2025年度初二数学第二学期期末模拟试卷及答案（三）

第1页（共3页）2025年初二数学第二学期期末模拟试卷及答案（三）一、选择题（每小题2分，共24分）1．关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1=0的一个根是0，则a值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．±12．抛物线的解析式y=（x﹣3）2+1，则顶点坐标是（）A．（﹣3，1） B．（3，1） C．（3，﹣1） D．（1，3）3．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形的对数是（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对4．某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（）A．100（1+x）2=81 B．100（1﹣x）2=81 C．100（1﹣x%）2=81 D．100x2=815．将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（）A．y=（x﹣2）2﹣1 B．y=（x﹣2）2+1 C．y=（x+2）2﹣1 D．y=（x+2）2+16．在▱ABCD中，EF∥AD，EF交AC于点G，若AE=1，BE=3，AC=6，AG的长为（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.57．设a是方程x2﹣x﹣2016=0的一个实数根，则a2﹣a+1的值为（）A．2014 B．2015 C．2016 D．20178．已知点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m+2）在同一个函数图象上，这个函数图象可以是（）A． B． C． D．9．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A． B． C． D．10．将一副三角板如图叠放，则△AOB与△DOC的面积比是（）A． B． C． D．11．下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2﹣4x+1=0一定有实数根的是（）A．a＞4 B．a≥4且a≠0 C．a≤4 D．a≤4且a≠012．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①因为a＞0，所以函数y有最大值；②该函数的图象关于直线x=﹣1对称；③当x=﹣2时，函数y的值等于0；④当x=﹣3或x=1时，函数y的值都等于0．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（每题3分，共18分）13．若=，则=．14．已知函数y=（m+1）x+3x，当m=时，它是二次函数．15．如图，某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，如图所示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，那么旗杆AC的高度为米．16．如图，二次函数和一次函数y2=mx+n的图象，观察图象，写出y2≤y1时x的取值范围．17．在平面直角坐标系中，△ABC顶点A的坐标为（2，3），若以原点O为位似中心，画△ABC的位似图形△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′的相似比等于，则点A′的坐标为．18．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣3=0的两根为x1，x2，则2x1+2x2+x1x2=．三、解答题(本题共8小题，共58分)19．解方程（1）x2﹣5x=0（2）（x﹣2）2=2﹣x．20．如图，学校要围一个面积为48平方米矩形花圃，花圃的一边利用10米长的墙，另三边用总长为20米的篱笆恰好围成，求花圃的AB边的长应为多少米？21．如图，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m，求旗杆的高度．22．已知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，顶点为A（h，k）（h≠0）（1）当h=1，k=2时，求抛物线的解析式；（2）若抛物线y=tx2（t≠0）也经过点A（h，k），求a与t之间的关系式．23．如图，在△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC边于D，（1）求证：BC2=AC•CD；（2）若AD=BC，求BD的长．24．市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克40元，物价部门规定其销售单价不低于进价，利润率不高于50%，经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=40时，y=120；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用200元．（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？25．如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=16cm，BC=12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）出发4秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB与△ABC相似？（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△APQ成为等腰三角形的运动时间．26．如图，抛物线y=（x+1）2﹣4与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求A、C两点的坐标；（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小，求此时点P的坐标及最小周长；（3）点M是抛物线上一动点，且在第三象限，当四边形AMCO的面积最大时，求出四边形AMCO的最大面积及此时点M的坐标．

