2025年暑期新高一数学人教新版尖子生专题复习《相似》

第39页（共39页）2025年暑期新高一数学人教新版尖子生专题复习《相似》一．选择题（共10小题）1．（2025春•重庆期中）如图，正方形ABCD，连接BD，点E为BD上一点，连接CE，将线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，连接EF交CD于点G，若GEGF=3，则A．324 B．23 C．222．（2025春•迁安市期中）如图，△OA1B1是由△OAB的各顶点变化得到的，则各顶点变化情况是（）A．横坐标和纵坐标都加2 B．横坐标和纵坐标都乘以2 C．横坐标和纵坐标都除以2 D．横坐标和纵坐标都减23．（2025春•汝州市期中）如图，如果要从甲到乙，可经过的变化正确的是（）A．轴对称、平移 B．平移、轴对称 C．旋转、轴对称 D．平移、旋转4．（2025•南岗区模拟）据《墨经》记载，在两千多年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，阐释了光沿直线传播的原理．如图所示的小孔成像实验中，若蜡烛火焰的高度为4cm，蜡烛火焰的像的高度是8cm，物距为16cm，则像距是（）A．18cm B．20cm C．24cm D．32cm5．（2025•厦门模拟）如图，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且AD＝BE＝CF，若DE⊥BC，则△DEF与△ABC的面积比为（）A．12 B．22 C．13 6．（2025•腾冲市校级三模）今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？（注：1里＝300步）你的计算结果是：出南门几何步而见木（）A．300步 B．315步 C．400步 D．415步7．（2025春•青神县期中）如图，△ABC是等边三角形，被一平行于BC矩形所截，AB被截成三等分，图中阴影部分的面积是△ABC的面积的（）A．12 B．13 C．29 8．（2025•安阳县一模）如图为某农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.3m，踏板DE长为1.6m，支撑点A到踏脚D的距离为0.6m，现在踏脚着地，则捣头点E离地面的高度为（）A．0.6m B．0.8m C．1m D．1.2m9．（2025•祁阳市校级一模）如图平面直角坐标系中，A（0，7）、B(3，0)，C为线段OA上一个动点．以CB为边作直角三角形BCD，∠BCD＝90°且∠CBD＝60°，连接AD，当A．（0，3） B．(1，3+33) C．10．（2025春•达川区期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，给出以下结论：①BF＝AF；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④S△ABE＝S△BCE；⑤BH＝CH；⑥AD•BC＝AB•AC，⑦S△BHF＝S△CHE，其中结论错误的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（共5小题）11．（2025春•昌黎县期中）如图，在平面直角坐标系中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘12，将得到的点先向右平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度（m＞0，n＞0），得到正方形A'B'C'D'及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为A'，B'．已知正方形ABCD内部的一点F经过上述操作后得到的对应点F'与点F重合，则点F的坐标是12．（2025•祁阳市校级一模）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5-12，著名的“断臂维纳斯”便是如此，这个数我们把它叫做黄金分割数．若5-12介于整数n和n+1之间，则n的值是13．（2025•金凤区校级模拟）已知a4=b5=c6，且a﹣b+c＝10，则a+b﹣14．（2025•临沧模拟）如图，在锐角△ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时的运动时间为秒．15．（2025•方城县四模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，以AB为直径的⊙O交BC于点D，⊙O的切线DE交AC于点E，则DE的长为．三．解答题（共5小题）16．（2025春•陕西期中）大秦文明园的雕塑“秦简”，主体宛如风鸟展翅，喻秦之诞生；造型似旋转上升，喻秦之奋斗．莉莉和数学社团的成员想要用所学过的知识测量该雕塑的高度AB．小组成员在E处竖立一根长为3.5米的标杆EF，莉莉站在雕塑与标杆之间的点C处，看雕塑顶端A的仰角为∠ADH，原地转身再看标杆顶端F的仰角为∠FDG，发现∠ADH与∠FDG恰好互余，此时测得BC＝5m，CE＝6m．已知莉莉的眼睛到地面的距离CD＝1.5m．图中所有点均在同一平面内，点B、C、E在水平地面上的一条直线上，点D在HG上，点H、G分别在AB、EF上，AB⊥BE，CD⊥BE，EF⊥BE，GH∥BE，求该雕塑的高度AB．17．（2025春•成武县期中）如图，在△ABC中，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN．求证：（1）AB：AC＝AM：AN；（2）∠ANM＝∠ACB；（3）当∠A＝60°时，△PMN为等边三角形．18．（2025•盐池县一模）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．（1）请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的12，得到△A2B2C2，请在y轴右侧画出△A2B2C219．（2025•祁阳市校级一模）如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD＝BD，点E为边AD上一点，且DE＝DC，连接BE并延长，交AC于点F．（1）求证：△BED∽△AEF；（2）过点A作AG∥BC交BF的延长线于点G，连接CG，如图2．若DE2＝AE•AD，求证：四边形ADCG是矩形．20．（2024秋•谯城区期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，连接BE，交对角线AC于点F，且∠ACB＝∠ABE．（1）求证：AEBE（2）若AE＝2，EF＝1，AF=43

