2025年新高考数学模拟检测卷（概率统计与随机变量分布解题方法专项试题）

2025年新高考数学模拟检测卷（概率统计与随机变量分布解题方法专项试题）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.某班级有30名学生，其中男生20名，女生10名。现要随机抽取3名学生参加一项活动，则抽到的3名学生中恰好有2名男生和1名女生的概率是（）。A.C(20,2)/C(30,3)B.P(20,2)/P(30,3)C.C(10,1)/C(30,3)D.P(10,1)/P(30,3)2.已知随机变量X服从二项分布B(n,p)，且E(X)=6，D(X)=3，则n和p的值分别是（）。A.n=10，p=0.6B.n=12，p=0.5C.n=8，p=0.75D.n=9，p=0.6673.设随机变量X的分布列为：X012P0.20.50.3则X的数学期望E(X)和方差D(X)分别是（）。A.E(X)=1.1，D(X)=0.49B.E(X)=1.1，D(X)=0.44C.E(X)=1.3，D(X)=0.49D.E(X)=1.3，D(X)=0.444.某射手每次射击命中目标的概率为0.8，现连续射击3次，则恰好命中2次的概率是（）。A.0.128B.0.384C.0.512D.0.85.设随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，且P(X<μ)=0.5，则μ的值是（）。A.0B.1C.X的任意实数值D.无法确定6.某班级有50名学生，其中男生30名，女生20名。现要随机抽取2名学生参加一项活动，则抽到的2名学生中至少有1名男生的概率是（）。A.C(30,1)/C(50,2)B.P(30,1)/P(50,2)C.1-C(20,2)/C(50,2)D.1-P(20,2)/P(50,2)7.设随机变量X的分布列为：X-101P0.20.50.3则P(X>0)是（）。A.0.2B.0.5C.0.3D.0.88.某篮球运动员每次投篮命中的概率为0.7，现连续投篮4次，则至少命中3次的概率是（）。A.0.2401B.0.4489C.0.7285D.0.8479.设随机变量X服从泊松分布P(λ)，且P(X=1)=0.6，则λ的值是（）。A.0.6B.1C.1.6D.210.某城市每天发生交通事故的概率为0.005，现连续观察5天，则至少发生1起交通事故的概率是（）。A.0.000039B.0.9925C.0.0075D.0.007二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。）1.设随机变量X服从二项分布B(n,p)，且E(X)=3，D(X)=1.2，则np的值是。2.设随机变量X的分布列为：X012P0.20.50.3则P(X≤1)是。3.设随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，且P(X<μ-σ)=0.1587，则P(μ-σ<X<μ+σ)是。4.某射手每次射击命中目标的概率为0.9，现连续射击5次，则恰好命中4次的概率是。5.设随机变量X服从泊松分布P(λ)，且E(X^2)=2.4，则P(X=0)是。三、解答题（本大题共5小题，共80分。）1.（本小题满分15分）某班级有40名学生，其中男生25名，女生15名。现要随机抽取3名学生参加一项活动，求抽到的3名学生中至少有1名女生的概率。2.（本小题满分15分）设随机变量X服从二项分布B(n,p)，且E(X)=4，D(X)=2，求n和p的值。3.（本小题满分16分）设随机变量X的分布列为：X-101P0.20.50.3求X的数学期望E(X)和方差D(X)。4.（本小题满分17分）某射手每次射击命中目标的概率为0.7，现连续射击5次，求至少命中3次的概率。5.（本小题满分17分）设随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，且P(X<μ-σ)=0.1587，求P(μ-2σ<X<μ+2σ)。三、解答题（本大题共5小题，共80分。）3.（本小题满分16分）设随机变量X的分布列为：X-101P0.20.50.3求X的数学期望E(X)和方差D(X)。解：首先，我们根据题目给出的分布列来计算随机变量X的数学期望E(X)。数学期望是每个取值与其对应概率的乘积之和，所以我们可以这样计算：E(X)=(-1)×0.2+0×0.5+1×0.3

