2025年暑期新初三数学人教新版尖子生专题复习《整式的乘法与因式分解》

第25页（共25页）2025年暑期新初三数学人教新版尖子生专题复习《整式的乘法与因式分解》一．选择题（共10小题）1．（2025春•云溪区期中）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．a3÷a＝a3 C．(-12a)3=-16a3 D2．（2025春•蓝山县期中）如图：有A，B，C三类卡片，分别是边长为a的正方形，长为a，宽为b的长方形，边长为b的正方形，现有4张A卡片，6张B卡片，9张C卡片，取其中的若干张卡片拼成无缝隙不重叠的正方形或长方形，下列说法不正确的是（）A．可拼成边长为a+3b的正方形 B．可拼成长、宽分别为2a+b，a+3b的长方形 C．可拼成长、宽分别为a+b，a+2b的长方形 D．可拼成面积为（2a+b）2的正方形3．（2025春•安国市期中）已知（x﹣2023）2+（x﹣2027）2＝38，则（x﹣2025）2的值是（）A．11 B．13 C．15 D．194．（2024秋•雁江区校级期末）从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（）A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）5．（2025春•宁国市期中）如图，用A类、B类正方形卡片和C类长方形卡片各若干张，拼一个长为（a+4b）、宽为（a+3b）的大长方形，则需要C类卡片的张数为（）A．12 B．10 C．7 D．66．（2025•睢县一模）如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分按照图中的线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2+b2＝（a+b）2﹣2ab7．（2025春•萧山区期中）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、53个，先从甲袋中取出2x个球放入乙袋，再从乙袋中取出2y个球放入丙袋，最后从丙袋中取出（2x+2y）球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则2x+y的值等于（）A．512 B．128 C．64 D．328．（2025春•沙坪坝区校级期中）若关于x的二次三项式x2﹣（k﹣2）x+16是一个完全平方式，那么常数k的值是（）A．﹣6 B．6 C．10或﹣6 D．±69．（2025春•滦南县期中）若（﹣xm）n＝xmn（m，n为正整数），下列判断正确的是（）A．m一定为偶数 B．n一定为偶数 C．m，n一定都为奇数 D．m，n一定都为偶数10．（2025春•沙坪坝区校级期中）关于x的多项式，A＝8x3﹣12x2+6x﹣1＝a（x﹣1）3+b（x﹣1）2+c（x﹣1）+d，B＝x2+ex+f（其中a，b，c，d，e，f均为常数），下列说法中正确的有（）①当B能被（x﹣3）整除时，3e+f＝﹣9；②当多项式A与B的乘积中不含x4项时，e=③a+b+c＝26．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二．填空题（共5小题）11．（2025春•颍上县期中）已知甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m＞1），甲、乙的面积分别为S1，S2．（1）比较S1与S2的大小：S1S2（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）若满足条件|S1﹣S2|≤n＜2025的整数n有且只有3个，则整数m的值为．12．（2025春•瑞安市期中）已知关于x的多项式ax+b与3x2﹣x﹣2的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项的系数为﹣7，则ab的值为．13．（2025春•洪江市期中）如图，两个正方形的边长分别为a，b（a＞b），若a+b＝10，ab＝6，则阴影部分的面积为．14．（2025春•兴宾区期中）计算：(12)2024×215．（2025春•蒲城县期中）公园里有一块长为2xm，宽为xm的长方形花坛，现在要把花坛四周均向外扩展，扩展后的长方形花坛的长为（2x+2y）m，宽为（x+2y）m，则扩展后的长方形花坛的面积比扩展前的长方形花坛的面积增加了m2．三．解答题（共5小题）16．（2025春•覃塘区期中）综合实践题小明和小红学习了用图形面积研究整式乘法的方法后，分别进行了如下数学探究：材料准备：准备三根长度均为L的铁丝．