2024北京房山良乡中学高三(上)第一次月考数学试题及答案

试题试题2024北京房山良乡中学高三（上）第一次月考数学本试卷共8页，满分150分，考试时长120分钟.考生务必将答案填涂或书写在答题卡上.考试结束后，将答题卡交回，第一页选择题不上交.第I卷（选择题共40分）一、选择题．本题共10题每题分4，共计40分.在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知命题p：∀x∈R+，lnx＞0，那么命题为（）A.∃x∈R+，lnx≤0 B.∀x∈R+，lnx＜0C.∃x∈R+，lnx＜0 D.∀x∈R+，lnx≤03.设，且，则A. B. C. D.4.下列函数中，既是偶函数又在0,+∞上单调递增的是（）A. B. C. D.5.设为实数，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D.7.已知，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.8.已知函数，则不等式的解集是（）．A. B.(−∞,−1)∪(1,+∞)C. D.(−∞,0)∪(1,+∞)9.声音的等级（单位：dB）与声音强度（单位：W/m2）满足.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB；一般说话时，声音的等级约为60dB，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（）A.106倍 B.108倍 C.1010倍 D.1012倍10.函数的图象如图所示，在区间上可找到个不同的数、、、，使得，则的取值为（）A. B. C. D.二、填空题．本题共5题每题分5，共计25分.11.函数的定义域为___________.12.计算：_______________．13.能够说明“设是实数．若，则”是假命题的一个实数的值为________．14.已知是定义在R上的偶函数，并满足，当时，则等于______．15.设函数.①若a=1，则f(x)的值域为___________；②若f(x)在R上单调递增，则实数a的取值范围是___________.三、解答题16.已知函数.（1）若，求时，函数的值域.（2）若函数的单调递增区间为，求实数m的值.（3）若函球在区间上单调递增，求实数m的取值范围.（4）若函数有两个零点，求实数m的取值范围.17.如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，为的中点.（1）求证：；（2）求平面与平面所成的角的余弦值.18.已知函数．（1）若在时，有极值，求a的值；（2）若，求函数的单调区间．（3）讨论函数极值点的个数．19.某产业园生产的一种产品的成本为50元/件.销售单价依产品的等级来确定，其中优等品、一等品、二等品、普通品的销售单价分别为80元、75元、65元、60元.为了解各等级产品的比例，检测员从流水线上随机抽取200件产品进行等级检测，检测结果如下表所示.产品等级优等品一等品二等品普通品样本数量（件）30506060（1）若从流水线上随机抽取一件产品，估计该产品为优等品的概率；（2）从该流水线上随机抽取3件产品，记其中单件产品利润大于20元的件数为，用频率估计概率，求随机变量的分布列和数学期望;（3）为拓宽市场，产业园决定对抽取的200件样本产品进行让利销售，每件产品的销售价格均降低了5元.设降价前后这200件样本产品的利润的方差分别为，比较的大小.（请直接写出结论）20.已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）求函数在上的最小值.21.已知数列满足：，且.记集合.（1）若，写出集合的所有元素；（2）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；（3）求集合的元素个数的最大值.参考答案第I卷（选择题共40分）一、选择题．本题共10题每题分4，共计40分.在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.【答案】D【分析】先计算集合，再与集合进行交集运算即可得正确选项.【详解】因为，，所以，故选：D.2.【答案】A【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可.【详解】因为特称命题的否定是全称命题，故命题“p：∀x∈R+，lnx＞0”的否定为：∃x∈R+，lnx≤0.故选：A.