高等数学（工科类专业适用）教案 6.1 随机事件与概率1

6.1随机事件与概率（1）教学目标： （1）复习、理解随机事件及其概率的概念；（2）掌握古典概率的计算。教学重点： （1）概率知识复习（衔接中职阶段知识）； （2）古典概率计算。教学难点： 古典概率计算授课时数：2课时教学过程过程备注引言自然界和人类社会中发生的现象大致可分为两种类型，一种是在一定条件下必然会发生或必然不发生的现象，其结果是确定性的．例如，向上抛一枚硬币必然下落．这类现象叫做确定性现象．另一类是在一定条件下可能发生也可能不发生的现象，其结果具有不确定性．例如，掷一颗骰子可能出现1点、也可能出现2点、3点、……、6点．这类现象叫做随机现象．在一次观察试验中，随机现象的结果不能事先确定，但在大量重复观察试验中，其结果往往呈现某种规律性．例如，多次重复掷一颗骰子，出现1点的次数大致为．这种在大量重复观察试验中所呈现出的规律性，称为随机现象的统计规律性．概率与数理统计是研究随机现象统计规律性的数学学科，其理论和方法已经广泛应用于工业、农业、军事和国民经济的各部门，例如天气预报、地震预报、产品的抽样验收、可靠性研究等．引导复习5′知识回顾1．随机事件在研究随机现象的时候，将各种科学试验和对某一事物的观测统称为试验．如果试验具有下述特点：（1）试验可以在相同的条件下重复进行；（2）每次试验具有多种结果，试验前可以明确预知试验的所有可能结果；（3）每次试验之前不能预知将会出现哪一个结果．则称为随机试验，简称试验．通常用或，，……表示．引导复习15′知识巩固例1设表示试验：抛一枚硬币，观察正、反面出现的情况；表示试验：掷一颗骰子，观察出现的点数；表示试验：从一批产品中随机抽取10件，观察其中的次品数．判断它们是否为随机试验．解根据随机试验的定义，，，均为随机试验．提问20′知识回顾随机试验的每一个可能发生的结果叫做随机事件，简称事件．通常用大写字母A、B、C…表示．不能再分解的事件叫做基本事件．例如，掷一颗骰子，“出现1点”、“出现2点”等各是一个随机事件，由于它们都不能再分解，故都是基本事件；“出现奇数点”也是一个随机事件，但是它可以分解“出现1点”或“出现3点”或“出现5点”，因此事件“出现奇数点”不是基本事件．在一定的条件下，肯定会发生的事件叫做必然事件，一般用字母表示；在一定的条件下，不可能发生的事件叫做不可能事件，一般用字母表示．必然事件和不可能事件都属于确定性现象，为了研究问题方便，我们仍将其当做随机事件，看成是随机事件的两个特殊情形．知识回顾讲解25′新知识2．事件之间的关系和运算我们可以将随机事件看作是一类特殊的集合，利用集合的观点来进行研究．将必然事件看作全集，不可能事件看作空集，基本事件看作的元素所组成的集合，这样，事件之间的关系和运算可以用集合之间的关系和运算来表示，为了直观起见，还经常使用图形（文氏图）来进行分析．事件之间的关系主要有下面三种．（1）包含关系．如果事件发生必然导致事件发生，那么称事件包含事件，记作或．显然对任何事件有．（2）相等关系．如果事件所包含的基本事件与事件所包含的基本事件完全相同，那么称事件相等，记．显然，且．（3）互斥关系．如果事件与事件不可能同时发生，那么称事件与事件互斥（或互不相容）．显然，两个不同的基本事件互斥．事件之间的运算主要有下面四种．（1）和事件．事件与事件至少有一个发生，这个事件叫做事件与的和事件，记作．（2）积事件．事件与事件同时发生，这个事件叫做事件与的积事件，记作（或）．（3）差事件．事件发生且事件不发生，这个事件叫做与的差事件，记作．（4）对立事件．事件不发生叫做事件发生的对立（或互逆）事件，记作．说明：互斥事件与对立事件是不同的两个概念．它们的相同之处是：两个互斥事件的积事件与两个对立事件的积事件都是不可能事件；不同之处是：在一次实验中，互斥事件有可能都不发生，而对立事件一定有一个发生．因此，对立事件一定互斥，但是互斥事件不一定对立．根据对立事件的定义，对任意的两个事件和，有下列结论成立（证明略）．（1）;（2）;（3）=，=．引领回顾讲解40′3．随机事件的概率观察随机事件在一次试验中是否发生是不确定的．但在大量重复试验中它的发生却往往具有统计规律性．表6−1是实验“在相同的条件下，抛一枚硬币，观察落地时向上的面是正面还是反面”的几个著名的记录．表6－1试验者投掷次数出现“正面向上”的次数频率德•摩根204810610.518浦丰404020480.5069K•皮尔逊1200060190.5016K•皮尔逊24000120120.5005维尼30000149940.4998从表6−1中可以看出，抛掷硬币的次数很大时，出现“正面向上”的频率总是在0.5附近摆动，并且随着投掷次数的增加，这种摆动的幅度是很小的．这说明“正面向上”的频率具有稳定性，确定的常数0.5就是出现“正面向上”频率的稳定值．可以用它来描述“出现正面”这个事件发生的可能性大小，揭示事件发生的规律．引领回顾讲解45′新知识在多次重复试验中，如果事件发生的频率稳定在确定的常数附近摆动，且随着实验次数的增加，这种摆动的幅度是很微小的，那么把这个确定的常数叫做事件A发生的概率，记作．由概率的统计的定义可知，概率具有以下性质：性质1对任一事件，有．性质2，．性质3若事件，互斥，则．上面的定义给出了事件的概率的统计描述，指出了是客观存在的，一般当试验的次数非常大时，常用频率作为概率的近似值．讲授50′6.1.2古典概率及其计算新知识下面讨论一类比较简单的随机试验．其特点是：（1）基本事件的总数只有有限个；（2）每个基本事件发生的可能性是等同的．满足上述条件的实验模型叫做古典概型．设古典概型中的所有基本事件个数是，事件中包含的基本事件个数是，则事件的概率为：=(6.1)概率的这种定义称为古典定义．可以看到，古典概率同样满足概率的3条性质：性质1对任一事件，有；性质2，．性质3若事件，互斥，则有．引领回顾讲授55′知识巩固例2将一枚均匀硬币投掷三次，求正面出现两次的概率．解投掷硬币的试验属于古典概型．投掷三次硬币一共有种不同的结果，故．设={正面出现两次}，则．所以==．例3一批产品共200个，有6个废品．求下列事件的概率：（1）任取1个产品，恰好是废品；（2）任取3个产品，恰有一个是废品；（3）任取3个产品，都是正品．解抽取产品试验属于古典概型．设={任取1个产品，恰好是废品}，={任取3个产品，恰有一个是废品}，={任取3个产品，都是正品}．则（1）．（2）从200个产品中任取3个，共有种取法，即基本事件总数为，事件包含的基本事件的个数为，故．（3）基本事件总数同样为，事件包含的基本事件的个数为，故．例4从数字1,2,3,4,5中任取3个数字，组成一个三位数，求这个三位数是偶数的概率．解数字抽取问题属于古典概型．设{三位数是