探究1：小明先将第一根铁丝截成两段（4a和4b），分别围成边长为a和b的正方形；再将第二根铁丝均分（每段2a+2b），围成两个长为b、宽为a的长方形（如图1：两个正方形和两个长方形示意图）．探究2：小红用第三根铁丝直接围成边长为（a+b）的大正方形（如图2：大正方形示意图）．（1）用S1表示小明做的2个正方形和2个长方形的面积和，用S2表示小红做的正方形的面积，则S1＝；S2＝．（2）通过图形拼合（如图3）猜想S1与S2的关系，并用含a、b的式子写出数量关系；（3）应用：根据（2）中的等量关系，试解决如下问题：①已知：a+b＝7，a2+b2＝19，求ab的值；②已知（2024﹣x）2+（x﹣2025）2＝7，求（2024﹣x）（x﹣2025）的值．17．（2025春•砀山县期中）已知2m＝3，2n＝9，2p＝81．（1）求4m的值；（2）求4m+n﹣p的值；（3）字母m，n，p之间的数量关系为．18．（2025春•枣庄期中）如图，某小区有一块长为（2a+4b）m，宽为（2a﹣b）m的长方形地，角上有四个边长为（a﹣b）m的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化．（1）用含有a，b的式子表示绿化的面积（结果写成最简形式）；（2）物业找来阳光绿化团队完成此项绿化任务，已知该团队每小时可绿化30m2，每小时收费30a元，则该物业应该支付绿化团队多少元（用含a，b的代数式表示）？19．（2025春•汉台区校级期中）在计算（2x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到的结果是2x2+8x﹣24，乙错把a看成了﹣a，得到的结果是2x2+14x+20．（1）求a、b的值；（2）将a，b的值代入（2x+a）（x+b）并化简，求出正确的结果．20．（2025春•汉中期中）如图，某区有一块长为（6a﹣2b）米，宽为（4a﹣2b）米的长方形广场，规划部门计划在广场内部A、B两个正方形区域修建凉亭，其余部分进行绿化，A、B两个正方形区域的边长均为a米．（1）用含有a，b的式子表示绿化的总面积；（结果化成最简形式）（2）若a＝2，b＝1，绿化成本为100元/每平方米，则完成绿化工程共需要多少元？

2025年暑期新初三数学人教新版尖子生专题复习《整式的乘法与因式分解》参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案DBCDCCBCBD一．选择题（共10小题）1．（2025春•云溪区期中）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．a3÷a＝a3 C．(-12a)3=-16a3 D【考点】同底数幂的除法；整式的加减；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【专题】整式；运算能力．【答案】D【分析】根据同底数幂的乘法、除法，积的乘方，去括号法则等知识点，逐项判断即可解答．【解答】解：根据同底数幂的乘法、除法，积的乘方，去括号法则等知识点逐项分析判断如下：A、a2•a3＝a5，故A选项错误；B、a3÷a＝a2，故B选项错误；C、(-12D、a﹣（b﹣a）＝a﹣b+a＝2a﹣b，故D选项正确；故选：D．【点评】本题考查了同底数幂的乘法、除法，积的乘方，去括号法则，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．2．（2025春•蓝山县期中）如图：有A，B，C三类卡片，分别是边长为a的正方形，长为a，宽为b的长方形，边长为b的正方形，现有4张A卡片，6张B卡片，9张C卡片，取其中的若干张卡片拼成无缝隙不重叠的正方形或长方形，下列说法不正确的是（）A．可拼成边长为a+3b的正方形 B．可拼成长、宽分别为2a+b，a+3b的长方形 C．可拼成长、宽分别为a+b，a+2b的长方形 D．可拼成面积为（2a+b）2的正方形【考点】完全平方式；完全平方公式的几何背景．【专题】整式；应用意识．【答案】B【分析】对于A，求出正方形得面积是a2+6ab+9b2，需要1张A卡片，6张B卡片，9张C卡片；对于B，求出长方形得面积是2a2+7ab+3b2，需要2张A卡片，7张B卡片，3张C卡片；对于C，求出长方形得面积是a2+3ab+2b2，需要1张A卡片，3张B卡片，2张C卡片；对于D，求出正方形得面积是4a2+4ab+b2，即需要4张A卡片，4张B卡片，1张C卡片，据此选择．