参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分，共24分）1．关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1=0的一个根是0，则a值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．±1【考点】一元二次方程的解．【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=0代入关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1=0，列出关于a的方程，通过解该方程求得a值即可．【解答】解：∵x=0是关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1=0的一个根，∴x=满足关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1=0，∴a﹣1=0，解得，a=1；故选：A．2．抛物线的解析式y=（x﹣3）2+1，则顶点坐标是（）A．（﹣3，1） B．（3，1） C．（3，﹣1） D．（1，3）【考点】二次函数的性质．【分析】直接利用顶点式的特点可知顶点坐标．【解答】解：抛物线的解析式y=（x﹣3）2+1，则顶点坐标是（3，1），故选B3．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形的对数是（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对【考点】相似三角形的判定．【分析】由DE∥BC，EF∥AB，即可得△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，继而证得△ADE∽△EFC．【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，∴△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，∴△ADE∽△EFC．∴图中相似三角形的对数是：3对．故选C．4．某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（）A．100（1+x）2=81 B．100（1﹣x）2=81 C．100（1﹣x%）2=81 D．100x2=81【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】若两次降价的百分率均是x，则第一次降价后价格为100（1﹣x）元，第二次降价后价格为100（1﹣x）（1﹣x）=100（1﹣x）2元，根据题意找出等量关系：第二次降价后的价格=81元，由此等量关系列出方程即可．【解答】解：设两次降价的百分率均是x，由题意得：x满足方程为100（1﹣x）2=81．故选：B．5．将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（）A．y=（x﹣2）2﹣1 B．y=（x﹣2）2+1 C．y=（x+2）2﹣1 D．y=（x+2）2+1【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据二次函数图象的平移规律（左加右减，上加下减）进行解答即可．【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平移2个单位，再向下平移1个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣2，﹣1）．可设新抛物线的解析式为：y=﹣3（x﹣h）2+k，代入得：y=（x+2）2﹣1，化成一般形式得：y=﹣3x2﹣6x﹣5．故选：C．6．在▱ABCD中，EF∥AD，EF交AC于点G，若AE=1，BE=3，AC=6，AG的长为（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.5【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形定义得AD∥BC，由已知的EF∥AD得BC∥FE，根据平行相似得比例式：，代入可求出AG的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵AD∥EF，∴EF∥BC，∴△AEG∽△ABC，∴，∵AE=1，BE=3，AC=6，∴，∴AG=1.5，故选B．7．设a是方程x2﹣x﹣2016=0的一个实数根，则a2﹣a+1的值为（）A．2014 B．2015 C．2016 D．2017【考点】一元二次方程的解．【分析】根据一元二次方程的解的定义，将a代入已知方程，即可求得（a2﹣a）的值【解答】解：根据题意，得a2﹣a﹣2016=0，解得，a2﹣a=2016，所以a2﹣a+1=2016+1=2017．故选D．8．已知点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m+2）在同一个函数图象上，这个函数图象可以是（）A． B． C． D．【考点】函数的图象．【分析】由点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m+2）在同一个函数图象上，可得A与B关于y轴对称，当x＞0时，y随x的增大而增大，继而求得答案．【解答】解：∵点A（﹣1，m），B（1，m），∴A与B关于y轴对称，故A，B错误；∵B（1，m），C（2，m+2），∴当x＞0时，y随x的增大而增大，故C正确，D错误，故选：C．