吉林省农安县2025届九上数学期末学业水平测试模拟试题含解析

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象如图所示，现给出以下结论：①；②；③；④（为实数）其中结论错误的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图，一块含角的直角三角板绕点按顺时针方向，从处旋转到的位置，当点、点、点在一条直线上时，这块三角板的旋转角度为（）A． B． C． D．3．二次函数y=ax2+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．4．已知是关于的一元二次方程的两个根，且满足，则的值为（）A．2 B． C．1 D．5．如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCB的面积比为（）A． B． C． D．6．若∽，，，，则的长为()A．4 B．5 C．6 D．77．下列说法错误的是（）A．必然事件的概率为1 B．心想事成，万事如意是不可能事件C．平分弦（非直径）的直径垂直弦 D．的平方根是8．如图，点A、B、C、D均在边长为1的正方形网格的格点上，则sin∠BAC的值为（）A． B．1 C． D．9．将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）.A．； B．；C．； D．.10．根据下表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数yx

…

-1

0

1

2

…

y

…

-1

-7-2

-7…A．只有一个交点 B．有两个交点，且它们分别在y轴两侧C．有两个交点，且它们均在y轴同侧 D．无交点二、填空题(每小题3分,共24分)11．若关于的方程的一个根是1，则的值为______.12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的正半轴相交于点，其顶点为，将这条抛物线绕点旋转后得到的抛物线与轴的负半轴相交于点，其顶点为，连接，，，，则四边形的面积为__________；13．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________．14．如图，反比例函数y＝（x＞0）经过A，B两点，过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，连接AD，已知AC＝1，BE＝1，S△ACD＝，则S矩形BDOE＝______．15．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则__________．16．已知一次函数y1＝x+m的图象如图所示，反比例函数y2＝，当x＞0时，y2随x的增大而_____（填“增大”或“减小”）．17．若最简二次根式与是同类根式，则________.18．在一个不透明的口袋中，装有4个红球和若干个白球，这些球除颜色外其余都相同，如果摸到红球的概率是，那么口袋中有白球_____个三、解答题(共66分)19．（10分）图中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．线段和的端点均在格点上．（1）在图中画出以为一边的，点在格点上，使的面积为4，且的一个角的正切值是；（2）在图中画出以为顶角的等腰（非直角三角形），点在格点上．请你直接写出的面积．20．（6分）如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA＝∠C．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）连接OP，若OP∥BC，且OP＝4，⊙O的半径为，求BC的长．21．（6分）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点和点.（1）求反比例函数的解析式和点的坐标；（2）连接，，求的面积.（3）结合图象，请直接写出使反比例函数值小于一次函数值的自变量的取值范围.22．（8分）如图，某中学准备建一个面积为300m2的矩形花园，它的一边利用图书馆的后墙，另外三边所围的栅栏的总长度是50m，求垂直于墙的边AB的长度？（后墙MN最长可利用25米）23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A点的坐标为（3，0），以OA为边作等边三角形OAB，点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C．动点P从O点出发沿着OC向点C运动，动点Q从B点出发沿着BA向点A运动，P，Q两点同时出发，速度均为1个单位/秒．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．设运动时间为t秒．（1）求线段BC的长；（2）过点Q作x轴垂线，垂足为H，问t为何值时，以P、Q、H为顶点的三角形与△ABC相似；（3）连接PQ交线段OB于点E，过点E作x轴的平行线交线段BC于点F．设线段EF的长为m，求m与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．24．（8分）如图，直线y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝ax2+bx+c过点B，并且顶点D的坐标为（﹣2，﹣1）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若抛物线与直线AB的另一个交点为F，点C是线段BF的中点，过点C作BF的垂线交抛物线于点P，Q，求线段PQ的长度；（3）在（2）的条件下，点M是直线AB上一点，点N是线段PQ的中点，若PQ＝2MN，直接写出点M的坐标．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，.动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿边向终点运动；动点从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动，设运动的时间为秒，.（1）直接写出关于的函数解析式及的取值范围：_______；（2）当时，求的值；（3）连接交于点，若双曲线经过点，问的值是否变化？若不变化，请求出的值；若变化，请说明理由.26．（10分）定义：若函数与轴的交点的横坐标为，，与轴交点的纵坐标为，若，中至少存在一个值，满足（或），则称该函数为友好函数．如图，函数与轴的一个交点的横坐标为-3，与轴交点的纵坐标为-3，满足，称为友好函数．（1）判断是否为友好函数，并说明理由；（2）请探究友好函数表达式中的与之间的关系；（3）若是友好函数，且为锐角，求的取值范围．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①由抛物线可知：，，对称轴，∴，∴，故①错误；②由对称轴可知：，∴，，故②错误；③关于的对称点为，∴时，，故③正确；④当时，y的最小值为，∴时，，∴，故④正确故选：B.本题考查了二次函数图象与系数的关系，结合图象得出系数之间的关系是解题的关键.2、C【分析】直接利用旋转的性质得出对应边，再根据三角板的内角的度数得出答案．【详解】解：∵将一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A'B'C，