【解答】解：对于A，（a+3b）（a+3b）＝a2+6ab+9b2，即需要1张A卡片，6张B卡片，9张C卡片，故A正确；对于B，（2a+b）（a+3b）＝2a2+7ab+3b2，即需要2张A卡片，7张B卡片，3张C卡片，故B不正确；对于C，（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，即需要1张A卡片，3张B卡片，2张C卡片，故C正确；对于D，（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，即需要4张A卡片，4张B卡片，1张C卡片，故D正确．故选：B．【点评】本题考查了完全平方公式、完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是求出拼成的图形的面积．3．（2025春•安国市期中）已知（x﹣2023）2+（x﹣2027）2＝38，则（x﹣2025）2的值是（）A．11 B．13 C．15 D．19【考点】完全平方公式．【专题】整式；运算能力．【答案】C【分析】根据题意，设t＝x﹣2025，则x＝t+2025，将原式中的两个平方项转化为关于t的表达式，展开化简得出t2＝15，把x＝t+2025代入（x﹣2025）2进而得出答案．【解答】解：设t＝x﹣2025，则x＝t+2025，∴（x﹣2023）2＝（t+2025﹣2023）2＝（t+2）2，（x﹣2027）2＝（t+2025﹣2027）2＝（t﹣2）2，∵（x﹣2023）2+（x﹣2027）2＝38，∴（t+2）2+（t﹣2）2＝38，∴t2+4t+4+（t2﹣4t+4）＝38，∴t2+4t+4+t2﹣4t+4＝38，∴2t2+8＝38，解得：t2＝15，∴（x﹣2025）2＝（t+2025﹣2025）2＝t2＝15．故选：C．【点评】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键．4．（2024秋•雁江区校级期末）从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（）A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）【考点】平方差公式的几何背景．【专题】整式；运算能力．【答案】D【分析】运用不同方法表示阴影部分面积即可得到结论．【解答】解：图1中阴影部分的面积为：a2﹣b2，图2中阴影部分的面积为：（a+b）（a﹣b），∵两图中阴影部分的面积相等，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），∴可以验证成立的公式为a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选：D．【点评】本题主要考查了平方差公式的几何背景，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．5．（2025春•宁国市期中）如图，用A类、B类正方形卡片和C类长方形卡片各若干张，拼一个长为（a+4b）、宽为（a+3b）的大长方形，则需要C类卡片的张数为（）A．12 B．10 C．7 D．6【考点】多项式乘多项式．【专题】整式；运算能力．【答案】C【分析】根据拼成长方形的面积得到所需图形的个数即可求解．【解答】解：拼成长方形的面积（a+4b）（a+3b）＝a2+7ab+12b2，∴需要A类1个，B类12个，C类7个，故选：C．【点评】本题考查了整式的乘法运图形面积的计算，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．6．（2025•睢县一模）如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分按照图中的线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2+b2＝（a+b）2﹣2ab【考点】平方差公式的几何背景．【专题】整式；运算能力．【答案】C【分析】利用两种方法表示出图形的面积，即可得解．【解答】解：在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），∴第一个图形中剩余的面积为：a2﹣b2，由第一个图形可知，大平行四边形的高为：a﹣b，∴第二个图形的大平行四边形的面积为（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；故选：C．【点评】本题考查平方差公式的几何背景，利用两种方法表示出图形的面积是解答本题的关键．7．