2013年湖南省常德市中考数学试题【含答案解析】

试卷第=page44页，共=sectionpages77页试卷第=page11页，共=sectionpages77页2013年湖南省常德市中考数学试题【含答案、解析】学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．的相反数是()A． B． C． D．2．已知线段，，则下列线段中，能与a，b组成三角形的是（

）A．3cm B．12cm C．15cm D．18cm3．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（

）

A． B． C． D．4．已知一次函数的图象经过点，且随的增大而减小，则点的坐标可以是（

）A． B． C． D．5．某企业为了推选代表队参加市职业技能大赛，对甲、乙两个车间进行了五次测试，其中甲车间五次成绩的平均数是90分，中位数是91分，方差是2.4；乙车间五次成绩的平均数是90分，中位数是89分，方差是4.4．下列说法正确的是（）A．甲车间成绩的平均水平高于乙车间B．甲、乙两车间成绩一样稳定C．甲车间成绩优秀的次数少于乙车间（成绩不低于90分为优秀）D．若选派甲车间去参加比赛，取得好成绩的可能性更大6．等边三角形所在平面内有一点，且点不与点，，重合，使得，，都是等腰三角形，这样的点共有（

）A．1个 B．4个 C．7个 D．10个7．在下面的四个几何体中，三视图相同的是（

）A． B．C． D．8．阅读理解：，，，是实数，我们把符号称为阶行列式，并且规定：，例如：.二元一次方程组的解可以利用阶行列式表示为：；其中，，.问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法错误的是（

）A． B． C． D．方程组的解为二、填空题9．下列7个实数：，，，，，，，最大的数是（填原数）．有理数有个．10．分式方程的解是11．目前，我国基本医疗保险覆盖已超，数科学记数法可以表示为．12．某市9月1日到10日的最高气温的折线统计图如图所示，则这10天的最高气温的中位数是．

13．关于x的方程x2+3x+k﹣1＝0有两个相等的实数根，则k的值为．14．《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定，某班有40名学生，其中已经学会炒菜的学生频率是，则该班学会炒菜的学生有名．15．如图，将矩形纸片对折，使边与与分别重合，展开后得到四边形．若，则四边形的面积为．16．我们知道乌鸦喝水的故事．现在来做一个道理相同的游戏：如图，在圆柱形玻璃桶里已有定量的水，将大小相同的围棋棋子一个个慢慢投入其中，显然，在有水溢出之前，每投入一个棋子，桶里水位的高度都会有变化．根据如图信息，解答下列各题：