∴BC与B'C是对应边，

∴旋转角∠BCB'=180°-30°=150°．

故选：C．此题主要考查了旋转的性质，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，正确得出对应边是解题关键．3、C【解析】试题分析：∵二次函数图象开口方向向下，∴a＜0，∵对称轴为直线＞0，∴b＞0，∵与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∴的图象经过第一、二、四象限，反比例函数图象在第一三象限，只有C选项图象符合．故选C．考点：1．二次函数的图象；2．一次函数的图象；3．反比例函数的图象．4、B【分析】根据根与系数的关系，即韦达定理可得，易求,从而可得,解可求,再利用根的判别式求出符合题意的.【详解】由题意可得，a=1，b=k，c=-1，∵满足，∴①根据韦达定理②把②式代入①式，可得：k=-2故选B.此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合进行解题.5、D【分析】根据平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，根据相似三角形的判定得出△BEF∽△DCF，根据相似三角形的性质和三角形面积公式求出即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，E为AB的中点，∴AB=DC=2BE，AB∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴==，∴DF=2BF，=()2=，∴=，∴S△BEF=S△DCF，S△DCB=S△DCF，∴==，故选D.本题考查了相似三角形的性质和判定和平行四边形的性质，能熟记相似三角形的性质是解此题的关键.6、C【分析】利用相似三角形的性质，列出比例式即可解决问题.【详解】解：∵△ABC∽△DEF，，，，∴，∴，∴EF=6.故选C.本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的对应边成比例，属于中考基础题．7、B【分析】逐一对选项进行分析即可．【详解】A.必然事件的概率为1，该选项说法正确，不符合题意；B.心想事成，万事如意是随机事件，该选项说法错误，符合题意；C.平分弦（非直径）的直径垂直弦，该选项说法正确，不符合题意；D.的平方根是，该选项说法正确，不符合题意；故选：B．本题主要考查命题的真假，掌握随机事件，垂径定理，平方根的概念是解题的关键．8、A【分析】连接BC，由勾股定理得AC2＝BC2＝12+22＝5，AB2＝12+32＝10，则AC＝BC，AC2+BC2＝AB2，得出△ABC是等腰直角三角形，则∠BAC＝45°，即可得出结果．【详解】连接BC，如图3所示；由勾股定理得：AC2＝BC2＝12+22＝5，AB2＝12+32＝10，∴AC＝BC，AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，∴sin∠BAC＝，故选：A．本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．9、B【分析】根据抛物线图像的平移规律“左加右减，上加下减”即可确定平移后的抛物线解析式.【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为，故选B．本题考查了二次函数的平移规律，熟练掌握其平移规律是解题的关键.10、B【分析】根据表中数据可得抛物线的对称轴为x=1，抛物线的开口方向向上，再根据抛物线的对称性即可作出判断.【详解】解：由题意得抛物线的对称轴为x=1，抛物线的开口方向向上则该二次函数的图像与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧故选B.本题考查二次函数的性质，属于基础应用题，只需学生熟练掌握抛物线的对称性，即可完成.二、填空题(每小题3分,共24分)11、－6【分析】把x=1代入原方程就可以得到一个关于k的方程，解这个方程即可求出k的值．【详解】把代入方程得到，解得.故答案为：−6.本题考查了一元二次方程的解，将方程的根代入并求值是解题的关键.12、32【分析】利用抛物线的解析式算出M的坐标和A的坐标,根据对称算出B和N的坐标,再利用两个三角形的面积公式计算和即可.【详解】∵,∴M(2,-4),令,解得x1=0,x2=4,∴A(0,4),∵B,N分别关于原点O的对称点是A,M,∴B(-4,-0),N(-2,4),∴AB=8,∴四边形AMBN的面积为:2S△ABM=,故答案为:32.本题考查二次函数的性质,关键在于利用对称性得出坐标点.13、【分析】根据根的判别式即可求出答案；【详解】解：由题意可知：解得：故答案为：本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式并应用．14、1【分析】根据三角形的面积求出CD，OC，进而确定点A的坐标，代入求出k的值，矩形BDOE的面积就是|k|，得出答案．【详解】∵AC＝1，S△ACD＝，∴CD＝3，∵ODBE是矩形，BE＝1，∴OD＝1，OC＝OD+CD＝1，∴A（1，1）代入反比例函数关系式得，k＝1，∴S矩形BDOE＝|k|＝1，故答案为：1．本题考查了反比例函数的几何问题，掌握反比例函数的性质以及三角形的面积公式是解题的关键．15、1【分析】根据在平面直角坐标系中的点关于原点对称的点的坐标为，进而求解．【详解】∵点与点关于原点对称，∴，故答案为：1．本题考查平面直角坐标系中关于原点对称点的特征，即两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．16、减小．【分析】根据一次函数图象与y轴交点可得m＜2，进而可得2-m＞0，再根据反比例函数图象的性质可得答案．【详解】根据一次函数y1＝x+m的图象可得m＜2，∴2﹣m＞0，∴反比例函数y2＝的图象在一，三象限，当x＞0时，y2随x的增大而减小，故答案为：减小．此题主要考查了反比例函数的性质，以及一次函数的性质，关键是正确判断出m的取值范围．17、1【分析】根据同类二次根式的定义可得a+2=5a-2，即可求出a值.【详解】∵最简二次根式与是同类根式，∴a+2=5a-2，解得：a=1.故答案为：1本题考查了同类二次根式：把各二次根式化为最简二次根式后若被开方数相同，那么这样的二次根式叫同类二次根式；熟记定义是解题关键.18、1【分析】设白球有x个，根据摸到红球的概率为列出方程，求出x的值即可．【详解】设白球有x个，根据题意得：解得：x＝1．故答案为1．本题考查了概率的基本计算，根据题意列出方程就可以得出答案．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．三、解答题(共66分)19、（1）画图见解析；（2）画图见解析，1．【分析】（1）根据AB的长以及△ABE的面积可得出AB边上的高为2，再直接利用正切的定义借助网格得出E点位置，再画出△ABE即可；