（2025春•萧山区期中）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、53个，先从甲袋中取出2x个球放入乙袋，再从乙袋中取出2y个球放入丙袋，最后从丙袋中取出（2x+2y）球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则2x+y的值等于（）A．512 B．128 C．64 D．32【考点】同底数幂的乘法．【专题】整式；运算能力．【答案】B【分析】先表示出调整后三个袋子中的球的数量，再根据球的总数和三只袋中球的个数相同得到5+2y＝37，53﹣2x＝37，则2x＝32，2y＝16，再由2x+y＝2x•2y进行求解即可．【解答】解：调整后，甲袋中有29﹣2x+2x+2y＝（29+2y）个球，乙袋中有（29+2x﹣2y）个球，丙袋中有53+2y﹣2x﹣2y＝（53﹣2x）个球．∵一共有53+53+5＝111球，且调整后三只袋中球的个数相同，∴调整后每只袋中有111÷3＝37（个）球，∴29+2y＝37，53﹣2x＝37，∴2x＝16，2y＝8，∴2x+y＝2x•2y＝8×16＝128．故选：B．【点评】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，掌握同底数幂的运算性质是解题的关键．8．（2025春•沙坪坝区校级期中）若关于x的二次三项式x2﹣（k﹣2）x+16是一个完全平方式，那么常数k的值是（）A．﹣6 B．6 C．10或﹣6 D．±6【考点】完全平方式．【专题】整式；运算能力．【答案】C【分析】利用完全平方式的特征解答即可．【解答】解：∵关于x的二次三项式x2﹣（k﹣2）x+16是一个完全平方式，∴[﹣（k﹣2）]2﹣4×1×16＝0，∴k﹣2＝±8，∴k＝10或﹣6．故选：C．【点评】本题主要考查了完全平方式的特征，熟练掌握完全平方式的特征是解题的关键．9．（2025春•滦南县期中）若（﹣xm）n＝xmn（m，n为正整数），下列判断正确的是（）A．m一定为偶数 B．n一定为偶数 C．m，n一定都为奇数 D．m，n一定都为偶数【考点】幂的乘方与积的乘方．【专题】整式；运算能力．【答案】B【分析】根据积的乘方，幂的乘方运算法则计算即可．【解答】解：（﹣xm）n＝（﹣1）n•xmn，∵（﹣xm）n＝xmn，∴（﹣1）n＝1，∴n一定为偶数，故选：B．【点评】本题考查了积的乘方，幂的乘方运算，熟记运算法则是解题关键．10．（2025春•沙坪坝区校级期中）关于x的多项式，A＝8x3﹣12x2+6x﹣1＝a（x﹣1）3+b（x﹣1）2+c（x﹣1）+d，B＝x2+ex+f（其中a，b，c，d，e，f均为常数），下列说法中正确的有（）①当B能被（x﹣3）整除时，3e+f＝﹣9；②当多项式A与B的乘积中不含x4项时，e=③a+b+c＝26．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【考点】整式的除法；整式的加减；单项式乘多项式．【专题】整式；运算能力．【答案】D【分析】①若B能被（x﹣3）整除，则x＝3时，B＝0，即9+3e+f＝0，故3e+f＝﹣9，结论①正确；②求出多项式A与B的乘积中的x4项，使其系数为0，即可得出e的值，进而判断结论②正确；③利用完全立方公式和完全平方公式将A进行化简，从而可求出a，b，c的值．【解答】解：①当B能被（x﹣3）整除时，若x＝3，则B＝0，即9+3e+f＝0，∴3e+f＝﹣9，故结论①正确；②∵A＝8x3﹣12x2+6x﹣1，B＝x2+ex+f，∴多项式A与B的乘积中x4项为：8x3•ex+（﹣12x2）•x2＝（8e﹣12）x4，当多项式A与B的乘积中不含x4项时，8e﹣12＝0，即e=3故结论②正确；③a（x﹣1）3+b（x﹣1）2+c（x﹣1）+d＝a（x3﹣3x2+3x+1）+b（x2﹣2x+1）+cx﹣c+d＝ax3﹣（3a﹣b）x2+（3a﹣2b+c）x+a+b﹣c+d，∵A＝8x3﹣12x2+6x﹣1＝a（x﹣1）3+b（x﹣1）2+c（x﹣1）+d，∴a＝8，3a﹣b＝12，3a﹣2b+c＝6，∴a＝8，b＝12，c＝6，∴a+b+c＝26，故结论③正确，故选：D．【点评】本题考查了多项式的整除性质、乘法以及恒等变形等相关知识，考查了学生对相关知识的掌握程度和综合运用能力．二．填空题（共5小题）11．（2025春•颍上县期中）已知甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m＞1），甲、乙的面积分别为S1，S2．（1）比较S1与S2的大小：S1＜S2（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）若满足条件|S1﹣S2|≤n＜2025的整数n有且只有3个，则整数m的值为2023．