2025年暑期新高一数学人教新版尖子生专题复习《相似》参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案ABDDCBBBCD一．选择题（共10小题）1．（2025春•重庆期中）如图，正方形ABCD，连接BD，点E为BD上一点，连接CE，将线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，连接EF交CD于点G，若GEGF=3，则A．324 B．23 C．22【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质．【专题】矩形菱形正方形；图形的相似；运算能力．【答案】A【分析】如图，过点C作CH⊥EF于点H，根据旋转的性质以及等腰三角形的判定与性质可得EF＝4GF，EH＝HF＝2GF；设EH＝2HG＝2GF＝2m＝CH，由勾股定理可得CG=5m、CF=CE=22m，再证明△BCE∽△FCG易得【解答】解：如图，过点C作CH⊥EF于点H，∵将线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，∴CE＝CF，∠ECF＝90°，∴EH＝HF，∵GEGF∴GE＝3GF，∴EF＝4GF，EH＝HF＝2GF，设EH＝2HG＝2GF＝2m＝CH∴CG=CH∵∠EBC＝∠CFG＝45°，∠ECB＝∠FCG，∴△BCE∽△FCG，∴CFBC=∴BC=85∴正方形ABCD中，BD=∴ED=∴EDBC故选：A．【点评】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识为解题的关键．2．（2025春•迁安市期中）如图，△OA1B1是由△OAB的各顶点变化得到的，则各顶点变化情况是（）A．横坐标和纵坐标都加2 B．横坐标和纵坐标都乘以2 C．横坐标和纵坐标都除以2 D．横坐标和纵坐标都减2【考点】位似变换；坐标与图形性质．【专题】图形的相似；运算能力．【答案】B【分析】直接利用已知对应点坐标关系得出答案．【解答】解：由直角平面坐标系得出A（1，2），A1（2，4），B（2，1），B1（4，2），故对应点的横坐标和纵坐标都乘以2．故选：B．【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点坐标是解题关键．3．（2025春•汝州市期中）如图，如果要从甲到乙，可经过的变化正确的是（）A．轴对称、平移 B．平移、轴对称 C．旋转、轴对称 D．平移、旋转【考点】几何变换的类型．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【答案】D【分析】根据常见几何变换的特征即可解决问题．【解答】解：由所给图形可知，将甲图形先平移，再旋转可得到乙图形，只有D选项符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查了几何变换的类型，熟知常见几何变换的特征是解题的关键．4．（2025•南岗区模拟）据《墨经》记载，在两千多年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，阐释了光沿直线传播的原理．如图所示的小孔成像实验中，若蜡烛火焰的高度为4cm，蜡烛火焰的像的高度是8cm，物距为16cm，则像距是（）A．18cm B．20cm C．24cm D．32cm【考点】相似三角形的应用．【专题】图形的相似；几何直观；推理能力．【答案】D【分析】先证△BAO∽△CDO，再根据相似三角形的高的比等于相似比即可求解．【解答】解：如图，蜡烛火焰的高度为4cm，蜡烛火焰的像的高度是8cm，物距为16cm，∴AB＝4cm，OE＝16cm，CD＝8cm，AB∥CD，∴∠BAO＝∠CDO，∠ABO＝∠DCO，∴△BAO∽△CDO，∴OFOE=CD解得OF＝32cm，即像距是32cm．故选：D．【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的高的比等于相似比．5．（2025•厦门模拟）如图，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且AD＝BE＝CF，若DE⊥BC，则△DEF与△ABC的面积比为（）A．12 B．22 C．13 【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【专题】图形的全等；图形的相似；推理能力．【答案】C【分析】解直角三角形求得BD=233DE，AD＝BE=33DE，即可求得DEAB=33，由△ABC为等边三角形，点D、E、F分别在AB、BC、CA上，且AD＝BE＝CF，可证得∠A＝∠B＝∠C＝60°，BD＝CE＝AF，则可利用SAS判定△ADF≌△BED【解答】解：∵DE⊥BC，∠B＝60°，∴sin60°=DEBD=∴BD=233DE，AD＝BE∴AB＝BD+AD=3DE∴DEAB∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC，∵AD＝BE＝CF，∴BD＝CE＝AF，在△ADF和△BED和△CFE中，AD=∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），∴DE＝EF＝DF，∴△DEF是等边三角形，∵△ABC是等边三角形，∴△DEF∽△ABC，∴S△DEFSABC=（故选：C．