1.1.1空间向量及其线性运算-高二上学期数学人教A版选择性

1.1.1空间向量及其线性运算1.1.1空间向量及其线性运算(1)学习目标1.运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程．2.理解空间向量及相关概念，掌握空间向量的线性运算及其性质，借助图形理解空间向量线性运算及其运算的意义．3.理解空间向量共线的充要条件．活动方案活动一回顾平面向量的相关内容1.基本概念：(1)向量的定义：(2)向量的模：(3)零向量、单位向量、平行向量：(4)相等向量、共线向量、相反向量：2.平面向量a(a≠0)与b共线的充要条件：3.平面向量的加法、减法、数乘运算的定义及运算法则：几何方法坐标方法运算性质向量的加法(1)平行四边形法则(2)三角形法则向量的减法三角形法则向量的数乘λa是一个向量，则(1)|λa|＝|λ||a|(2)若a≠0，则当λ>0时，λa与a同向；当λ<0时，λa与a反向；特别地，当λ＝0时，λa＝0；当a＝0时，λa＝0活动二类比平面向量探究空间向量的概念及运算1.空间向量的概念：(1)定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度或模：空间向量的大小．(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(4)几类特殊的空间向量：名称定义及表示零向量规定长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量叫做单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a.相等向量方向相同且模相等的向量叫做相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量

2.空间向量的加减法运算与数乘运算律：空间向量的线性运算类型表示方法图示加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))减法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))数乘当λ＞0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；当λ＜0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；当λ＝0时，λa＝0运算律加法运算律交换律：a＋b＝b＋a结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)数乘运算律分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)；(λ＋μ)a＝λa＋μa(λ，μ∈R)结合律：λ(μa)＝(λμ)a(λ，μ∈R)思考1►►►如图，在平行六面体ABCDA′B′C′D′中，分别标出eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))表示的向量．从中你能体会向量加法运算的交换律和结合律吗？一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？3.空间向量共线的充要条件：思考2►►►类似平面向量共线的充要条件，你能给出空间向量共线的充要条件吗？思考3►►►如何用向量来表示直线的方向？思考4►►►除了由两点确定一条直线外，还可以由什么来确定一条直线？思考5►►►平面向量与空间向量有哪些相同点与不同点？活动三空间向量的运算例1如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，M是BB1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BA1,\s\up6(→))；(2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))；(3)eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)).空间向量加法、减法运算的两个技巧：(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接；(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加法、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．利用数乘运算进行向量表示的技巧：(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用向量的三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量；(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．

如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，下列各式运算结果为eq\o(BD1,\s\up6(→))的是()①eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))；②eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))；③eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))；④eq\o(B1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→)).A.①②B.②③C.③④D.①④例2(2023江苏专题练习)已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点(如图所示)，并且eq\o(OE,\s\up6(→))＝keq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OF,\s\up6(→))＝keq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OH,\s\up6(→))＝keq\o(OD,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋meq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(EH,\s\up6(→))＋meq\o(EF,\s\up6(→)).求证：AC∥EG.