=-0.2+0+0.3

=0.1所以，随机变量X的数学期望E(X)是0.1。D(X)=[(-1-0.1)^2×0.2]+[(0-0.1)^2×0.5]+[(1-0.1)^2×0.3]

=[(-1.1)^2×0.2]+[(-0.1)^2×0.5]+[(0.9)^2×0.3]

=[1.21×0.2]+[0.01×0.5]+[0.81×0.3]

=0.242+0.005+0.243

=0.49因此，随机变量X的方差D(X)是0.49。四、解答题（本大题共5小题，共80分。）4.（本小题满分17分）某射手每次射击命中目标的概率为0.7，现连续射击5次，求至少命中3次的概率。解：这个问题可以通过二项分布来解决。二项分布是描述在n次独立重复试验中，成功次数的概率分布。在这里，每次射击可以看作是一次试验，命中有利于我们，所以每次试验成功的概率p是0.7，失败的概率是1-p，即0.3。我们需要计算的是在5次射击中至少命中3次的概率。至少命中3次的情况包括命中3次、4次和5次。我们可以分别计算这三种情况的概率，然后将它们相加得到最终结果。命中3次的概率P(X=3)可以通过二项分布的概率质量函数计算得到：P(X=3)=C(5,3)×p^3×(1-p)^(5-3)

=10×0.7^3×0.3^2

=10×0.343×0.09

=0.3087命中4次的概率P(X=4)同样通过二项分布的概率质量函数计算得到：P(X=4)=C(5,4)×p^4×(1-p)^(5-4)

=5×0.7^4×0.3^1

=5×0.2401×0.3

=0.3603命中5次的概率P(X=5)也是通过二项分布的概率质量函数计算得到：P(X=5)=C(5,5)×p^5×(1-p)^(5-5)

=1×0.7^5×0.3^0

=1×0.16807×1

=0.16807将这三种情况的概率相加，我们得到至少命中3次的概率：P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)