【点评】此题考查了解直角三角形，相似三角形的判定以及等边三角形的判定与性质．注意证得△DEF是等边三角形是关键．6．（2025•腾冲市校级三模）今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？（注：1里＝300步）你的计算结果是：出南门几何步而见木（）A．300步 B．315步 C．400步 D．415步【考点】相似三角形的判定与性质；平行线的判定与性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的相似；运算能力；推理能力．【答案】B【分析】证明△BAC∽△CDE，得ABCD=AC【解答】解：如图，∵AC⊥AB，DE⊥CD，AC⊥CD，BE经过C点，∴CD∥AB，AC∥DE，∴∠CDE＝∠BAC＝90°，∠DEC＝∠ACB，∴△BAC∽△CDE，∴ABCD由题意可知，AC＝4.5里，CD＝3.5里，∴153.5解得：DE＝1.05（里）＝1.05×300＝315（步），即走出南门315步恰好能望见这棵树，故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．7．（2025春•青神县期中）如图，△ABC是等边三角形，被一平行于BC矩形所截，AB被截成三等分，图中阴影部分的面积是△ABC的面积的（）A．12 B．13 C．29 【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质；矩形的性质．【专题】图形的相似；应用意识．【答案】B【分析】根据题意，易证△AEH∽△AFG∽△ABC，利用相似三角形的性质解决问题即可．【解答】解：∵AB被截成三等分，∴△AEH∽△AFG∽△ABC，∴AEAF=1∴S△AFG：S△ABC＝4：9，S△AEH：S△ABC＝1：9，∴S阴影部分的面积=49S△ABC-19S△ABC=故选：B．【点评】本题主要考查了利用三等分点求得各相似三角形的相似比，从而求出面积比计算阴影部分的面积，难度适中．8．（2025•安阳县一模）如图为某农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.3m，踏板DE长为1.6m，支撑点A到踏脚D的距离为0.6m，现在踏脚着地，则捣头点E离地面的高度为（）A．0.6m B．0.8m C．1m D．1.2m【考点】相似三角形的应用．【专题】图形的相似；运算能力；应用意识．【答案】B【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：如图：∵AB∥EC，∴△DAB∽△DEC，∴AD：DE＝AB：EC，∴0.6：1.6＝0.3：EC，∴EC＝0.8米．∴捣头点E离地面的高度0.8米．故选：B．【点评】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，解答此题时只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出捣头点E上升的高度．9．（2025•祁阳市校级一模）如图平面直角坐标系中，A（0，7）、B(3，0)，C为线段OA上一个动点．以CB为边作直角三角形BCD，∠BCD＝90°且∠CBD＝60°，连接AD，当A．（0，3） B．(1，3+33) C．【考点】相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；垂线段最短；勾股定理；切线的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；几何直观；推理能力．【答案】C【分析】过点D作DE⊥y轴于点E，设OC＝m，证明△EDC∽△OCB得出EC=3OB=3，ED=3OC=3m，勾股定理求得AD【解答】解：平面直角坐标系中，A（0，7）、B(3，0)，∠BCD＝90°且∠CBD＝60°，如图，过点D作DE⊥∴∠DEC＝∠COB＝∠DCB＝90°，∴∠EDC＝90°﹣∠ECD＝∠OBC，∴△EDC∽△OCB，∴OBEC设OC＝m，∵B(∴OB=∴EC=3OB∵AE＝AO﹣EC﹣OC＝7﹣3﹣m＝4﹣m，在Rt△AED中，由勾股定理得：AD2＝ED2+AE2＝3m2+（7﹣3﹣m）2＝4m2﹣8m+16，∴m=--82×4=1∴ED=3，EO＝EC+CO＝1+3＝∴D(故选：C．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，坐标与图形性质，垂线段最短，勾股定理，切线的性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．10．（2025春•达川区期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，给出以下结论：①BF＝AF；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④S△ABE＝S△BCE；⑤BH＝CH；⑥AD•BC＝AB•AC，⑦S△BHF＝S△CHE，其中结论错误的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】D【分析】根据三角形的中线的性质判断①和④和⑦；根据直角三角形的两锐角互余以及对顶角相等判断②；根据角平分线的定义判断③，根据题意判断⑤，根据三角形的面积公式判断⑥．【解答】解：∵BE是△ABC的中线，∴S△ABE＝S△BCE，故④正确；∵CF是角平分线，∴∠ACF＝∠BCF，∵AD⊥BC，∴∠BCF+∠CGD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ACF+∠AFG＝90°，∴∠CGD＝∠AFG，∵∠CGD＝∠AGF，∴∠AGF＝∠AFG，故②正确；∵AD⊥BC，∠BAC＝90°，∴∠FAG＝∠ACB＝2∠ACF，故③正确；由已知条件不能确定∠HBC＝∠HCB，∴不能得出BH＝CH，故⑤错误；∵F不一定是AB的中点，∴不能得出BF＝AF，故①错误；∴不能得出S△CFA=12S△∴不能得出S△CFA＝S△BAE，∴不能得出S△CFA﹣S四边形AFHE＝S△BAE﹣S四边形AFHE，即不能得出S△BHF＝S△CHE，故⑦错误；∵AD⊥BC，∠BAC＝90°，∴S△ABC=12AB•AC=12∴AD•BC＝AB•AC，故⑥正确；综上可知，正确的有②③④⑥，故选：D．