函数的终值

7V7

(I)E(z)=—

小、i、0.792z2

(2)£(z)=-----------------------------

(z-l)(T-().416z+().208)

",

Tz

解⑴％=吧75T=00

L=lim(z—l)E(z)

ssz->l

2

「0.792z0.792.

—hn]____________________—__________________I

-11z2-0.4I6z+0.208-1-0.416+0.208=-

6-4已知差分方程为

c(攵)-4c(Z+l)+c(左+2)=0

初始条件：初0)=0,c(D=L试用迭代法求输出序列c(k),k=0,1,2,3,4o

解依题有

c(k+2)=4c(k+1)-c(k)

c(0)=0,c(l)=1

c(2)=4xl-0=4

c(3)=4x4-1=15

c(4)=4xl5-4=56

6-5试用z变换法求解下列差分方程：

(1)c(k+2)-6c(k+1)+Sc(k)=r(k)

r(&)=l(&),c(k)=O(&«0)

(2)c(k+2)+2c(k+1)+c(k)=r(k)

c(0)=c(T)=0”〃)=〃，(«=0,1,2,A)

(3)c(k+3)+6c(k+2)+\\c(k+l)+6c(攵)=0

c(0)=c(l)=l,82)=0

(4)c(Z+2)+5c(Z+l)+6c(A)=cos(k;r/2)c(0)=c(l)=0

解

(1)令f=—T,代入原方程可得：c(T)=0o对差分方程两端取z变换，整理得

z

C(z)=-----R(z)=-----------

z2-6z+8------(z-2)(z-4)z-1

-C-(-z-)--1----1---1---1---1+-1-----

z3z-12z-26z-4

zIZ1Z

C(z)=------1-------

3z-]2z-26z-4

c(z?T)=-xlM--!-x2,,+-x4n

326

(2)对差分方程两端取z变换，整理得

1z2

C⑶>+2z+l(Z-l)2-(Z+l)2(Z-iy

Re5[c(z)-z,H，L,=-lim——

LI1!~dz[(z+l)2_

=lim—',=lim[〃z"T(z+I)"-2(z+l)n.z"]

edz[(z+l)2_|-1L\\"J

=n2-2-2-2-3=^-

4

•z=-lim—

1!二十idz(Z-D2J

7nrT

=lim----------------lim\nz"'(2-l)2-2(z-1)3-zn\

…dz(z-1)2z+JJ

c(〃r)=?[]+(-i严]

c*⑺可1号1+㈠产帆-⑺

/l=oI4J

(3)时差分方程两端取z变换得

[z3C(z)-z3c(O)-z2c(l)-zc(2)]+6[Z2C(Z)-Z2C(0)-ZC(1)]

4-1l[zC(z)-zc(0)]+6C(z)=0

代入初条件整理得

(Z3+6Z2+11Z+6)-C(Z)=Z3+7Z2+17Z

〜、Z3+7Z2+17Z

C(z)=3，~~-------

z+6z~+1lz+6

C(z)111,1.51

--------Z31--------—/•---------f----------

z2z+1z+222+3

c5)=?(T)"—7(—2)"+"—3)”=(—D"1-7.2“+13"

22\_22

(4)由原方程可得

/不、

z(z-cos—)

z

(z2+5z+6)•C(z)=---------------------

z2+1

z“-zzcos—+1

2

z2z2

C(z)=

(z~+5z+6)(z~+1)(z+2)(z+3)(z~+1)

C(z)z-2J_3_JJ_z-l

z(z+2)(z+3)(z2+1)5z+210z+310z2+1

—23］「TT71

c(nT)=——•(一2)〃+—•(一3)"+—cos/i--sin/?-

5101022

6-6试由以下差分方程确定脉冲传递函数。

c(n+2)-(1++1)+=(1-+1)

解对上式实行z变换，并设所有初始条件为()得

25T

zC(z)-(l+e~0")zC(z)+e^C(z)=(1-)Z.R(Z)

根据定义有

r(z}=C(z)=z(l-e”