（2）在网格中根据勾股定理可得出DC2=22+42，利用网格找出使CF2=DC2=22+42的点F即可，然后利用网格通过转化法可求出△CDF的面积．【详解】解：（1）设△ABE中AB边上的高为EG，则S△ABE=×AB×EG=4，又AB=4，∴EG=2，假设∠A的正切值为，即tanA=，∴AG=1，∴点E的位置如图所示，△ABE即为所求：

（2）根据勾股定理可得，DC2=22+42，∴CF2=DC2=22+42，所以点F的位置如图所示，△DCF即为所求；

根据网格可得，△DCF的面积=4×4-×2×4-×2×4-×2×2=1．此题主要考查了应用设计与作图，正确借助网格分析是解题关键．20、（1）证明见解析；（2）BC=1；【分析】（1）连接OB，由圆周角定理得出∠ABC＝90°，得出∠C＋∠BAC＝90°，再由OA＝OB，得出∠BAC＝∠OBA，证出∠PBA＋∠OBA＝90°，即可得出结论；（2）证明△ABC∽△PBO，得出对应边成比例，即可求出BC的长．【详解】（1）连接OB，如图所示：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴∠CBO+∠OBA＝90°，∵OC＝OB，∴∠C＝∠CBO，∴∠C+∠OBA＝90°，∵∠PBA＝∠C，∴∠PBA+∠OBA＝90°，即PB⊥OB，∴PB是⊙O的切线；（2）∵⊙O的半径为，∴OB＝，AC＝2，∵OP∥BC，∴∠C＝∠CBO＝∠BOP，又∵∠ABC＝∠PBO＝90°，∴△ABC∽△PBO，∴，即，∴BC＝1．本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握圆周角定理、切线的判定是解决问题的关键．21、（1），点的坐标为；（2）；（3）或.【分析】（1）利用待定系数法求解析式，令y值相等求点B坐标；（2）数形结合求面积；（3）数形结合，利用图像解不等式【详解】解：（1）把代入得，∴.∴反比例函数的解析式为.联立解得∴点的坐标为.（2）设直线与轴交于点.可知点的坐标为，∴.∴.（3）当或时，反比例函数值小于一次函数值.本题考查了反比例函数和一次函数的综合应用，数形结合思想是解题的关键22、垂直于墙的边AB的长度为15米．【分析】花园总共有三条边组成，可设AB=x，则BC=（50-2x）,根据题意有x(50-2x)=300,解得x=10或15，又因为BC要不大于25m，可知x=10要舍去，得AB=15m.【详解】解：设AB为xm，则BC为（50﹣2x）m，根据题意得方程：x（50﹣2x）＝300，2x2﹣50x+300＝0，解得；x1＝10，x2＝15，∵50﹣2x≤25，解得：x≥12.5，答：垂直于墙的边AB的长度为15米．本题的考点是二次函数的应用.方法是根据题意列出一元二次方程，解出方程即可.易错点在于BC边不能大于25，这是一个陷阱.23、（2）；（2）t=2或2；（3）（）．