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第14章

恒定平面势流

液流运动可分为有涡流及无涡流，无涡流一定有流速势存在，称之为势流。严格地说，具有粘滞性的实际液体的流动都不是有势流动，就是理想液体的流动也可以是有涡流。势流必有流速势存在，对平面势流有

对不可压缩液体，ρ为常数，平面势流的连续性方程为则有上式就是拉普拉斯方程式，故流速势是一个调和函数。拉普拉斯方程式的解法在水力学及流体力学中最常用的有流网法、势流叠加法、数值解法等。14.1恒定平面势流的流速势及流函数流函数及其性质：

求解平面流就是要求解水流的流动场和流动图形，流线反映了平面流的流动图形。

x－y

平面的平面流，其流线方程式为或写作若上式左边是某一函数的全微分，则上式就可积分，即

此函数叫做平面流的流函数。在某一确定时刻两个自变数的函数的全微分可写作比较上两式可知流函数存在的充分必要条件

流函数存在的充分必要条件就是不可压缩液体的连续性方程式，所以不可压缩液体作平面的连续运动时就有流函数存在。流函数的性质：

1、同一流线上各点的流函数为常数，或流函数相等的点连成的曲线就是流线。

2、两流线间所通过的单宽流量等于该两流线的流函数值之差。

3、平面势流的流函数是一个调和函数当平面流为势流时，则所以有所以平面势流的流函数与流速势一样是一个调和函数。14.1.2流速势及等势线平面势流必有流速势存在，且函数的全微分为所以有把值相等的点连接起来的曲线就称为等势线。等式线的方程为14.1.3流函数与流速势的关系平面势流中任何一点都有一个流函数和流速势。

1、流函数与流速势为共轭函数2、等流函数线与等流速势线相正交，即流线与等势线相正交。流线上任意一点斜率：即同一定点上等势线的斜率：14.2流网法解平面势流流网原理很自然的会提出下列两问题：

(1)流网中流函数与流速势的增值方向如何确定？

(2)流线和等势线到底应该根据什么原则来选绘呢？

作任一点A的一根等势线和一根流线并绘出其相邻的等势线和流线，令两等势线之间的距离为dn，两流线之间的距离为dm。可得同理上式表明流速势的增值方向与n的增值方向是相同的；流函数的增值方向与m的增值方向是相同的。

在平面势流的流速场中，流速势的增值方向与流速u的方向一致；将流速方向逆时针旋转90度后所得的方向即为流函数的增值方向。这一法则叫做儒可夫斯基（ЖyKOBCKИЙ

）法则。其次绘制流网时流线及等势线根据什么来选绘。由转换为差分方程所有的＝常数，则，每个网眼将成为正交曲线方格，即每两流线间所通过的流量都是相等的。

流网绘制

1、有压平面势流流网的绘制如果第一根等势线为，

流网绘出后，即可求得任意点的流速。对A点有：对B点有：2、有自由表面的平面势流流网的绘制有自由表面的平面势流流网的绘制关键在于自由表面边界的确定。如图所示二元矩形薄壁堰流，则自由表面上任意一点的能量方程为：令则Hu为自由表面线上任意点自总水头线降落的铅垂距离。2、有自由表面的平面势流流网的绘制

而有式中可由流网中量得，因此先试描自由表面的边界，并绘出其流网，在流网中量出，即可求得的数值，然后检验

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