'—R(z)~Z?-(1+产)z+L"

6-7设开环离散系统分别如图6-40(a),(b),(c)所示，试求开环脉冲传递函数

G(z)o

(C)

题6-40图开环离散系统

解

]Qz2

(z-e-2T)(z-e-5T)

111()z(e-1T-e~5T)

")7+5J-T>(z-e-2T)(z-e-^)

2____5-110z(e-2T-e-5T)

7+27+5J—S(z-e-2r)(z-e-5r)

-----------=10(l-z-1)Z

(5+2)(5+5)J|_S(S+2)(5+5)

10(z-l)v111111

z10s6s+2155+5

5z2z2z—1

~75~z—e-2T+W3~z—e-ST5z-e-5T

,152T,2-5T22T,5ST,-IT

11—c+—CX)ZH—€+—c+e

3333

(z-e-2T)(z-e-5T)

6-8试求图6—41所示各闭环离散系统的脉冲传递函数6(z)或输出z变换C(z)。

题6-41图离散系统结构图

解(4)将原系统结构图等效变换为图解6-8(a)所示

图解6-8(a)

G(z)=G(z)[E(z)—及⑶]

B1(Z)=G,G2(Z)[E(Z)-B1(Z)]

[l+G,G2(z)j.5,(Z)=G,G2(Z)E(Z)

.小一G6(z)

l+GG(z)

3JGG(z)]G](z)

=G.(z)1----------E(z)=----!-----E(z)

1+G,G2(Z)J1+G,G2(Z)

E(Z)4/?(Z)-B2(Z)

B2(Z)=G3(Z).C(Z)

=/?(Z)-G3(Z).C(Z)

C⑶=」票•[R(z)-G,(z).Qz)]

l+GQzG)

[1十G,G2(Z)]C(Z)=G(z)•[R(z)-G3(Z)-C(Z)]

[1+GG?(Z)+G(Z)G3(Z)]C(Z)=G(z)•R(z)

不/、C(z)G.(z)

①(z)=----=----------------------

R(Z)1+G02(Z)+G(Z)G3(Z)

(〃)由系统结构图

C(z)=RG2GAz)+E(z)GhG.G4(z)

E(z)=HG|(z)-C(z)

RG2GKz)+GGG,(z)[RG|(Z)-C(z)]

..--GzGKzHG/GGJz/G/z)

,z-I+G„G3G4(Z)

(c)由系统结构图

C(Z)=/VG2(Z)4-/?(Z)DD2(Z)G/,(Z)GIG2(Z)+E(Z)DDI(Z)G/,(Z)GIG2(Z)

IE(z)=R(z)-C(z)

=^G2(Z)+/?(Z)DD2(Z)G/1(Z)G1G2(Z)4-DD1(Z)G/I(Z)G1G2(Z)[/?(Z)-C(Z)]

.q，)-NG2(z)+R(z)£).(z)G,(z)aG(z)+Q”(z)G,(z)GG(z)R(z)

一l+Dm(z)3(z)GQ2(z)

二NG?(z)+[%(z)+2,2(z)]GGG?(z)R(z)

~l+%(z)G£G(z)

6-9设有单位反馈误差采样的离散系统，连续部分传递函数

G(5)=-r-5—

$($+5)ree*|-----c

输入r(t)=1(0,采样周期丁=15o试求：干/fG(s)十

(1)输出z变换C(z)；-----

(2)采样瞬时的输出响应c'(f)；

(3)输出响应的终值c*(8)。图解6-9

解(1)依据题意画出系统结构图如图解6-9所示

G(z)=Z—

_52(5+5)_

_1zz(l-e~5)

_5|_(z-l)2-5(z-l)(z_"S)

_[(4+e5)z+\-6e5]z

25(z-l)2(z-e-5)

…G(z)(4+e"+(l-6"')z

cp(z)=-------=----------------------------------------

1+G(z)25(z-l)2(z-^5)+(4+/)z24-(1-6eT)z

__________3.9933z?+0.9596?________

-25z3-46.1747z2+26.2966z-0.1684

C(z)=S(z)R(z)=0(z)——

z-\

_________(0.1597Z+0.03838)Z2________

-z4-2.847z3+2.899z2-1.0586z+0.006736

=0.1597z-,+0.4585z-2+0.842z-3+1.235Z-4+A

：.(2)

c(t)=0.1597SQ-7)+0.4585b«-27)+0.842汗-37)+1.2355("47)+/!

