2025年暑期新高一数学人教新版学困生专题复习《圆》

第31页（共31页）2025年暑期新高一数学人教新版学困生专题复习《圆》一．选择题（共10小题）1．（2025•厦门模拟）如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠ACB＝36°，则∠OAB＝（）A．18° B．54° C．36° D．72°2．（2025•长沙模拟）如图，点A、B、C在⊙O上，△OAB为等边三角形，则∠ACB的度数是（）A．60° B．50° C．40° D．30°3．（2024秋•扬州期末）若⊙O的半径为2，在同一平面内，点P与圆心O的距离为3，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法确定4．（2025•市中区二模）若正多边形的一个内角是140°，则这个正多边形的边数是（）A．5 B．6 C．8 D．95．（2025•衢州三模）中国高铁已成为中国现代化建设的重要标志，如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A、B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为50°，若圆曲线的半径OA＝3km，则这段圆曲线（弧AB）的长为（）km．A．23π B．512π C．566．（2025•山亭区二模）如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交于点F．G，则弧FG对的圆周角∠FPG的大小为（）A．45° B．60° C．75° D．30°7．（2025•灞桥区校级模拟）如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（）A．42° B．44° C．46° D．48°8．（2025•滨湖区二模）下列判断正确的是（）A．弧长相等的弧是等弧 B．过三点可以确定一个圆 C．同弧或等弧所对的圆心角相等 D．垂直于半径的直线是圆的切线9．（2025•玉林模拟）如图，正五边形ABCDE的边长为2，以A为圆心，以AB为半径作弧BE，则阴影部分的面积为（）A．6π5 B．5π3 C．410．（2025•市北区校级模拟）如图，已知BD是⊙O的直径，BD⊥AC于点E，∠AOC＝100°，则∠OCD的度数是（）A．20° B．25° C．30° D．40°二．填空题（共5小题）11．（2024秋•新市区校级期末）将两个底面积相同的圆锥按如图方式粘合成一个新几何体，已知原来的两个圆锥母线长分别为AC＝3，AB＝4，新几何体的最大横截面圆的半径AD＝2，则新几何体的表面积为．12．（2025•西陵区模拟）日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知AC＝BD＝5cm，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，CD＝16cm，⊙O的半径r＝10cm，则圆盘离桌面CD最近的距离是．13．（2025•扶沟县二模）如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA=2，过AB的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为14．（2025•武进区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠C＝100°，则∠E的度数为．15．（2025•蓬江区校级一模）如图，AB为半圆的直径，且AB＝4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为．三．解答题（共5小题）16．（2025•泉州校级模拟）如图，过圆锥的顶点S和底面圆的圆心O的平面截圆锥得截面△SAB，其中SA＝SB，AB是圆锥底面圆O的直径，已知SA＝7cm，AB＝4cm，求截面△SAB的面积．17．（2025•灵武市一模）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D在AB的延长线上，∠BCD＝∠A．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若∠D＝30°，⊙O的半径为6cm．求圆中阴影部分的面积．18．（2024秋•喀什地区期末）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC、OC、BC．（1）求证：∠ACO＝∠BCD；（2）若EB＝2，CD＝8，求⊙O的半径．19．（2024秋•蒙城县期末）如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，连接CI并延长交⊙O于点D，E是BC上任意一点，连接AD，BD，BE，CE．（1）若∠ABC＝25°，求∠CEB的度数；（2）求证：DI＝DA．20．（2025•南山区模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点F，过点D作⊙O的切线DE交CA的延长线于点E．（1）求证：AB∥DE；（2）连接AD，如果AB＝10，CD＝8，求DF的长．