（1）投入第1个围棋子后，桶里的水位高度达到了cm；（2）设投入了个棋子，没有水溢出．用表示此时桶里水位的高度；（3）当投入个棋子，正好可使水位达到桶的高度．三、解答题17．计算：(1)(2)解方程：(3)解不等式组：18．先化简，再求值：，从不等式组的整数解中选择一个适当的数作为a的值代入求值．19．已知．(1)化简P；(2)若关于x的方程有两个相等的实数根，求P的值．20．已知：如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，过点作轴的垂线交轴于点．(1)求反比例函数的解析式；(2)如果点在的图象上，且的面积为面积的2倍，求点的坐标．21．随着信息社会的不断发展，传统的教学模式也在不断发生改变某培训机构顺应时代发展和大众需求，对培训课程采取了线上线下同步销售的策略，已知2节线上课程和3节线下课程需1075元，5节线上课程和2节线下课程需1450元．（1）分别求出该机构每节课的线上价格和线下价格；（2）该机构四月上旬业绩很不理想，因此中旬对线上、线下价格进行了调整，线上价格打八折，线下每节课价格降低25元，中旬共售出450节课，总销售额为78000元因为疫情影响，马上来临的“五一”五天小长假更多的人计划“充电”提升自己，该机构瞄准商机，四月下旬发起线上线下课程团购活动，被团购的课程数量越多每节课的价格越便宜，果然四月下旬销量大幅增加，线上课程团购数量比中旬线上课程销量增加了，每节课的价格相较于中旬线上课程价格降低，线下课程团购数量比中旬线下课程销量增加了，每节课的价格相较于中旬线下课程降低，这批团购课程的销售总额比这批课程如果按照中旬线上线下对应价格销售所得的总额减少了共，求a．22．如图，我县某中学数学兴趣小组决定测量一下本校教学楼的高度，他们在楼梯底部处测得；沿楼梯向上走到处测得，到地面的距离为3米．求教学楼的高度.（结果精确到1米，参考数据：）.23．中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下而两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：(1)接受问卷调查的学生共有__________人．(2)扇形统计图中m的值为__________，并补全条形统计图（不用写计算过程）．(3)扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为__________．24．如图，为的直径，点分别位于直径的两侧，连接，与相交于点，，交的延长线于点，．(1)求证：是切线．(2)若，求的长．25．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PB：PC=1：2．（1）求证：AC平分∠BAD；（2）探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；（3）若AD=3，求△ABC的面积．26．给出如下定义：有一组对角互余的凸四边形叫对余四边形．证明：（1）如图1，是的直径，点、、在上，，相交于点．求证：四边形是对余四边形；探究：（2）如图2，在对余四边形中，，、为对角线，，试探究线、和之间的数量关系，并说明理由．拓展：（3）已知，在中，，，为外一点，且四边形为对余四边形，试求出对角线的最大值．答案第=page1818页，共=sectionpages1818页答案第=page1717页，共=sectionpages1818页《初中数学中考试卷》参考答案题号12345678答案BBBADDAC1．B【详解】试题分析：-5的相反数为-(-5)=5考点：实数点评：本题难度较低，主要考查学生对实数中相反数的学习．2．B【分析】根据三角形的第三边大于两边之差小于两边之和即可判断．【详解】解：设三角形的第三边为m．由题意：9-6＜m＜6+9，即3＜m＜15，故选B．【点睛】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．B【分析】根据绝对值的意义，根据有理数的大小比较，可得答案．【详解】由数轴知A.，故A错误；B.，故B正确；C.，故C错误；D.，故D错误故选：B【点睛】本题考查实数与数轴的关系，关键是根据实数在数轴上的位置判断字母的正负性，根据实数在数轴上离原点的距离判断绝对值的大小．4．A【分析】根据函数解析式知函数图象过点（0,2），由一次函数随的增大而减小，得到函数图象经过第一、二、四象限，且第一、四象限内点的纵坐标小于2，第二象限内点的纵坐标大于2，即可得到答案．【详解】∵一次函数，当x=0时y=2，∴函数图象过点（0,2），∵一次函数随的增大而减小，∴函数图象经过第一、二、四象限，且第一、四象限内点的纵坐标小于2，第二象限内点的纵坐标大于2，故选：A．【点睛】此题考查一次函数的性质，熟记一次函数的性质并熟练解决问题是解题的关键．5．D【分析】根据平均数、中位数以及方差的意义分别对每一项进行分析即可得出答案．【详解】A、甲车间成绩的平均水平和乙车间相同，故本选项错误；B、因为甲车间的方差是2.4，乙车间的方差是4.4，所以甲车间成绩比较稳定，故本选项错误；C、因为甲车间的中位数是91分，乙车间的中位数是89分，所以甲车间成绩优秀的次数多于乙车间（成绩不低于90分为优秀），故本选项错误；D、选派甲车间去参加比赛，取得好成绩的可能性更大，正确；故选D．【点睛】此题考查了平均数、中位数以及方差的意义，解题的关键是熟练掌握基本知识．6．D【分析】当点P在三角形的内部时，点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则点P是三角形的外心，当点P在三角形的外部时，只要每条边的垂直平分线上的点到三角形的各个顶点连接而成的三角形是等腰三角形即可．【详解】如图所示：当点P在三角形的内部时，点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则点P是三角形的外心，分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，与各边的垂直平分线的交点就是满足要求的点，每条垂直平分线上有3个交点，再加上三角形的外心，一共有10个点．