(3)判断系统稳定性

D(z)=25z3-46.1747z2+26.2966z-0.1684

n=3(奇数)

。⑴=4.9533>0,D(-l)=-97.6397<0

列朱利表

ZoZ|Z2Z3

1-0.168426.2966-46.174725

225-14.174726.2966-0.1684

3-624.971149.94-649.64

|1=0.1684<a3=25

%|二624.97<\b2\=649.64(不稳定)

闭环系统不稳定，求终值无意义。

6-10试判断下列系统的稳定性

(1)已知离散系统的特征方程为

D(z)=(z+l)(z+0.5)(z+2)=0

(2)已知闭环离散系统的特征方程为

D(z)=z4+0.2z3+z2+0.36z+0.8=0

(注：要求用朱利判据)

(3)已知误差采样的单位反馈离散系统，采样周期T=1s,开环传递函数

〜、22.57

G(s)--v;~-

s-(s+l)

解(1)系统特征根模值

阂司一%|=|-().5]=0.5，|^|=j-2|=2>1

有特征根落在单位圆之外，系统不稳定。

D(z)=z4+0.2z3+z2+0.36z+0.8=0

用朱利稳定判据(刀=4)

Z

ZoZ|22Z34

10.80.3610.21

210.210.360.8

3-0.360.088-0.2-0.2

4-0.2-0.20.088-0.36

50.0896-0.071680.0896

D(z)=3.36>0,D(-l)=2.24>0

|〃o|=0.8<|^4|=1,|/?0|=0.36<|/23|=0.2

|c0|=0.896=|c21=0.0896

所以，系统不稳定。

22.5722.5722.57

(3)G(z)=z

.r(5+l)

=22.57[-—三+；]=乌丝S①

|_(z-l)2z-1z-e-'J(z-1)2(1-1)

D(z)=(z-l)2(z-e-l)+22.57z『z+(l-2e-l)]

=Z3+5.9Z2+7.9Z-0.368

用朱利稳定判据(〃=3)

-0.3687.95.9

25.97.9-0.368

3-0.8658.8110.07

。⑴=14.432>0,D(-l)=-3.368<0

Ia()I=0.368<11=1

\b()\=0.865<隹I=1007(系统不稳定)

6-11设离散系统如图6-42所示，采样周期T=1s,G/s)为零阶保持器，而

要求:

困6-42离散系统

（1）当K=5时，分别在①域和z域中分析系统的稳定性;

（2）确定使系统稳定的K值范围。

解⑴

K(l-D

G„G(z)=(l-z-1)Z

产)

S2(0.2S+1)5(z-1)(1-

4+6-5'i+e-5r

z+-

55

(z-\)(z-e-5T)

4+产

D(z)=(z-\)(z-e-5T+K

2/1-ST\p/4+C-5T"1-6©'T

z2+-(14-£»57)+K(---)z+e"+K——-——

当K=5时

D(z)=z2+32+0.9663=0

解根得4=-2.633,2,=-0.367(系统不稳定)

以z=W代入并整理得

W—1

。(卬)=卬2+0.01357vv-0.208

0(卬)中有系数小于零，不满足系统稳定的必要条件。

(2)当K为变量时

D(z)=z2+(0.80135K-1.006738)z+(0.1919AT+0.006738)

以z=W代入并整理得

vv-1

D(w)=0.9933Kw2+(1.9865—0.3838K)w+(2.0135-0.6CW5K)

由劳斯判据可得系统稳定的K值范围为：

0<K<3.304

6-12利用劳斯判据分析图6-43所示二阶离散系统在改变K和采样周期了的影响,

解根据已知的G(s)可以求出开环脉冲传递函数

Kz(\-e-T)