2025年暑期新高一数学人教新版学困生专题复习《圆》参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案BDADCBDCAB一．选择题（共10小题）1．（2025•厦门模拟）如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠ACB＝36°，则∠OAB＝（）A．18° B．54° C．36° D．72°【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．【专题】与圆有关的计算；几何直观．【答案】B【分析】利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半得到∠AOB，再用等腰三角形的性质即可得出结论．【解答】解：∵∠ACB=12∠AOB，∠ACB＝∴∠AOB＝2×∠ACB＝72°．∵OA＝OB，∴△OAB是等腰三角形，∵∠AOB+∠OAB+∠OBA＝180°，∴∠OAB=12（180°﹣∠AOB）＝故选：B．【点评】本题主要考查了圆周角定理，利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半解答是解题的关键．2．（2025•长沙模拟）如图，点A、B、C在⊙O上，△OAB为等边三角形，则∠ACB的度数是（）A．60° B．50° C．40° D．30°【考点】圆周角定理；等边三角形的性质．【专题】圆的有关概念及性质；几何直观．【答案】D【分析】先根据等边三角形的性质得到∠AOB＝60°，然后根据圆周角定理求∠ACB的度数．【解答】解：∵△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠ACB=12∠AOB＝故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等边三角形的性质．3．（2024秋•扬州期末）若⊙O的半径为2，在同一平面内，点P与圆心O的距离为3，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法确定【考点】点与圆的位置关系．【专题】推理能力．【答案】A【分析】根据点P到圆心的距离与圆的半径比较大小即可得出结论．【解答】解：∵⊙O的半径r为2，在同一平面内，点P与圆心O的距离d为3，3＞2，∴d＞r，∴点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O外，故选：A．【点评】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是熟记点与圆的位置关系：点与圆心的距离d，当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．4．（2025•市中区二模）若正多边形的一个内角是140°，则这个正多边形的边数是（）A．5 B．6 C．8 D．9【考点】正多边形和圆．【专题】多边形与平行四边形．【答案】D【分析】根据多边形的内角和公式，可得答案．【解答】解：设正多边形是n边形，由内角和公式得：（n﹣2）•180°＝140°×n，解得n＝9，故选：D．【点评】本题考查了多边形内角与外角，掌握其性质是解题的关键．5．（2025•衢州三模）中国高铁已成为中国现代化建设的重要标志，如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A、B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为50°，若圆曲线的半径OA＝3km，则这段圆曲线（弧AB）的长为（）km．A．23π B．512π C．56【考点】弧长的计算；多边形内角与外角；切线的性质．【专题】圆的有关概念及性质．【答案】C【分析】由转角α为50°可得∠ACB＝130°，由切线的性质可得∠OAC＝∠OBC＝90°，根据四边形的内角和定理求出∠AOB，然后根据弧长公式计算即可．【解答】解：∵转角α为50°，∴∠ACB＝180°﹣50°＝130°，∵过点A，B的两条切线相交于点C，∴∠OAC＝∠OBC＝90°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°，∴AB的长为50π故选：C．【点评】本题主要考查了切线的性质、弧长公式，掌握弧长公式是解题的关键．6．（2025•山亭区二模）如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交于点F．G，则弧FG对的圆周角∠FPG的大小为（）A．45° B．60° C．75° D．30°【考点】圆周角定理；多边形内角与外角．【答案】B【分析】首先求得正六边形OABCDE的内角的度数，然后由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得答案．【解答】解：∵六边形OABCDE是正六边形，∴∠AOE=180°×(6-2)6=120°，即∠FOG∴∠FPG=12∠FOG＝故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理与正六边形的性质．此题比较简单，注意掌握正六边形内角的求法与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用，注意数形结合思想的应用．7．（2025•灞桥区校级模拟）如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（）A．42° B．44° C．46° D．48°【考点】圆心角、弧、弦的关系．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】D【分析】根据圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC＝∠BOD＝84°，再根据等腰三角形的性质求解即可．【解答】解：如图，连接OA，∵AB＝CD，∴AB=∴AB-∴AC=∴∠AOC＝∠BOD＝84°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO=12（180°﹣∠AOC）=12×（180故选：D．【点评】此题考查了圆心角、弧的关系，熟练掌握圆心角、弧的关系是解题的关键．8．（2025•滨湖区二模）下列判断正确的是（）A．弧长相等的弧是等弧 B．过三点可以确定一个圆 C．同弧或等弧所对的圆心角相等 D．垂直于半径的直线是圆的切线【考点】切线的判定；圆的认识；确定圆的条件．【专题】推理能力．【答案】C【分析】分别根据圆的确定条件，圆周角定理，圆的切线的判定，等弧的概念依次进行判断即可．