9．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A． B． C． D．【考点】相似三角形的判定．【分析】设小正方形的边长为1，根据已知可求出△ABC三边的长，同理可求出阴影部分的各边长，从而根据相似三角形的三边对应成比例即可得到答案．【解答】解：∵小正方形的边长均为1∴△ABC三边分别为2，，同理：A中各边的长分别为：，3，；B中各边长分别为：，1，；C中各边长分别为：1、2，；D中各边长分别为：2，，；∵只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为故选B．10．将一副三角板如图叠放，则△AOB与△DOC的面积比是（）A． B． C． D．【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形．【分析】因为AB∥CD，所以△AOB∽△DOC．欲求它们的面积比，必须先求出它们的相似比，以BC为中间值，利用直角三角形的性质来得到AB、CD的比值，从而根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求得结果．【解答】解：∵AB∥CD，∴△AOB∽△COD；根据题意，AB=BC，CD=BC，即CD=AB；∴=（）2=，故选C．11．下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2﹣4x+1=0一定有实数根的是（）A．a＞4 B．a≥4且a≠0 C．a≤4 D．a≤4且a≠0【考点】根的判别式．【分析】由方程为一元二次方程以及方程有实数根即可得出关于a的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣4x+1=0有实数根，∴，即，解得：a≤4且a≠0．故选D．12．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①因为a＞0，所以函数y有最大值；②该函数的图象关于直线x=﹣1对称；③当x=﹣2时，函数y的值等于0；④当x=﹣3或x=1时，函数y的值都等于0．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】二次函数的性质．【分析】观察图象即可判断．①开口向上，应有最小值；②根据抛物线与x轴的交点坐标来确定抛物线的对称轴方程；③x=﹣2时，对应的图象上的点在x轴下方，所以函数值小于0；④图象与x轴交于﹣3和1，所以当x=﹣3或x=1时，函数y的值都等于0．【解答】解：由图象知：①函数有最小值；错误．②该函数的图象关于直线x=﹣1对称；正确．③当x=﹣2时，函数y的值小于0；错误．④当x=﹣3或x=1时，函数y的值都等于0．正确．故正确的有两个，选C．二、填空题（每题3分，共18分）13．若=，则=3．【考点】比例的性质．【分析】根据根据反比性质，可得，根据和比性质，可得答案．【解答】解：=，得=则==3，故答案为：3．14．已知函数y=（m+1）x+3x，当m=1时，它是二次函数．【考点】二次函数的定义．【分析】根据二次函数的定义得到m2+1=2且m+1≠0．由此求得m的值．【解答】解：∵函数y=（m+1）x+3x是二次函数，∴m2+1=2且m+1≠0．解得m=1．故答案是：1．15．如图，某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，如图所示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，那么旗杆AC的高度为9米．【考点】相似三角形的应用．【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．【解答】解：∵DE∥AB，DF∥AC，∴△DEF∽△ABC，∴=，即=，∴AC=6×1.5=9米．故答案为：9．16．如图，二次函数和一次函数y2=mx+n的图象，观察图象，写出y2≤y1时x的取值范围x≥1或x≤﹣2．【考点】二次函数与不等式（组）．【分析】由函数图象可知，当x＞1或x＜﹣2时，二次函数的图象在一次函数y2=mx+n的图象的上方即可直接得出结论．【解答】解：∵由函数图象可知，当x＞1或x＜﹣2时，二次函数的图象在一次函数y2=mx+n的图象的上方，∴当x≥1或x≤﹣2时y2≤y1．故答案为：x≥1或x≤﹣2．17．在平面直角坐标系中，△ABC顶点A的坐标为（2，3），若以原点O为位似中心，画△ABC的位似图形△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′的相似比等于，则点A′的坐标为（4，6）或（﹣4，﹣6）．【考点】位似变换．【分析】位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）．【解答】解：∵在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）∴A'的坐标为（4，6）或（﹣4，﹣6）．18．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣3=0的两根为x1，x2，则2x1+2x2+x1x2=﹣1．【考点】根与系数的关系．【分析】先根据根与系数的关系求出x1+x2与x1•x2的值，再代入代数式进行计算即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣3=0的两根为x1，x2，∴x1+x2=﹣2，x1•x2=3，∴原式=2（x1+x2）+x1•x2=﹣4+3=﹣1．故答案为：﹣1．三、解答题(本题共8小题，共58分)19．解方程（1）x2﹣5x=0（2）（x﹣2）2=2﹣x．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）x2﹣5x=0，x（x﹣5）=0，x=0，x﹣5=0，x1=0，x2=5；（2）（x﹣2）2=2﹣x，（x﹣2）2+（x﹣2）=0，（x﹣2）（x﹣2+1）=0，x﹣2=0，x﹣2+1=0，x1=2，x2=1．