【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，要注意两个方面的变化：1.量词，2.结论，属于基础题.3.【答案】D【分析】取特殊值排除A，B，C，根据函数的单调性即可得出正确答案.【详解】对A项，当时，，故A错误；对B项，取，时，，不满足，故B错误；对C项，取，时，，不满足，故C错误；对D项，函数在上单调递增，，则，故D正确;故选：D【点睛】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题.4.【答案】B【分析】根据函数的单调性、奇偶性的定义及判断方法判断即可.【详解】对于A，函数是偶函数，在0,+∞递减，不合题意；故A错误，对于B，函数是偶函数，在0,+∞递增，合题意；故B正确，对于C，函数不是偶函数，不符合题意；故C错误，对于D，函数在0,+∞不是单调递增，不符合题意；故D错误.故选：B.5.【答案】A【分析】根据函数为单调递增函数，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，函数为单调递增函数，当时，可得，即成立，当，即时，可得，所以不一定成立，所以“”是“”的充分而不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查了指数函数的性质，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记指数函数的性质，以及熟练应用充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档题.6.【答案】B【分析】求导后由导数的意义求切线的斜率，再由点斜式得到直线方程即可；【详解】求导可得，所以切线的斜率为，所以切线方程为，即，故选：B.7.【答案】D【分析】由对数函数单调性和指数函数单调性得到，比较出大小.【详解】,故故选：D8.【答案】D【分析】作出函数和的图象，观察图象可得结果.【详解】因为，所以等价于，在同一直角坐标系中作出和的图象如图：两函数图象的交点坐标为，不等式的解为或.所以不等式的解集为：−∞,0∪1,+∞故选：D.【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.9.【答案】B【分析】首先设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为，，根据题意得出，，计算求的值．【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为，，，则，，则，所以，因此喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍．故选：B．10.【答案】A【分析】设，可知直线与函数的图象有个交点，数形结合可得出的可能取值.【详解】，则代数式表示曲线上的点与原点连线的斜率，设，可知直线与函数的图象有个交点，作出函数与直线的图象如下图所示：由图象可知，直线与函数的图象有或或或个交点，因此，的可能取值的集合为.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查图象的应用，令，将问题转化为直线与函数的图象的交点个数问题是解题的关键，在解题时应充分理解一些代数式的几何意义，充分利用数形结合思想来求解.二、填空题．本题共5题每题分5，共计25分.11.【答案】【分析】根据对数的真数大于零，分母不为零可得出关于的不等式组，由此可解得原函数的定义域.【详解】由题意得，解得：且，故函数的定义域是.故答案为：.12.【答案】【分析】利用指数幂与对数的运算法则求解即可.【详解】.故答案为：.13.【答案】2【详解】因为x>1，故，等号成立的条件为，故当时函数值等于3.此时不满足题干．故答案为2．点睛：这个题目是考查的均值不等式的条件，首先均值不等式的条件是一正，二定，三相等，积是定值时，和有最小值，和是定值时，积有最大值；故首先要构造出乘积的定值，最终确定等号能否取到．14.【答案】【分析】由可得函数的周期为4，再由为偶函数可得从而有代入可求【详解】，，即函数的周期为4是定义在R上的偶函数，则有，故答案为【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性、周期性等性质的综合应用，解决本题的关键是根据所给的条件：可得即可得函数的周期，从而把所求的利用周期和奇偶性转化到所给的区间，代入即可求解．15.【答案】①.②.