【解答】解：A、能够完全重合的弧是等弧，故错误，不符合题意；B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误，不符合题意；C、同弧或等弧所对的圆心角相等，正确，符合题意；D、垂直于半径的直线是圆的切线，错误，应为经过半径外端且与半径垂直的直线为圆的切线，故不符合题意，故选：C．【点评】本题考查了圆的确定，圆周角定理，圆的切线的判定，等弧的概念，熟练掌握知识点是解题的关键．9．（2025•玉林模拟）如图，正五边形ABCDE的边长为2，以A为圆心，以AB为半径作弧BE，则阴影部分的面积为（）A．6π5 B．5π3 C．4【考点】正多边形和圆；扇形面积的计算．【专题】多边形与平行四边形；与圆有关的计算；运算能力．【答案】A【分析】根据正多边形内角和公式求出正五边形的内角和，再求出∠A的度数，利用扇形面积公式计算即可．【解答】解：根据正多边形内角和公式可得：（5﹣2）×180°＝540°，∴正五边形每个内角度数为：∠A∴S扇形故选：A．【点评】本题考查了扇形面积和正多边形内角和的计算，熟练掌握扇形面积公式和正多边形内角和公式是解答本题的关键．10．（2025•市北区校级模拟）如图，已知BD是⊙O的直径，BD⊥AC于点E，∠AOC＝100°，则∠OCD的度数是（）A．20° B．25° C．30° D．40°【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．【专题】与圆有关的计算；几何直观．【答案】B【分析】由垂径定理知∠BOC=12∠AOC＝【解答】解：∵BD是⊙O的直径，BD⊥AC，∠AOC＝100°，∴∠BOC=12∠AOC＝则∠BDC=12∠BOC＝∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠BDC＝25°．故选：B．【点评】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握垂径定理及圆周角定理等知识点．二．填空题（共5小题）11．（2024秋•新市区校级期末）将两个底面积相同的圆锥按如图方式粘合成一个新几何体，已知原来的两个圆锥母线长分别为AC＝3，AB＝4，新几何体的最大横截面圆的半径AD＝2，则新几何体的表面积为14π．【考点】圆锥的计算；截一个几何体．【专题】与圆有关的计算；运算能力．【答案】14π．【分析】S侧＝πrl，据此即可求解．【解答】解：由图可知：新几何体的表面积＝π×2×3+π×2×4＝14π，故答案为：14π．【点评】本题考查了圆锥的侧面积公式，正确进行计算是解题关键．12．（2025•西陵区模拟）日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知AC＝BD＝5cm，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，CD＝16cm，⊙O的半径r＝10cm，则圆盘离桌面CD最近的距离是1cm．【考点】垂径定理；勾股定理的应用．【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】1cm．【分析】连接AB，OA，过点O作OG⊥CD于点G，交AB一点E，交⊙O于点F．利用垂径定理，勾股定理求出OE，EF，再求出FG可得结论．【解答】解：如图2，连接AB，OA，过点O作OG⊥CD于点G，交AB于点E，交⊙O于点F．∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴AC∥BD，∵AC＝BD，∴四边形ACDB是平行四边形，∵∠ACD＝90°，∴四边形ACDB是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD＝16cm，∵OG⊥CD，∴OG⊥AB，∴AE＝EB＝8cm，∴OE=OA2-∴EF＝OF﹣OE＝10﹣6＝4（cm），∵EG＝AC＝BD＝5cm，∴FG＝EG﹣EF＝5﹣4＝1（cm），∴圆盘离桌面CD最近的距离是1cm，故答案为：1cm．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．13．（2025•扶沟县二模）如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA=2，过AB的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为π2-【考点】扇形面积的计算．【专题】与圆有关的计算；推理能力．【答案】π2【分析】连接OC，根据矩形的判定定理得到四边形CDOE是矩形，再根据AAS证明△COD≌△COE，根据全等三角形的性质得到OD＝OE，从而得到矩形CDOE是正方形，求出正方形的边长，再根据扇形和正方形的面积公式即可得到结论．【解答】解：如图，连接OC，∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠CDO＝∠CEO＝90°，∵∠AOB＝90°，∴四边形CDOE是矩形，∵点C是AB的中点，∴∠AOC＝∠BOC，在△COD与△COE中，∠CDO∴△COD≌△COE（AAS），∴OD＝OE，∵四边形CDOE是矩形，∴矩形CDOE是正方形，∵OC＝OA=2∴2OE∴OE＝1，∴图中阴影部分的面积=90⋅故答案为：π2【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系、扇形面积的计算、矩形的判定、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，正确识别图形是解题的关键．14．（2025•武进区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠C＝100°，则∠E的度数为10°．【考点】圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】由AB为⊙O的直径，根据圆周角定理的推论得到∠ACB＝90°，再根据角的和差及圆周角定理求解即可．