20．如图，学校要围一个面积为48平方米矩形花圃，花圃的一边利用10米长的墙，另三边用总长为20米的篱笆恰好围成，求花圃的AB边的长应为多少米？【考点】一元二次方程的应用．【分析】设AB边的长为x米，则BC边的长为（20﹣2x）米，利用矩形的面积公式列出方程求解即可．【解答】解：设AB边的长为x米，则BC边的长为（20﹣2x）米，x（20﹣2x）=48解得x=4或x=6．∵20﹣2x≤10，∴x≥5，∴x=6，答：AB边的长应为6米．21．如图，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m，求旗杆的高度．【考点】相似三角形的应用．【分析】要求旗杆高度BC，易证△AED∽△ABC，根据对应线段成比例，列出式子即可求出．【解答】解：如图，∵ED⊥ADBC⊥AC，∴ED∥BC，∴△AED∽△ABC，∴=，∵AD=8，AC=AD+CD=8+22=30（m），ED=3.2m，∴BC===12（m）∴旗杆的高为12m．22．已知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，顶点为A（h，k）（h≠0）（1）当h=1，k=2时，求抛物线的解析式；（2）若抛物线y=tx2（t≠0）也经过点A（h，k），求a与t之间的关系式．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）用顶点式解决这个问题，设抛物线为y=a（x﹣1）2+2，原点代入即可．（2）设抛物线为y=ax2+bx，则h=﹣，b=﹣2ah代入抛物线解析式，求出k（用a、h表示），又抛物线y=tx2也经过A（h，k），求出k，列出方程即可解决．【解答】解：（1）∵顶点为A（1，2），设抛物线为y=a（x﹣1）2+2，∵抛物线经过原点，∴0=a（0﹣1）2+2，∴a=﹣2，∴抛物线解析式为y=﹣2x2+4x．（2）∵抛物线经过原点，∴设抛物线为y=ax2+bx，∵h=﹣，∴b=﹣2ah，∴y=ax2﹣2ahx，∵顶点A（h，k），∴k=ah2﹣2ah2=﹣ah2，抛物线y=tx2也经过A（h，k），∴k=th2，∴th2=ah2﹣2ah2，∴t=﹣a．23．如图，在△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC边于D，（1）求证：BC2=AC•CD；（2）若AD=BC，求BD的长．【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；黄金分割．【分析】（1）由AB=AC，∠BAC=36°，得∠ABC=∠C=72°，再由BD平分∠ABC，得∠ABD=∠CBD=36°，因此△ABC∽△BDC；（2）设BD为x，证出AD=BC=AD=x，得出CD=AC﹣AD=1﹣x，由（1）得：BC2=AC•CD得出方程，解方程即可．【解答】（1）证明：∵AB=AC，∠BAC=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°，∴△ABC∽△BDC，∴BC：CD=AC：BC，∴BC2=AC•CD；（2）解：设BD为x，∵∠ABD=∠CBD=36°=∠A，∴AD=BD，∵AD=BC，∴AD=BC=AD=x，∴CD=AC﹣AD=1﹣x，由（1）得：BC2=AC•CD，∴x2=1×（1﹣x），解得：x=（负值舍去），∴BD=．24．市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克40元，物价部门规定其销售单价不低于进价，利润率不高于50%，经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=40时，y=120；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用200元．（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）待定系数法求解可得函数解析式，由其销售单价不低于进价、利润率不高于50%得x的取值范围；（2）根据：日获利=每千克利润×日销售量﹣每天支付的其他费用，可得函数关系式；（3）将（2）中函数关系式配方，由自变量x的范围结合二次函数性质可得其最值情况．【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，根据题意，得：，解得：，∴y=﹣2x+200，（40≤x≤60）；（2）w=（x﹣40）（﹣2x+200）﹣200=﹣2x2+280x﹣8200；（3）∵w=﹣2x2+280x﹣8200=﹣2（x﹣70）2+1600，∴当x＜70时，w随x的增大而增大，∵40≤x≤60，∴当x=60时，w取得最大值，最大值为1400，答：当销售单价为60元时，该公司日获利最大，最大获利是1400元．25．如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=16cm，BC=12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）出发4秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB与△ABC相似？（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△APQ成为等腰三角形的运动时间．【考点】相似形综合题．【分析】（1）首先判定点Q的位置，求出BQ、BP利用勾股定理即可．（2）分两种情形）①当PQ∥AC时，△PBQ∽△ABC，②当∠BPQ=∠C时，由∠B=∠B，得△BPQ∽△BCA，列出方程即可解决问题．（3）分三种情形①如图1中，当PA=PQ时，作PM⊥AC于M，根据cosA==，列出方程即可．②如图2中，当AP=AQ时，③如图3中，当QP=QA时，作QM⊥AB于M，根据cosA==，列方程即可．【解答】解：（1）t=4时，BQ=2×4=8＜12，此时Q在BC边上，AP=4×1=4，在Rt△PBQ中，∵∠B=90°，B