【考点】多项式乘多项式．【专题】整式；运算能力．【答案】（1）＜；（2）2023．【分析】（1）根据题意得出S1=(m+2)(m（2）|S1﹣S2|＝|﹣m+1|＝m﹣1．由m﹣1≤n＜2025的整数n有且只有3个，知这3个整数解为2024，2023，2022，再根据2021＜m﹣1≤2022可得答案．【解答】解：（1）因为S1=(m所以S1因为m＞1，所以﹣m+1＜0，所以S1﹣S2＜0，所以S1＜S2；（2）由（1），得|S1﹣S2|＝|﹣m+1|＝m﹣1．因为m﹣1≤n＜2025的整数n有且只有3个，所以这3个整数解为2024，2023，2022，所以2021＜m﹣1≤2022，解得2022＜m≤2023．因为m为整数，所以m＝2023．【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式法则及作差法比较大小的方法．12．（2025春•瑞安市期中）已知关于x的多项式ax+b与3x2﹣x﹣2的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项的系数为﹣7，则ab的值为3．【考点】多项式乘多项式．【专题】整式；运算能力．【答案】3．【分析】根据题意，把（ax+b）•（3x2﹣x﹣2）展开后，其二次项的系数为0，一次项的系数为﹣7，求得a，b的值，得到结果．【解答】解：（ax+b）•（3x2﹣x﹣2）＝6ax3﹣ax2﹣2ax+3bx2﹣bx﹣2b＝6ax3+（3b﹣a）x2+（﹣2a﹣b）x﹣2b，∵展开式中不含x的二次项，且一次项的系数为﹣7，∴3b﹣a＝0，﹣2a﹣b＝﹣7，解得a＝3，b＝1，∴ab＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了整式的运算，多项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．13．（2025春•洪江市期中）如图，两个正方形的边长分别为a，b（a＞b），若a+b＝10，ab＝6，则阴影部分的面积为41．【考点】完全平方公式的几何背景．【专题】应用题；转化思想；整体思想；运算能力．【答案】41【分析】把阴影部分的面积转化成两个正方形的面积之和减去△ABD的面积再减去△BEF的面积，形成关于a，b的代数式，再逆用完全平方公式把代数式转化成a+b与ab的形式，然后代入求值．【解答】解：S阴影＝S大正方形+S小正方形﹣S△ABD﹣S△BEF＝a2+b2-12a2-12b（=12a2+12=12（a2+b2+2ab）=12（a+b）2∵a+b＝10，ab＝6；∴原式=12×10=12×＝41故答案为：41．【点评】该题考查了不规则图形面积的求法与完全平方公式的逆用，解题的关键是把不规则图形面积转化为规则图形的面积减去规则图形的面积．14．（2025春•兴宾区期中）计算：(12)2024×2【考点】幂的乘方与积的乘方．【专题】实数；运算能力．【答案】2．【分析】根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法运算法则计算即可．【解答】解：原式＝（12）2024×22024×＝（12×2）2024＝2．故答案为：2．【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法运算法则是解题的关键．15．（2025春•蒲城县期中）公园里有一块长为2xm，宽为xm的长方形花坛，现在要把花坛四周均向外扩展，扩展后的长方形花坛的长为（2x+2y）m，宽为（x+2y）m，则扩展后的长方形花坛的面积比扩展前的长方形花坛的面积增加了（6xy+4y2）m2．【考点】多项式乘多项式．【专题】整式；运算能力．【答案】（6xy+4y2）．【分析】根据长方形面积计算公式分别求出扩展前后图形的面积，二者相减即可得到答案．【解答】解：根据长方形面积计算公式可得：（2x+2y）（x+2y）﹣2x•x＝（6xy+4y2）m2，∴扩展后的长方形花坛的面积比扩展前的长方形花坛的面积增加了（6xy+4y2）m2，故答案为：（6xy+4y2）．【点评】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，熟练掌握该知识点是关键．三．解答题（共5小题）16．（2025春•覃塘区期中）综合实践题小明和小红学习了用图形面积研究整式乘法的方法后，分别进行了如下数学探究：材料准备：准备三根长度均为L的铁丝．