G(z)=

(z-l)(z-e-r)

闭环特征方程为:

Kz(\-e-T)

1+G(z)=l+=0

(z-l)(z-^r)

即z2+[K(\-e-T)-(\+e-T)]z+e-T=0

I4-W

令z=B,进行w变换，得

1-w

1+wY

+[K(1-)-(1+)1-!-^+e-T=0

1-w

化简整理后得

[2(1+e-T)-K(\-e-T)]w2+2(1-e4)w+K(\-e-T)=

可得如下劳斯表：

2(l+e-f)-K(l-e-r)

w2(1-e-r)

vv°K(\-e-T)

得系统稳定的条件

2(1+^-r)-/C(l-^r)>0

K>0

解得

\-e~7

6-13如图6-44所示采样系统，周期7=1s

e2(k)=e2(k-l)+e^lc)

试确定系统稳定时的K值范围。

3(?；；(?)

r(t)/

—D(z)Y。&E]r

题6-44离散系统

解由于

e2(k)=e2(k-1)-i-el(k)

-,

E2(Z)=ZE2(Z)4-E1(Z)

。⑶二2七

则

EC)1-z-'

广义对象脉冲传递函数

(l-1)Kz二0.632K

G(z)=Z=(l-z-')Z=(I-z-，)

s(s+1)5(5+1)(z-l)(z-/)-z-0.368

开环脉冲传递函数为

0.632K=0.632Kz

D(z)G(z)=—^?

1-zz-0.368-(z-l)(z-0.368)

闭环特征方程

1+D(z)G(z)=z2+(0.632K-1.368)z+0.368=0

14-卬

进行卬变换，令z=L>^,化简后得

1-W

(2.736—0.632)>/+1.264卬+0.632K=0

列出劳斯表如下

vv22.736-0.632KO.632K

“1.2640

w°0.632K

若系统稳定，必须满足2.736—0.632K>0,K>0

即OvK<4.329

6-14如图6-43所示为采样控制系统，要求在，•«)=/作用下的稳态误差/=0.257

,试确定放大系数K及系统稳定时7的取值范围。

T

解zzKz(\-e-)

G(z)=Z=KZ--——.-T

s(s+l)S5+1z-1z-e(z-l)(z-e-T)

1(z-l)(z-e-T)Tz

因为E(z)=R(z)=

7

1十G(z)(z-l)(z—e")+Kz(l—e“)(z-l)

(z-l)(z-e-r)Tz

所以=0.257

(z-l)(z-e-r)+Kz(l-e-r)(z-1)2

由上式求得K=4。

该系统的特征方程为

I+G(z)=(z-l)(z-e")十4z(l-e-T)=0

即

z2+(3-5e")z+e"=0

1+

令Z=代入上式得

1-w

4(l-e-r)w2+2(l-e-T)w+6e*r-2=0

列出劳斯表如下

卬24(1—e")6e-r-2

w2(1-c")0

w6e”-2

系统若要稳定，则劳斯表得第一列系数必须全部为正值，即有

i-e-T>0,T>0

6e“-2>0,T<ln3

由此得出0<7vln3时，该系统是稳定的。

6-15设离散系统如型6-45所示，其中，采样周期

T=0.2s,K=10,«）=1+/+//2,试用终值定理计算系统的稳态误差/（8）。

图6-45闭环离散系统

解系统开环脉冲传递函数为

1(X1+0.55)1〃T、/10(1+().5S)-

G(z)=Z---------------；-----=(1-2)Z------------

S$~」LS_

2

_n-1F5T(Z+1)Z5TZ

=(1-z)L----(-Z----l--)-3------1--(--Z----l--)-2-J

将7=0.2代入并整理得

1.2z—0.8

G⑶=-~~

(2-D~

小E(z)1(z-1)2Z2-2Z+1

cp(Z)=-----=---------=---------------------=----------------

'R(z)1+G(z)(Z-1)2+I.2Z-0.8Z2-0.8Z+0.2

z0.2z0.04z(z+l)