【解答】解：如图，连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BCD＝100°，∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝10°，∴∠E＝∠ACD＝10°，故答案为：10°．【点评】本题考查了圆周角定理，熟记“直径所对的圆周角为直角”是解题的关键．15．（2025•蓬江区校级一模）如图，AB为半圆的直径，且AB＝4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为2π．【考点】扇形面积的计算；旋转的性质．【专题】计算题．【答案】见试题解答内容【分析】根据旋转的性质得S半圆AB＝S半圆A′B，∠ABA′＝45°，由于S阴影部分+S半圆AB＝S半圆A′B，+S扇形ABA′，则S阴影部分＝S扇形ABA′，然后根据扇形面积公式求解．【解答】解：∵半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A′的位置，∴S半圆AB＝S半圆A′B，∠ABA′＝45°，∴S阴影部分+S半圆AB＝S半圆A′B，+S扇形ABA′，∴S阴影部分＝S扇形ABA′=45⋅π⋅故答案为2π．【点评】本题考查了扇形面积计算：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=360nπR2或S扇形=12三．解答题（共5小题）16．（2025•泉州校级模拟）如图，过圆锥的顶点S和底面圆的圆心O的平面截圆锥得截面△SAB，其中SA＝SB，AB是圆锥底面圆O的直径，已知SA＝7cm，AB＝4cm，求截面△SAB的面积．【考点】圆锥的计算．【专题】计算题．【答案】见试题解答内容【分析】先利用勾股定理计算出SO，然后根据三角形面积公式求解．【解答】解：在Rt△AOS中，∵OA=12AB＝2，SA＝∴SO=SA2∴截面△SAB的面积=12×4×35=65【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．17．（2025•灵武市一模）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D在AB的延长线上，∠BCD＝∠A．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若∠D＝30°，⊙O的半径为6cm．求圆中阴影部分的面积．【考点】切线的判定与性质；扇形面积的计算；圆周角定理．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【答案】（1）证明见解答过程；（2）（12π﹣93）cm2．【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，求出∠ACB＝∠ACO+∠BCO＝∠DCB+∠BCO＝∠OCD＝90°，根据切线判定定理推出即可；（2）过C作CE⊥AB于E，解直角三角形求出∠AOC＝120°，CE＝33，根据圆中阴影部分的面积＝S扇形OAC﹣S△AOC求解即可．【解答】（1）证明：如图，连接CO．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCO＝90°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A，∵∠BCD＝∠A，∴∠ACO＝∠BCD，∴∠BCD+∠BCO＝90°，即∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：如图，过C作CE⊥AB于E，∵∠D＝30°，∠OCD＝90°，∴∠COD＝60°，∠AOC＝∠D+∠OCD＝120°，∵CE⊥AB于E，∴CE=32OD＝33∴S△AOC=12×6×33=93cm2，S∴圆中阴影部分的面积＝S扇形OAC﹣S△AOC＝（12π﹣93）cm2．【点评】本题考查了切线的判定，解题的关键是通过角的计算求出∠OCD＝90°．18．（2024秋•喀什地区期末）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC、OC、BC．（1）求证：∠ACO＝∠BCD；（2）若EB＝2，CD＝8，求⊙O的半径．【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．【专题】圆的有关概念及性质．【答案】（1）证明见解析；（2）5．【分析】（1）根据同角的余角相等，又因为△AOC是等腰三角形，即可求证．（2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径．【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∠BCD+∠ACE＝90°，∵AB⊥CD，∴∠ACE+∠CAE＝90°，∴∠BCD＝∠BAC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠ACO＝∠BCD；（2）解：设⊙O的半径为r，∵EB＝2，∴OE＝OB﹣EB＝r﹣2，∵AB⊥CD，CD＝8，∴CE=在Rt△CEO中，由勾股定理可得：OC2＝OE2+CE2，即r2＝（r﹣2）2+42，解得r＝5．答：⊙O的半径为5．【点评】本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力，关键是根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相解答．19．（2024秋•蒙城县期末）如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，连接CI并延长交⊙O于点D，E是BC上任意一点，连接AD，BD，BE，CE．（1）若∠ABC＝25°，求∠CEB的度数；（2）求证：DI＝DA．