【点评】本题考查三角形的角平分线、中线和高，三角形的面积，掌握它们的定义是解题的关键．二．填空题（共5小题）11．（2025春•昌黎县期中）如图，在平面直角坐标系中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘12，将得到的点先向右平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度（m＞0，n＞0），得到正方形A'B'C'D'及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为A'，B'．已知正方形ABCD内部的一点F经过上述操作后得到的对应点F'与点F重合，则点F的坐标是（1，4）【考点】位似变换；正方形的性质；坐标与图形变化﹣平移．【专题】图形的相似；运算能力．【答案】（1，4）．【分析】首先根据点A到A′，B到B′的点的坐标可得方程组-3a+m=-10×a+n=2，3a+m=20×a+【解答】解：把每个点的横、纵坐标都乘12，将得到的点先向右平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度（m＞0，n＞0），得到正方形A'B'C'D'由点A到A′，可得方程组-3由B到B′可得方程组3a解得a=设F点的坐标为（x，y），点F′点F重合得到方程组12解得x=1故答案为：（1，4）．【点评】本题综合考查了数形结合及方程思想，结合图象，利用已知点得出平移规律，再根据题意，利用方程达到解决问题的目的，正确进行计算是解题关键．12．（2025•祁阳市校级一模）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5-12，著名的“断臂维纳斯”便是如此，这个数我们把它叫做黄金分割数．若5-12介于整数n和n+1之间，则n的值是【考点】黄金分割；估算无理数的大小．【专题】实数；图形的相似；运算能力．【答案】0．【分析】先估计5，再求n值．【解答】解：∵2＜5＜∴1＜5-1＜∴12∵n＜5-12＜∴n＝0．故答案为：0．【点评】本题考查无理数的估计，正确判断5的范围是求解本题的关键．13．（2025•金凤区校级模拟）已知a4=b5=c6，且a﹣b+c＝10，则a+b﹣【考点】比例的性质．【答案】见试题解答内容【分析】根据等比性质，可得a4【解答】解：由等比性质，得a4=a4=由等式的性质，得a+b﹣c＝2×3＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了比例的性质，利用等比性质是解题关键，又利用了等式的性质．14．（2025•临沧模拟）如图，在锐角△ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时的运动时间为3或4.8秒．【考点】相似三角形的判定．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】3或4.8．【分析】如果以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，由于A与A对应，那么分两种情况：①D与B对应；②D与C对应．根据相似三角形的性质分别作答．【解答】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则AD＝t，CE＝2t，AE＝AC﹣CE＝12﹣2t．①当D与B对应时，有△ADE∽△ABC．∴AD：AB＝AE：AC，∴t：6＝（12﹣2t）：12，∴t＝3；②当D与C对应时，有△ADE∽△ACB．∴AD：AC＝AE：AB，∴t：12＝（12﹣2t）：6，∴t＝4.8．所以当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．故答案为：3或4.8．【点评】本题考查了方程的应用，相似三角形的对应边成比例的性质．本题分析出以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，有两种情况是解决问题的关键．15．（2025•方城县四模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，以AB为直径的⊙O交BC于点D，⊙O的切线DE交AC于点E，则DE的长为6013【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；切线的性质．【专题】与圆有关的计算；运算能力．【答案】6013【分析】根据AB为直径，得出∠ADB＝90°，根据AB＝AC，得出∠B=∠C，BD=CD=12BC=5，根据勾股定理求出AD=AC2【解答】解：如图，连接AD，OD，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD，∵AB＝AC，∴∠B∴AD=∵DE是切线，∴OD⊥DE，∴∠ODA+∠ADE＝90°，∵∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠ODA＝∠CDE，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∵∠CDE+∠C＝∠OAD+∠B＝90°，∴DE⊥AC，∵S△∴DE=故答案是：6013【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质等，勾股定理，作出辅助线，构造直角三角形是求解的关键．三．解答题（共5小题）16．（2025春•陕西期中）大秦文明园的雕塑“秦简”，主体宛如风鸟展翅，喻秦之诞生；造型似旋转上升，喻秦之奋斗．