【分析】（2）由等边三角形OAB得出∠ABC=92°，进而得出CO=OB=AB=OA=3，AC=6，求出BC即可；（2）需要分类讨论：△PHQ∽△ABC和△QHP∽△ABC两种情况；（3）过点Q作QN∥OB交x轴于点N，得出△AQN为等边三角形，由OE∥QN，得出△POE∽△PNQ，以及，表示出OE的长，利用m=BE=OB﹣OE求出即可．【详解】（2）如图l，∵△AOB为等边三角形，∴∠BAC=∠AOB=62，∵BC⊥AB，∴∠ABC=92°，∴∠ACB=32°，∠OBC=32°，∴∠ACB=∠OBC，∴CO=OB=AB=OA=3，∴AC=6，∴BC=AC=；（2）如图2，过点Q作x轴垂线，垂足为H，则QH=AQ•sin62°=．需要分类讨论：当△PHQ∽△ABC时，，即：，解得，t=2．同理，当△QHP∽△ABC时，t=2．综上所述，t=2或t=2；（3）如图2，过点Q作QN∥OB交x轴于点N，∴∠QNA=∠BOA=62°=∠QAN，∴QN=QA，∴△AQN为等边三角形，∴NQ=NA=AQ=3﹣t，∴ON=3﹣（3﹣t）=t，∴PN=t+t=2t，∴OE∥QN，∴△POE∽△PNQ，∴，∴，∴，∵EF∥x轴，∴∠BFE=∠BCO=∠FBE=32°，∴EF=BE，∴m=BE=OB﹣OE=（2＜t＜3）．考点：相似形综合题．24、（1）y＝x2+2x+1；（2）5；（3）M（，﹣）或（﹣，）【分析】（1）先求出点B坐标，再将点D，B代入抛物线的顶点式即可；（2）如图1，过点C作CH⊥y轴于点H，先求出点F的坐标，点C的坐标，再求出直线CM的解析式，最后可求出两个交点及交点间的距离；（3）设M（m，﹣m+1），如图2，取PQ的中点N，连接MN，证点P，M，Q同在以PQ为直径的圆上，所以∠PMQ＝90°，利用勾股定理即可求出点M的坐标．【详解】解：（1）在y＝﹣x+1中，当x＝0时，y＝1，∴B（0，1），∵抛物线y＝ax2+bx+c过点B，并且顶点D的坐标为（﹣2，﹣1），∴可设抛物线解析式为y＝a（x+2）2﹣1，将点B（0，1）代入，得，a＝，∴抛物线的解析式为：y＝（x+2）2﹣1＝x2+2x+1；（2）联立，解得，或，∴F（﹣5，），∵点C是BF的中点，∴xC＝＝﹣，yC＝＝，∴C（﹣，），如图1，过点C作CH⊥y轴于点H，则∠HCB+∠CBH＝90°，又∵∠MCH+∠HCB＝90°，∴∠CBH＝∠MCH，又∠CHB＝∠MHC＝90°，∴△CHB∽△MHC，∴＝，即＝，解得，HM＝5，∴OM＝OH+MH＝+5＝，∴M（0，），设直线CM的解析式为y＝kx+，将C（﹣，）代入，得，k＝2，∴yCM＝2x+，联立2x+＝x2+2x+1，解得，x1＝，x2＝﹣，∴P（，5+），Q（﹣，﹣5+），∴PQ＝＝5；（3）∵点M在直线AB上，∴设M（m，﹣m+1），如图2，取PQ的中点N，连接MN，∵PQ＝2MN，∴NM＝NP＝NQ，∴点P，M，Q同在以PQ为直径的圆上，∴∠PMQ＝90°，∴MP2+MQ2＝PQ2，∴+＝（5）2，解得，m1＝，m2＝﹣，∴M（，﹣）或（﹣，）．本题考查了待定系数法求解析式，两点间的距离，勾股定理等，解题关键是需要有较强的计算能力．25、（1）；（2），；（3）经过点的双曲线的值不变.值为.【分析】（1