1.(2023日照阶段练习)下列命题中，为真命题的是()A.向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))的长度相等B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C.空间非零向量就是空间中的一条有向线段D.不相等的两个空间向量的模必不相等2.如图，在三棱锥OABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，用a，b，c表示eq\o(NM,\s\up6(→))，则eq\o(NM,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,2)(－a＋b＋c)B.eq\f(1,2)(a＋b－c)C.eq\f(1,2)(a－b＋c)D.eq\f(1,2)(－a－b＋c)3.(多选)在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知AC1的中点为O，则下列互为相反向量的是()A.eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))与eq\o(OB1,\s\up6(→))＋eq\o(OC1,\s\up6(→))B.eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))与eq\o(OA1,\s\up6(→))－eq\o(OD1,\s\up6(→))C.eq\o(OA1,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OC1,\s\up6(→))D.eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))与eq\o(OA1,\s\up6(→))＋eq\o(OB1,\s\up6(→))＋eq\o(OC1,\s\up6(→))＋eq\o(OD1,\s\up6(→))4.(2023漯河阶段练习)如图，在三棱柱ABCA′B′C′中，eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(A′C′,\s\up6(→))是________向量，eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(B′A′,\s\up6(→))是________向量(用“相等”“相反”填空).5.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，化简下列向量表达式：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))；(2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＋eq\o(D1D,\s\up6(→)).1．1.1空间向量及其线性运算(2)学习目标1.类比平面向量研究空间向量的共线、共面问题，了解共面向量的定义，理解共面向量的充要条件．2.利用共面向量的充要条件证明有关线面平行和点共面的简单问题．活动方案活动一空间共面向量的定义及判定1.知识回顾(1)平面向量中共线向量的定义及判定：(2)空间向量中共线向量的定义及判定方法：2.探究空间共面向量的概念及判定方法思考1►►►由于向量是自由移动的，你认为如何定义共面向量？思考2►►►你能由平面向量基本定理推广到空间向量共面的充要条件吗？共线(平行)向量共面向量定义若表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量平行于同一个平面的向量叫做共面向量充要条件对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb活动二理解共线向量与共面向量的概念例1下列说法中，正确的是()A.平面内的任意两个向量都共线B.空间的任意三个向量都不共面C.空间的任意两个向量都共面D.空间的任意三个向量都共面例2如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使eq\f(OE,OA)＝eq\f(OF,OB)＝eq\f(OG,OC)＝eq\f(OH,OD)＝k.求证：E，F，G，H四点共面．例3设空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若点P满足向量关系eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1).试问：P，A，B，C四点是否共面？已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外的任意一点，下列条件中能确定点M与点A，B，C一定共面的是()A.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))B.eq\o(OM,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))C.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))D.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使得eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))或对空间内任意一点O有eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋zeq\o(OB,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1).1.给出下列命题：①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.其中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.32.已知i与j不共线，则“存在两个非零常数m，n，使k＝mi＋nj”是“i，j，k共面”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(多选)下列命题中，不正确的是()A.若A，B，C，D是空间任意四点，则有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0B.“|a|－|b|＝|a＋b|”是“a，b共线”的充要条件C.若a，b共线，则a与b所在直线平行D.对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面4.(2024常州新北月考)已知A，B，C，D四点共面且任意三点不共线，平面ABCD外一点P，满足eq\o(PD,\s\up6(→))＝－2eq\o(PA,\s\up6(→))＋5eq\o(PB,\s\up6(→))＋λeq\o(PC,\s\up6(→))，则λ＝________．

5.如图，在四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．(1)求证：BD∥平面EFGH；(2)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任意一点O，有eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))).