探究1：小明先将第一根铁丝截成两段（4a和4b），分别围成边长为a和b的正方形；再将第二根铁丝均分（每段2a+2b），围成两个长为b、宽为a的长方形（如图1：两个正方形和两个长方形示意图）．探究2：小红用第三根铁丝直接围成边长为（a+b）的大正方形（如图2：大正方形示意图）．（1）用S1表示小明做的2个正方形和2个长方形的面积和，用S2表示小红做的正方形的面积，则S1＝a2+b2+2ab；S2＝（a+b）2．（2）通过图形拼合（如图3）猜想S1与S2的关系，并用含a、b的式子写出数量关系；（3）应用：根据（2）中的等量关系，试解决如下问题：①已知：a+b＝7，a2+b2＝19，求ab的值；②已知（2024﹣x）2+（x﹣2025）2＝7，求（2024﹣x）（x﹣2025）的值．【考点】完全平方式；多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景．【专题】整式；运算能力．【答案】（1）a2+b2+2ab，（a+b）2；（2）S1＝S2，a2+b2+2ab，（a+b）2；（3）①15；②﹣3．【分析】（1）根据图形，求出S1＝a2+b2+2ab，S2＝（a+b）2；（2）结合图形，因为S1＝a2+b2+2ab，S2＝（a+b）2，可得S1＝S2，即（a+b）2＝a2+b2+2ab；（3）①因为a+b＝7，a2+b2＝19，所以ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]÷2，代入数据计算即可；②（2024﹣x）2+（x﹣2025）2＝7，设2024﹣x＝a，x﹣2025＝b，则a2+b2＝7，a+b＝﹣1，（2024﹣x）（x﹣2025）＝ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]÷2，代入计算即可．【解答】解：（1）S1＝a2+b2+2ab，S2＝（a+b）2；故答案为：a2+b2+2ab，（a+b）2；（2）S1＝S2，（a+b）2＝a2+b2+2ab；（3）①因为a+b＝7，a2+b2＝19，所以ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]÷2＝[72﹣19]÷2＝30÷2＝15；②（2024﹣x）2+（x﹣2025）2＝7，设2024﹣x＝a，x﹣2025＝b，则a2+b2＝7，a+b＝﹣1，（2024﹣x）（x﹣2025）＝ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]÷2＝[1﹣7]÷2＝﹣3．【点评】本题考查了完全平方式、多项式乘多项式、完全平方公式的几何背景，熟练运用完全平方公式是解决本题的关键．17．（2025春•砀山县期中）已知2m＝3，2n＝9，2p＝81．（1）求4m的值；（2）求4m+n﹣p的值；（3）字母m，n，p之间的数量关系为p＝2m+n．【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【专题】整式；运算能力．【答案】（1）9；（2）19（3）p＝2m+n．【分析】（1）根据幂的乘方进行计算即可；（2）将原式化为（2m）2•（2n）2÷（2p）2代入计算即可；（3）根据幂的乘方得到22m+n＝2p即可．【解答】解：（1）∵2m＝3，∴4m＝（22）m＝（2m）2＝32＝9；（2）∵2m＝3，2n＝9，2p＝81，∴4m+n﹣p＝4m•4n÷4p＝（2m）2•（2n）2÷（2p）2＝32×92÷812=9×9×9=1（3）∵32×9＝81，即（2m）2•2n＝2p，∴22m+n＝2p，∴2m+n＝p，即字母m，n，p之间的数量关系为p＝2m+n，故答案为：p＝2m+n．【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方D的计算方法是正确解答的关键．18．（2025春•枣庄期中）如图，某小区有一块长为（2a+4b）m，宽为（2a﹣b）m的长方形地，角上有四个边长为（a﹣b）m的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化．（1）用含有a，b的式子表示绿化的面积（结果写成最简形式）；（2）物业找来阳光绿化团队完成此项绿化任务，已知该团队每小时可绿化30m2，每小时收费30a元，则该物业应该支付绿化团队多少元（用含a，b的代数式表示）？【考点】完全平方公式的几何背景；多项式乘多项式．【专题】整式；运算能力．【答案】（1）（14ab﹣8b2）m2；（2）（14a2b﹣8ab2）元．