【分析】①a=1，直接求值域；②在同一个坐标系内作出和的图像，分析a的取值范围.【详解】解：①若a=1，则，当x≤1时，f(x)=3x﹣1∈(﹣1，2]，当x>1时，f(x)=|x+1|>2，∴f(x)的值域为(﹣1，2]∪(2，+∞)=(﹣1，+∞)；②在同一平面直角坐标系内作出函数y=3x﹣1与y=|x+1|的图象如图：由图可知，要使函数在R上的增函数，只需-1≤a≤1，则实数a的取值范围是[﹣1，1].故答案为：①；②.【点睛】由分段函数（数列）单调性求参数的取值范围的方法：(1)分段函数的每一段都单调；(2)根据单调性比较端点函数值的大小.三、解答题16.【答案】（1）（2）（3）（4）或【分析】（1）先确定的单调性再结合二次函数性质得到函数值域.（2）求出二次函数的对称轴，则根据单调递增区间为，可求的值；（3）求出二次函数的对称轴，则根据利用二次函数的图象与开口方向可求的范围；（4）根据函数有两个零点得出方程判别式大于零，再解一元二次不等式即可.【小问1详解】当时，，，函数在上单调递减，在上单调递增，，.所以函数的值域为.【小问2详解】根据函数图象开口向上，对称轴为.函数单调递增区间为，所以，所以.【小问3详解】根据题意得函数图象开口向上，对称轴为.函数在区间上是严格增函数，所以，所以.【小问4详解】函数有两个零点，则有两个根，所以，化简得解得或.17.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）证明出平面，利用线面垂直的性质可证得结论成立；（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成的角的余弦值.【小问1详解】证明：平面，平面，则，因为四边形为矩形，则，，平面，平面，故.【小问2详解】解：平面，，点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、，，，设平面的法向量为，则，取，可得，易知平面的一个法向量为，，因此，平面与平面所成的角的余弦值为.18.【答案】（1）；（2）单调递增区间为，单调递减区间为；（3）当时，极值点个数为0；当时，极值点个数为2.【分析】（1）求定义域，求导，根据求出，检验后得到结果；（2）求定义域，求导，解不等式求出函数的单调区间；（3）求导后，根据根的判别式，判断出的变号零点个数，得到答案.【小问1详解】定义域为R，，由题意得，即，解得，当时，，令得或，令得，故在上单调递增，在上单调递减，故为极大值点，满足要求，故；【小问2详解】时，，，由（1）可知的单调递增区间为，单调递减区间为；【小问3详解】定义域为R，，，当，即时，故恒成立，此时在R上单调递增，无极值点；当，即时，有两个变号零点，故有2个极值点，故当时，极值点个数为0；当时，极值点个数为2.19.【答案】（1）（2）分布列见解析，（3）【分析】（1）由数据计算频率后估计概率（2）由二项分布概念公式求解（3）由方差计算公式判断【小问1详解】抽取的200件产品中优等品有30件，抽取优等品的频率是，用样本估计总体，从流水线上随机抽取一件产品，估计是优等品的概率为..【小问2详解】从流水线上随机抽取一件产品，估计利润大于20元的概率为.的可能取值为0，1，2，3.，，，分布列为0123的数学期望....【小问3详解】设件样本利润分别为，平均数为，则降价后件样本利润分别为，平均数为，由方差计算公式可得20.【答案】（1）（2）答案见解析【分析】（1）利用导数的几何意义，求切线方程；（2）首先求函数的导数，化简为，再讨论和两种情况讨论函数的单调性，再求函数的最值.【小问1详解】当时，所以.所以曲线在处的切线方程为：.【小问2详解】.①当时，.所以时，.所以在上是增函数.所以.②当时，令，解得（舍）1°当，即时，时，.所以在上是增函数.所以.2°当，即时，x-0+减函数极小值增函数所以.3°当，即时，时，.所以在上是减函数.所以.综上，当时，；当时，.当时，.21.【答案】（1）（2）见解析（3）5【分析】（1）根据递推关系可求的所有元素；（2）根据递推关系结合数学归纳法可得相应的证明；（3）利用列举法可求的元素个数的最大值【小问1详解】若，则，，，，故中的项的大小从第3项开始周期变化，且周期为2.故.【小问2详解】设，若，则，因互质，故为3的倍数；若，则即，因互质，故为3的倍数，依次类推，有均为3的倍数.当时，我们用数学归纳法证明：也是3的倍数.当时，若，则，故为3的倍数；若，则，故为3的倍数，设当时，是3的倍数即为3的倍数，若，则，故为3的倍数；若，则，因为3的倍数，故为3的倍数，故当时，是3的倍数也成立，由数学归纳法可得是3的倍数成立，综上，的所有