1.1.1空间向量及其线性运算(1)【活动方案】1.(1)我们把既有大小又有方向的量叫做向量．(2)向量的大小称为向量的长度(或称为模).(3)长度为0的向量叫做零向量．长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．(4)长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．平行向量也叫做共线向量．我们把与向量a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量．2.存在唯一一个实数λ，使b＝λa(a≠0).3.填表略思考1：可以发现，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC′,\s\up6(→)).一般地，对于三个不共面的向量a，b，c，以任意点O为起点，a，b，c为邻边作平行六面体，则a，b，c的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量．另外，利用向量加法的交换律和结合律，还可以得到：有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变．思考2：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.思考3：在直线上任取一个非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量都称为该直线的方向向量，则直线的方向向量的方向就可以表示直线的方向．思考4：直线上一点和它的方向向量确定．思考5：略例1(1)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BA1,\s\up6(→))＝eq\o(CA1,\s\up6(→)).(2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→)).(3)eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CA1,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(BA1,\s\up6(→)).跟踪训练A①eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；②eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝eq\o(BC1,\s\up6(→))＋eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；③eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BB1,\s\up6(→))＝eq\o(B1D,\s\up6(→))≠eq\o(BD1,\s\up6(→))；④eq\o(B1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))≠eq\o(BD1,\s\up6(→)).例2因为eq\o(OE,\s\up6(→))＝keq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OF,\s\up6(→))＝keq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OH,\s\up6(→))＝keq\o(OD,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋meq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(EH,\s\up6(→))＋meq\o(EF,\s\up6(→))，所以eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(OH,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))＋m(eq\o(OF,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→)))＝k(eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋km(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝keq\o(AD,\s\up6(→))＋kmeq\o(AB,\s\up6(→))＝k(eq\o(AD,\s\up6(→))＋meq\o(AB,\s\up6(→)))＝keq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AC,\s\up6(→))∥eq\o(EG,\s\up6(→)).因为AC，EG无公共点，所以AC∥EG.【检测反馈】1.A对于A，因为空间向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))互为相反向量，所以空间向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))的长度相等，故A正确；对于B，将空间中所有的单位向量平移到同一个起点，则它们的终点构成一个球面，故B错误；对于C，空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，故C错误；对于D，两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))的模相等，故D错误．2.Beq\o(NM,\s\up6(→))＝eq\o(NA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(ON,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b－c).3.ACD如图，设M，N分别为AD，B1C1的中点，O1，O2分别为上、下底面的中心.eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝2eq\o(OM,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))1＋eq\o(OC1,\s\up6(→))＝2eq\o(ON,\s\up6(→))，互为相反向量，故A正确；eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(OA1,\s\up6(→))－eq\o(OD1,\s\up6(→))＝eq\o(D1A1,\s\up6(→))，互为相等向量，故B错误；eq\o(OA1,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OC1,\s\up6(→))＝eq\o(C1C,\s\up6(→))，互为相反向量，故C正确；eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝2eq\o(OO2,\s\up6(→))，eq\o(OA1,\s\up6(→))＋eq\o(OB1,\s\up6(→))＋eq\o(OC1,\s\up6(→))＋eq\o(OD1,\s\up6(→))＝2eq\o(OO1,\s\up6(→))，互为相反向量，故D正确．故选ACD.4.相等相反在三棱柱ABCA′B′C′中，四边形ACC′A′是平行四边形，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A′C′,\s\up6(→))，即eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(A′C′,\s\up6(→))是相等向量；四边形ABB′A′是平行四边形，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(A′B′,\s\up6(→))＝－eq\o(B′A′,\s\up6(→))，即eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(B′A′,\s\up6(→))是相反向量．5.(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝0.(2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＋eq\o(D1D,\s\up6(→))＝eq\o(DD1,\s\up6(→))＋eq\o(D1D,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝eq\o(B1C1,\s\up6(→)).1．1.1空间向量及其线性运算(2)【活动方案】1.知识回顾略思考1：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．思考2：向量p与两个不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.例1C共线向量的方向相同或相反，故A不正确；空间的任意三个向量都不共面，显然不正确，例如一个零向量，两个非零向量，即是共面向量，故B不正确；空间任意两个向量共面，故C正确；在正方体顶点处与三条边分别共线的3个单位向量，不是共面向量，故D不正确．例2因为eq\f(OE,OA)＝eq\f(OF,OB)＝eq\f(OG,OC)＝eq\f(OH,OD)＝k，所以eq\o(OE,\s\up6(→))＝keq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OF,\s\up6(→))＝keq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OG,\s\up6(→))＝keq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OH,\s\up6(→))＝keq\o(OD,\s\up6(→)).因为四边形ABCD是平行四边形，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，则eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(OG,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))＝keq\o(OC,\s\up6(→))－keq\o(OA,\s\up6(→))＝keq\o(AC,\s\up6(→))＝k(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝k(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\o(OF,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OH,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→)).由向量共面的充要条件可知，eq\o(EH,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(EG,\s\up6(→))共面．又eq\o(EH,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(EG,\s\up6(→))过同一点E，所以E，F，G，H四点共面．例3P，A，B，C四点共面，理由如下：因为eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－y－z)eq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，即eq\o(AP,\s\up6(→))＝yeq\o(AB,\s\up6(→))＋zeq\o(AC,\s\up6(→)).由A，B，C三点不共线，知eq\o(AB,\s\up6(