莉莉和数学社团的成员想要用所学过的知识测量该雕塑的高度AB．小组成员在E处竖立一根长为3.5米的标杆EF，莉莉站在雕塑与标杆之间的点C处，看雕塑顶端A的仰角为∠ADH，原地转身再看标杆顶端F的仰角为∠FDG，发现∠ADH与∠FDG恰好互余，此时测得BC＝5m，CE＝6m．已知莉莉的眼睛到地面的距离CD＝1.5m．图中所有点均在同一平面内，点B、C、E在水平地面上的一条直线上，点D在HG上，点H、G分别在AB、EF上，AB⊥BE，CD⊥BE，EF⊥BE，GH∥BE，求该雕塑的高度AB．【考点】相似三角形的应用；余角和补角．【专题】图形的相似．【答案】该雕塑的高度AB为16.5m．【分析】根据题意证出△ADH∽△DFG，利用相似三角形的性质得出AH＝15，即可求出结果．【解答】解：由题意知，四边形BHDC、四边形CDGE、四边形BEGH均为矩形，BC＝5m，CE＝6m．∴DH＝BC＝5m，DG＝CE＝6m，∴BH＝CD＝EG＝1.5（m），FG＝EF﹣CD＝3.5﹣1.5＝2（m），∵∠ADH与∠FDG互余，∠ADH+∠A＝90°，∴∠ADH+∠FDG＝90°，∴∠A＝∠FDG，∵∠AHD＝∠DGF＝90°，∴△ADH∽△DFG，∴AHDG=DH解得AH＝15，∴AB＝AH+BH＝15+1.5＝16.5（m），答：该雕塑的高度AB为16.5m．【点评】本题主要考查相似三角形判定与性质，余角和补角，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．17．（2025春•成武县期中）如图，在△ABC中，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN．求证：（1）AB：AC＝AM：AN；（2）∠ANM＝∠ACB；（3）当∠A＝60°时，△PMN为等边三角形．【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定；直角三角形斜边上的中线．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】见解析．【分析】（1）证明△ABM∽△ACN，可得结论；（2）证明△ABC∽△AMN，可得∠ABC＝∠AMN（3）证明∠MPN＝60°，PM＝PN可得结论．【解答】证明：（1）∵BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，∴∠AMB＝∠ANC＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ABM∽△ACN，∴AB：AC＝AM+AN；（2）∵AN：AC＝AM：AB，∠A＝∠A，∴△ABC∽△AMN，∴∠ABC＝∠AMN（3）∵∠A＝60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，∴∠ABM＝∠ACN＝30°，在△ABC中，∠BCN+∠CBM＝180°﹣60°﹣30°×2＝60°，∵点P是BC的中点，BM⊥AC，CN⊥AB，∴PM＝PN＝PB＝PC，∴∠BPN＝2∠BCN，∠CPM＝2∠CBM，∴∠BPN+∠CPM＝2（∠BCN+∠CBM）＝2×60°＝120°，∴∠MPN＝60°，∴△PMN是等边三角形．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，仔细分析图形并熟练掌握性质是解题的关键．18．（2025•盐池县一模）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．（1）请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的12，得到△A2B2C2，请在y轴右侧画出△A2B2C2【考点】作图﹣位似变换；作图﹣平移变换．【专题】作图题；平移、旋转与对称；图形的相似；几何直观．【答案】（1）作图见解答过程；（2）作图见解答过程．【分析】（1）利用平移的性质得出对应点位置进而画出图形；（2）利用位似变换得出对应点位置进而画出图形．【解答】解：（1）△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1，如图1即为所求．（2）如图2：△A2B2C2，即为所求．【点评】此题主要考查了作图﹣位似变换，作图﹣平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．19．（2025•祁阳市校级一模）如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD＝BD，点E为边AD上一点，且DE＝DC，连接BE并延长，交AC于点F．（1）求证：△BED∽△AEF；（2）过点A作AG∥BC交BF的延长线于点G，连接CG，如图2．若DE2＝AE•AD，求证：四边形ADCG是矩形．【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定．【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；多边形与平行四边形；矩形菱形正方形；图形的相似；推理能力．【答案】（1）见解答过程；（2）见解答过程．【分析】（1）先证明△ACD≌△BED得出∠EBD＝∠CAD，再由对顶角的性质，即可证明△BED∽△AEF；（2）先证明△AEG∽△DCA，得出AEDC=AGAD，进而得出AE•AD＝DC•AG，由DE2＝AE•AD，DE＝DC，得出DC＝AG，继而证明四边形【解答】证明：（1）如图1，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠BDE＝90°，∵AD＝BD，DC＝DE，∴△ACD≌△BED（SAS），∴∠EBD＝∠CAD，∵∠BED＝∠AEF，∴△BED∽△AEF；（2）如图2，∵AG∥BC，∴∠AGE＝∠EDB，∵∠EBD＝∠CAD，∴∠AGE＝∠CAD，∵∠AEG＝∠BED＝∠ACD，∴△AEG∽△DCA，∴AEDC∴AE•AD＝DC•AG，∵DE2＝AE•AD，∴DC•AG＝DE2，∵DE＝DC，∴DC•AG＝DC2，∴DC＝AG，∵AG∥DC，∴四边形ADCG是平行四边形，∵AD⊥BC，∴四边形ADCG是矩形．