R(z)=Z]+1+=------*---------+

z-1(z-1)22(z—I)，

ess=lim("zT)6,(z)A(z)

ZT1

0.20.04(z+l)—I)?

lim1+t

z-»lz-12(z-l)z2-0.8z+0.2

6-16设离散系统如图6-46所示，其中丁=0.1s,K=l,,试求静态误差系数，，

K〃、K,、Ka并求系统在=f作用下的稳态误差/（8）。

图676'闭环离散系统

解系统开环脉冲传递函数为

-l1Tzd

G(z)=(l-z)Z=d-z-')

/(s+l)(Z-I)2(z-l)(z-e-r)

将7=0.1代入并整理得

〜、0.005(z+0.9)

G(z)=-----------------------

(z-l)(z-0.905)

0.005(z+0.9)

/Cp=nm[l+G(z)]=liml+-=00

-l)(z-0.905)

0.005(z+0.9)八।

7Cv=lim(z-l)G(z)=lim(z-l)-----------------------=0.1

(z-l)(z-0.905)

T

e(8)=—=1

6-17已知离散系统如图6-47所示，其中Z0H为零阶保持器，7=0.25S.当

r(1)=2+f时，欲使稳态误差小于0.1,试求K值。

图6-47闭环离散系统

解首先验证系统的稳定性

rz-zI_-TvX-2Ts

A(1-e)e

2

Ke~2Tsz-1KTz

G(z)=—Z~z=

zz(z-1)2z-1

KTz-2KT

z-\+KTz-2Z3-Z2+KT

D(z)=z3-z2+ArT

Jurry：D(l)=1—1+KT>0=>/T>0①

D(-l)=-ll—l+AT<0=>K<-<S

T

MKT0-11

卬21-10KT

vv1\-K2T2-1KT

卬0KT-1\-K2T2

AT<1=>KJ=4

,T

1-K2T2>KT

③

K2T2+KT-l<0解出-l.618vKvO.618

④

综合①©③④，K稳定的范围为

0vK<0.618

使稳态误差为0.1时的KIS：

「⑶二Z[2」(，)+，]=三+言

系统是I型系统，阶跃输入下的稳态误差为零，斜坡输入下的稳态误差为常值

K、=lim(z-l)G(z)=K7

ZTl

=—=—<0,1

ssKrK

K>10

K>10时不稳定，不能使1.<0.1

6-18试分别求出图5-45和图6-46所示系统的单位阶跃响应c(〃7)。

解(a)

①⑶=----F-----------------=i=----------0------------------

1+Z1I.马i+05s)(z-l^+K1(z+l)+0.5T(z_l)

s2

将K=10,7=0.2代入得

0.2(z+1)z0.2(Z2+Z)

C(z)=O(z)/?(z)=

Z2-0.8Z+0.2z-lz3-1.8z2+0.808z-0.2

=0.2z-,+().56z-2+().8()8z-3+().934z"+().986Z—5+l.OOZz'+A

cQ)=0.26Q—7)+0.56S"-27)+0.8086Q—3T)+0.9345Q—4T)

+0.9863(1—5T)+1.0023。-6T)+/I

(b)

7=0.1

K：0.00484(z+0.9667)

……Z*z-1(z-l)(z+0.905)

r=o.i

、G(z)"i0.00484(z+0.9667)

①(z)=--------=——；------------------

1+G(z)Z2-1.9Z+0.901

一、不/、~、0.00484(z+0.9667)z0.00484(z2+0.9667z)

C(z):①(z)•R(z)=—；---------------------=-------T2------------------

z2-1.9z+0.901z-lz3-2.9z2+2.801z-0.901

=0.00484z-,+0.0187z-2+0.0407+0.07Z-4+0.106z-5+0.148z-6+A

cQ)=0.00484d>(r-T)+0.01875(/-27)+0.04075(/—37)+0.0758-47)

+0.1065。-57)+0.1483。-67)+/

6-19已知离散系统如图6T8所示。

其中采样周期T=l