故选D．【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，掌握中垂线的性质与等边三角形的性质，是解题的关键．7．A【分析】本题主要考查了常见的几何体的三视图，熟知常见的几何体的三视图是解题的关键．【详解】解：A、球的主视图，俯视图，左视图都是圆，符合题意；B、圆锥的主视图和左视图都是三角形，俯视图是圆，不符合题意；C、三棱柱的主视图和左视图都是长方形，俯视图是三角形，不符合题意；D、圆柱的主视图和左视图都是长方形，俯视图是圆，不符合题意；故选：A．8．C【详解】【分析】根据阅读材料中提供的方法逐项进行计算即可得.【详解】A、D==2×（-2）-3×1=﹣7，故A选项正确，不符合题意；B、Dx==﹣2﹣1×12=﹣14，故B选项正确，不符合题意；C、Dy==2×12﹣1×3=21，故C选项不正确，符合题意；D、方程组的解：x==2，y==﹣3，故D选项正确，不符合题意，故选C．【点睛】本题考查了阅读理解型问题，考查了2×2阶行列式和方程组的解的关系，读懂题意，根据材料中提供的方法进行解答是关键.9．π5【分析】先化简，，再比较实数的大小；根据整数、分数统称为有理数，确定有理数的个数．【详解】解：∵，∴，，，，，，中，最大的数是；其中有理数为0，，−0.001，，，共5个，故答案为：π，5．【点睛】本题考查了实数的分类和实数大小的比较．实数分为有理数和无理数，整数和分数统称有理数．10．无解【详解】去分母，得(x+2)+(x−2)=4，解得x=2，把x=2代入公分母得x2−4=4−4=0，故x=2是原方程的增根，此方程无解.故答案为无解.11．【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．解题关键是正确确定的值以及的值．12．26【分析】本题主要考查中位数的定义，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果这组数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．将10天的最高气温按从小到大排列后，根据中位数的定义求解即可．【详解】解：根据10天的最高气温折线统计图，将这10天的最高气温按从小到大排列为：22.5，24，24，26，26，26，27，28，30，30，处在第5位与第6位的数都是26，∴中位数为26，故答案为：26．13．.【分析】根据判别式的意义得到△=32-4×（k-1）=0，然后解关于k的方程即可．【详解】解：根据题意得△＝32﹣4×1×（k﹣1）＝0，解得k＝，故答案为．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．14．18【分析】本题主要考查了求频数，直接用班级人数乘以学会炒菜的学生频率即可得到答案．【详解】解：，∴该班学会炒菜的学生有18名，故答案为：18．15．4【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定等知识点，根据矩形的性质，得出，．根据折叠可知，，，推出，则，推出四边形是菱形．由题意得，，则四边形的面积，熟练掌握其性质是解决此题的关键．【详解】∵四边形是矩形，∴，，由折叠可知，，，∴，∴，∴四边形是菱形．由题意，得，，∴四边形的面积．故答案为：4．16．12.2572【分析】（1）根据玻璃桶里水位的变化可以求出每增加一颗围棋子，水位上升的高度，即可得到答案；（2）由（1）可知每增加一颗围棋子，水位上升，从而即可得到答案；（3）令，求出的值即可．【详解】解：（1）由图可知：无围棋子时，水位为，加入12个围棋子后，水位变为，增长了，每增加一颗围棋子，水位上升：，投入第1个围棋子后，桶里的水位高度达到了：，故答案为：12.25；（2）每增加一颗围棋子，水位上升，设投入了个棋子，没有水溢出，用表示此时桶里水位的高度为：，故答案为：；（3）令，解得：，当投入72个棋子，正好可使水位达到桶的高度．【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用、列代数式、一元一次方程的应用，理解题意，找到相应的变化规律是解本题的关键．17．(1)(2)(3)【分析】（1）根据零指数幂，负指数幂，去绝对值符号及根式的性质求解即可得到答案；（2）去分母，移项合并同类项，最后系数化为1即可得到答案；（3）分别解不等式，根据同大取大，同小取小，相交取中间，相背无解求解即可得到答案；【详解】（1）解：原式；（2）解：去分母得，，去括号得，，解得：，把代入得，，∴原方程的解为：；（3）解：不等式①得，，解不等式②得，，∴不等式组的解集为：；【点睛】本题考查零指数幂，负指数幂，去绝对值符号，根式的性质，解分式方程及解不等式组，解题的关键是分式方程注意验根，熟练掌握不等式组解集求取方法：同大取大，同小取小，相交取中间，相背无解．18．，1【分析】本题考查分式化简求值，求不等式组的整理数解．熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键，注意分式求值，字母取值一定要使原分式有意义．根据分式的运算法则化简，再解不等式组求出不等式组的整数解，由分式有意义，得到a的值，再代入化简式计算即可．【详解】解：原式；解不等式组，得，∴不等式组的整数解为，0，1，2；∵和0，∴当时，原式．19．(1)(2)【分析】本题考查了分式化简，一元二次方程根的判别式；（1）先对括号内进行通分运算，同时对分子、分母进行因式分解，再将除转化为乘，进行约分，结果化为最简分式或整式，即可求解；（2）由根的判别式得，求出，代入，即可求解；掌握分式化简的步骤，一元二次方程根的判别式：“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程有无的实数根；”是解题的关键．【详解】（1）解：；（2）解：方程有两个相等的实数根，，，，解得：，当时，，当时，，∴．