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定，掌握全等三角形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定方法是解决问题的关键．20．（2024秋•谯城区期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，连接BE，交对角线AC于点F，且∠ACB＝∠ABE．（1）求证：AEBE（2）若AE＝2，EF＝1，AF=43【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】多边形与平行四边形；解直角三角形及其应用；几何直观；推理能力．【答案】（1）见解析；（2）4．【分析】（1）先由平行四边形的性质得到AD∥BC，进而根据平行线的性质和已知条件得到∠EAF＝∠ABE，进而证明△AEF∽△BEA，再根据相似三角形的性质即可证明结论；（2）由（1）可得AEBE=EFAE，再结合已知条件可得BE＝4，进而得到BF＝3，再证明△【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，交对角线AC于点F，且∠ACB＝∠ABE，∴AD∥BC，∴∠EAF＝∠ACB；∴∠EAF＝∠ABE，∵∠AEF＝∠BEA，∴△AEF∽△BEA，∴AEBE（2）解：∵AE=2由（1）知：AEBE=EF∴BE＝4，∴BF＝BE﹣EF＝3，∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴AFFC=EF解得：FC＝4．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．

考点卡片1．估算无理数的大小估算无理数大小要用逼近法．思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．2．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．3．余角和补角（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．4．垂线段最短（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．（2）垂线段的性质：垂线段最短．正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．5．平行线的判定与性质（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．（3）平行线的判定与性质的联系与区别区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．6．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．7．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE8．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．9．等腰三角形的判定与性质1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．10．等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．11．等边三角形的判定（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．12．直角三角形斜边上的中线（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可以用来判定直角三角形．13．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．14．平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．15．矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．16．矩形的判定（1）矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．17．正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．18．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．19．切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．20．坐标与图形变化-平移（1）平移变换与坐标变化①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）21．作图-平移变换（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．22．旋转的性质（1）旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．23．几何变换的类型（1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．（2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．（3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．（4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上