【分析】（1）根据绿化面积等于长方形的面积减去四个小正方形的面积，可得：（2a﹣b）（2a+4b）﹣4（a﹣b）2，根据多项式乘多项式的法则和完全平方公式展开，再合并同类项即可；（2）根据该团队每小时可绿化30m2，每小时收费30a元，可得：（14ab﹣8b2）÷30×30a，然后再根据单项式乘多项式的法则进行运算即可．【解答】解：（1）由条件可知绿化的面积为：（2a﹣b）（2a+4b）﹣4（a﹣b）2＝4a2+8ab﹣2ab﹣4b2﹣4（a2﹣2ab+b2）＝（14ab﹣8b2）m2，∴绿化的面积是（14ab﹣8b2）m2；（2）（14ab﹣8b2）÷30×30a＝（14a2b﹣8ab2）元．∴该物业应该支付绿化团队（14a2b﹣8ab2）元．【点评】本题主要考查了整式的混合运算，解决本题的关键是根据整式的混合运算法则进行计算即可．19．（2025春•汉台区校级期中）在计算（2x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到的结果是2x2+8x﹣24，乙错把a看成了﹣a，得到的结果是2x2+14x+20．（1）求a、b的值；（2）将a，b的值代入（2x+a）（x+b）并化简，求出正确的结果．【考点】多项式乘多项式．【专题】整式；运算能力．【答案】（1）a＝﹣4，b＝5；（2）2x2+6x﹣20．【分析】（1）根据条件求出代数式的值，对比结果，分别求出a，b的值；（2）将（1）的a，b的值代入代数式求解即可．【解答】解：（1）（2x+a）（x+6）＝2x2+12x+ax+6a＝2x2+（12+a）x+6a，∵计算（2x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到的结果是2x2+8x﹣24，∴6a＝﹣24，∴a＝﹣4，（2x+4）（x+b）＝2x2+2bx+4x+4b＝2x2+（2b+4）x+4b，由条件可知4b＝20，∴b＝5．（2）（2x﹣4）（x+5）＝2x2+10x﹣4x﹣20＝2x2+6x﹣20．【点评】本题考查了整式的乘法运算，正确的计算是解题的关键．20．（2025春•汉中期中）如图，某区有一块长为（6a﹣2b）米，宽为（4a﹣2b）米的长方形广场，规划部门计划在广场内部A、B两个正方形区域修建凉亭，其余部分进行绿化，A、B两个正方形区域的边长均为a米．（1）用含有a，b的式子表示绿化的总面积；（结果化成最简形式）（2）若a＝2，b＝1，绿化成本为100元/每平方米，则完成绿化工程共需要多少元？【考点】多项式乘多项式．【专题】整式；运算能力．【答案】（1）（22a2﹣20ab+4b2）平方米；（2）5200元．【分析】（1）根据题意，列代数式表示出绿化的总面积，再由整式的乘法运算及整式加减运算法则求解即可得到答案；（2）由（1）知绿化的总面积为22a2﹣20ab+4b2，将a＝2，b＝1代入求解，再乘以绿化成本即可得到答案．【解答】解：（1）由题意可知（6a﹣2b）（4a﹣2b）﹣a2﹣a2＝24a2﹣12ab﹣8ab+4b2﹣2a2＝（22a2﹣20ab+4b2）平方米；（2）由（1）知绿化的总面积为（22a2﹣20ab+4b2）平方米，当a＝2，b＝1时，22a2﹣20ab+4b2＝22×22﹣20×2×1+4×12＝52，∵绿化成本为100元/每平方米，∴完成绿化工程共需要52×100＝5200（元）．【点评】本题考查整式混合运算解应用题，涉及整式乘法运算、整式加减运算及代数式求值等知识，读懂题意，数形结合是解决问题的关键．

考点卡片1．整式的加减（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．（2）整式的加减实质上就是合并同类项．（3）整式加减的应用：①认真审题，弄清已知和未知的关系；②根据题意列出算式；③计算结果，根据结果解答实际问题．【规律方法】整式的加减步骤及注意问题1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．2．同底数幂的乘法（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．am•an＝am+n（m，n是正整数）（2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．3．幂的乘方与积的乘方（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝amn（m，n是正整数）注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n＝anbn（n是正整数）注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的