20．(1)(2)点C的坐标为或【分析】（1）把A的坐标为(2，m)代入，求得m，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；（2）先求出点C的横坐标，代入求得纵坐标，即可得到C的坐标．【详解】（1）解：点在函数的图象上，点的坐标为，，点坐标为．点在反比例函数的图象上，，解得．反比例函数的解析式为；（2）解：由题意可知点到的距离，设点C的横坐标是c，点坐标为．∴|c-2|=2×2，∴c=6或-2，的横坐标为6或，把代入得；把代入得，的坐标为或．【点睛】此题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，解本题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21．（1）该机构每节课的线上价格为每节课200元，线下价格为每节课225元；（2）a的值为25【分析】（1）设该机构每节课的线上价格为每节课元，线下价格为每节课元，构建方程组即可解决问题；（2）设中旬线上销量为为m节课，则线下销量为节课，根据总销售额为78000元，列出方程可求m，再找到关于的等量关系构建方程即可解决问题．【详解】解：（1）设该机构每节课的线上价格为每节课元，线下价格为每节课元．由题意得：，解得．答：该机构每节课的线上价格为每节课200元，线下价格为每节课225元．（2）设中旬线上销量为m节课，则线下销量为节课，由题意得：，解得，，由题意得：，解得．答：的值为25．【点睛】本题考查应用类问题，一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程是解题的关键．22．教学楼EF的高度约为米．【分析】延长交于点，设，在中，有，在中，得到，在中，利用三角函数求得x，即可得出答案．【详解】解：如图，延长交于点，设，∴四边形BCFG是矩形，在中，，∴，在中，，∴，在中，，∴，∴，∴.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，构造仰角所在的直角三角形，利用两个直角三角形的公共边求解是常用的解直角三角形的方法．23．(1)80(2)20；见解析(3)【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，能从统计图中获取有用信息是解题的关键．（1）用“基本了解”的人数除以其所占的百分比即可求出接受随机抽样调查的学生人数；（2）将总人数减去其他三组人数即可求出“了解很少”的学生人数，然后除以总数即可求出m的值；（3）将“非常了解”部分所占比乘以即可求出所对应扇形的圆心角的度数．【详解】（1）接受问卷调查的学生共有（人），故答案为：80；（2）“了解很少”的学生人数为（人），∴；故答案为：20，补全条形统计图如下：（3）“非常了解”的学生所在扇形的圆心角为：，故答案为：．24．(1)见解析(2)【分析】本题主要考查圆周角定理，切线的判定和性质，相似三角形的判的性质，掌握相似三角形的判的性质是关键．（1）根据圆周角定理得到，由平行线的性质得到，结合切线的判定即可求解；（2）根据题意可证，得，设的半径为，则，列式得到圆的半径，再证，，则，由此即可求解．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∴，∵为的半径，∴是的切线．（2）解：如图，连接，∵，∴，∴，设的半径为，则，∴，解得，∴，在中，，∵，∴，∴，∴，∴．25．（1）证明见试题解析；（2）AB=3PB，理由见试题解析；（3）5．【分析】（1）首先连接OC，由PE是⊙O的切线，AE和过点C的切线互相垂直，可证得OC∥AE，又由OA=OC，易证得∠DAC=∠OAC，即可得AC平分∠BAD；（2）由AB是⊙O的直径，PE是切线，可证得∠PCB=∠PAC，即可证得△PCB∽△PAC，然后由相似三角形的对应边成比例与PB：PC=1：2，即可求得答案；（3）首先过点O作OH⊥AD于点H，则AH=AD=，四边形OCEH是矩形，即可得AE=+OC，由OC∥AE，可得△PCO∽△PEA，然后由相似三角形的对应边成比例，求得OC的长，再由△PBC∽△PCA，证得AC=2BC，然后在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，可得（2BC）2+BC2=52，即可求得BC的长，继而求得答案．【详解】解：（1）连接OC，∵PE是⊙O的切线，∴OC⊥PE，∵AE⊥PE，∴OC∥AE，∴∠DAC=∠OCA，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∴∠DAC=∠OAC，∴AC平分∠BAD；（2）线段PB，AB之间的数量关系为：AB=3PB．理由：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，∵OB=OC，∴∠OCB=∠ABC，∵∠PCB+∠OCB=90°，∴∠PCB=∠PAC，∵∠P是公共角，∴△PCB∽△PAC，∴，∴=PB•PA，∵PB：PC=1：2，∴PC=2PB，∴PA=4PB，∴AB=3PB；（3）过点O作OH⊥AD于点H，则AH=AD=，四边形OCEH是矩形，∴OC=HE，∴AE=+OC，∵OC∥AE，∴△PCO∽△PEA，∴，∵AB=3PB，AB=2OB，∴OB=PB，∴==，∴OC=，∴AB=5，∵△PBC∽△PCA，∴，∴AC=2BC，在Rt△ABC中，，∴，∴BC=，∴AC=，∴S△ABC=AC•BC=5．考点：圆的综合题．26．（1）见解析；（2），理由见解析；（3）对角线的最大值为．【分析】（1）连结MB、NB，由MN为直径，可得∠BMN+∠BNM=90°，由同弧圆周角性质∠BCN=∠BMN，∠BAM=∠BNM，可证四边形是对余四边形；（2）过D作ED⊥CD于D，截取ED=AD，连结AE，根据四边形ABCD为对余四边形，可得∠EDA=∠ABC，可证△ABC∽△ADE，，，可证△ABD∽△ACE，可得，由，可得