【考点】三角形的内切圆与内心；垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．【专题】三角形；圆的有关概念及性质．【答案】（1）115°；（2）见解析．【分析】（1）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再根据三角形的内角和定理求∠CAB＝65°，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可；（2）连接AI，由三角形的内心性质得到内心，∠CAI＝∠BAI，∠ACI＝∠BCI，然后利用圆周角定理得到∠DAB＝∠DCB＝∠ACI，AD＝BD，利用三角形的外角性质证得∠DAI＝∠DIA，然后利用等角对等边可得结论【解答】（1）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，又∠ABC＝25°，∴∠CAB＝90°﹣25°＝65°，∵四边形ABEC是⊙O内接四边形，∴∠CEB+∠CAB＝180°，∴∠CEB＝180°﹣∠CAB＝115°；（2）证明：连接AI，∵点I为△ABC的内心，∴∠CAI＝∠BAI，∠ACI∴AD=∴∠DAB＝∠DCB＝∠ACI，AD＝BD，∵∠DAI＝∠DAB+∠BAI，∠DIA＝∠ACI+∠CAI，∴∠DAI＝∠DIA，∴DI＝DA；【点评】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内心性质、三角形的外角性质知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．20．（2025•南山区模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点F，过点D作⊙O的切线DE交CA的延长线于点E．（1）求证：AB∥DE；（2）连接AD，如果AB＝10，CD＝8，求DF的长．【考点】切线的性质；垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．【专题】圆的有关概念及性质．【答案】（1）见解析；（2）DF=【分析】（1）连接OD，证明∠AOD＝2∠ACD＝90°，由DE为⊙O的切线得到∠ODE＝90°，即可证明AB∥DE；（2）连接BD，求出AD=52．证明△ADF∽△CDA，则DFAD【解答】（1）证明：连接OD，如图．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠AOD＝2∠ACD＝90°，∵DE为⊙O的切线，∴∠ODE＝90°，∴∠AOD+∠ODE＝180°，∴AB∥DE；（2）解：连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠BAD＝∠BCD＝45°，AB＝10，∴AD=5∵∠BCD＝∠DCA＝∠BAD，∠ADF＝∠CDA，∴△ADF∽△CDA，∴DFAD∵AD=52，CD＝∴DF5∴DF=【点评】此题考查了切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质等知识，掌握以上性质是解题的关键．

考点卡片1．截一个几何体（1）截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．（2）截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形．2．等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．3．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．4．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．5．多边形内角与外角（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为整数）此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．（2）多边形的外角和等于360°．①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．6．圆的认识（1）圆的定义定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．（2）与圆有关的概念弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．7．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．8．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．9．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．10．点与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r②点P在圆上⇔d＝r①点P在圆内⇔d＜r（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．11．确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．12．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．13．切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．14．切线的判定（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（2）在应用判定定理时注意：①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明