=0.3087+0.3603+0.16807

=0.83707所以，某射手连续射击5次至少命中3次的概率是0.83707。五、解答题（本大题共5小题，共80分。）5.（本小题满分17分）设随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，且P(X<μ-σ)=0.1587，求P(μ-2σ<X<μ+2σ)。解：首先，我们需要了解正态分布的一些基本性质。正态分布是一种连续型概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线，对称于均值μ。在正态分布中，大约68%的值会落在均值μ的±1个标准差σ的范围内，大约95%的值会落在均值μ的±2个标准差σ的范围内，大约99.7%的值会落在均值μ的±3个标准差σ的范围内。根据题目给出的信息，我们知道P(X<μ-σ)=0.1587。由于正态分布的对称性，我们可以推断出P(X>μ+σ)也是0.1587。因此，P(μ-σ<X<μ+σ)=1-P(X<μ-σ)-P(X>μ+σ)=1-0.1587-0.1587=0.6826。现在，我们需要计算P(μ-2σ<X<μ+2σ)。根据正态分布的性质，我们知道大约95%的值会落在均值μ的±2个标准差σ的范围内。因此，P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.95。所以，根据题目给出的信息和正态分布的性质，我们得出P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.95。本次试卷答案如下：一、选择题答案及解析1.答案：A解析：从30名学生中随机抽取3名学生，总共有C(30,3)种可能的组合。要抽到恰好2名男生和1名女生，可以先从20名男生中选2名，有C(20,2)种组合，再从10名女生中选1名，有C(10,1)种组合。根据乘法原理，恰好2名男生和1名女生的组合数为C(20,2)×C(10,1)。所以，所求概率为C(20,2)/C(30,3)。2.答案：B解析：根据二项分布的性质，E(X)=np，D(X)=np(1-p)。题目给出E(X)=6，D(X)=3，所以有np=6，np(1-p)=3。联立这两个方程，解得n=12，p=0.5。3.答案：B解析：数学期望E(X)是每个取值与其对应概率的乘积之和，所以E(X)=0×0.2+1×0.5+2×0.3=1.1。方差D(X)是每个取值与数学期望之差的平方乘以对应概率的总和，所以D(X)=[(0-1.1)^2×0.2]+[(1-1.1)^2×0.5]+[(2-1.1)^2×0.3]=0.44。4.答案：B解析：这是一个二项分布的问题，n=3，p=0.8。恰好命中2次的概率P(X=2)=C(3,2)×0.8^2×0.2=0.384。5.答案：C解析：正态分布N(μ,σ^2)关于均值μ对称，所以P(X<μ)=0.5。题目给出P(X<μ-σ)=0.1587，根据对称性，P(X>μ+σ)=0.1587。因此，P(μ-σ<X<μ+σ)=1-P(X<μ-σ)-P(X>μ+σ)=0.6826。由于正态分布的对称性，μ可以是任意实数值。6.答案：C解析：抽到的2名学生中至少有1名男生的情况包括1名男生和1名女生，以及2名男生。可以先计算2名都是女生的概率，即C(20,2)/C(50,2)，然后用1减去这个概率，得到至少有1名男生的概率。7.答案：D解析：P(X>0)=P(X=1)=0.3。8.答案：C解析：这是一个二项分布的问题，n=4，p=0.7。至少命中3次的概率P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)=C(4,3)×0.7^3×0.3+C(4,4)×0.7^4×0.3^0=0.7285。9.答案：B解析：泊松分布P(λ)的概率质量函数为P(X=k)=(λ^k×e^-λ)/k!。题目给出P(X=1)=0.6，所以(λ×e^-λ)/1!=0.6，解得λ=1。10.答案：B解析：这是一个泊松分布的问题，λ=0.005×5=0.025。至少发生1起交通事故的概率P(X≥1)=1-P(X=0)=1-e^-0.025≈0.025。二、填空题答案及解析1.答案：2.4解析：根据二项分布的性质，E(X)=np，D(X)=np(1-p)。题目给出E(X)=3，D(X)=1.2，所以np=3，np(1-p)=1.2。联立这两个方程，解得np=2.4。2.答案：0.7解析：P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=0.2+0.5=0.7。3.答案：0.6826解析：根据正态分布的性质，大约68%的值会落在均值μ的±1个标准差σ的范围内，大约95%的值会落在均值μ的±2个标准差σ的范围内。题目给出P(X<μ-σ)=0.1587，所以P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6826。4.答案：0.1323解析：这是一个二项分布的问题，n=5，p=0.9。恰好命中4次的概率P(X=4)=C(5,4)×0.9^4×0.1=0.32805。但是题目要求的是至少命中4次，所以还需要加上命中5次的概率P(X=5)=C(5,5)×0.9^5×0.1^0=0.59049。所以至少命中4次的概率P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)=0.1323。5.答案：0.4066解析：根据泊松分布的性质，E(X)=λ，E(X^2)=λ^2+λ。题目给出E(X^2)=2.4，所以λ^2+λ=2.4。解得λ=1.5。所以P(X=0)=(1.5^0×e^-1.5)/0!≈0.4066。三、解答题答案及解析3.解析：首先，我们根据题目给出的分布列来计算随机变量X的数学期望E(X)。数学期望是每个取值与其对应概率的乘积之和，所以我们可以这样计算：E(X)=(-1)×0.2+0×0.5+1×0.3

=-0.2+0+0.3

=0.1所以，随机变量X的数学期望E(X)是0.1。D(X)=[(-1-0.1)^2×0.2]+[(0-0.1)^2×0.5]+[(1-0.1)^2×0.3]

=[(-1.1)^2×0.2]+[(-0.1)^2×0.5]+[(0.9)^2×0.3]

=[1.21×0.2]+[0.01×0.5]+[0.81×0.3]

=0.242+0.005+0.243

=0.49因此，随机变量X的方差D(X)是0.49。4.解析：这个问题可以通过二项分布来解决。二项分布是描述在n次独立重复试验中，成功次数的概率分布。在这里，每次射击可以看作是一次试验，命中有利于我们，所以每次试验成功的概率p是0.7，失败的概率是1-p，即0.3。我们需要计算的是在5次射击中至少命中3次的概率。至少命中3次的情况包括命中3次、4次和5次。我们可以分别计算这三种情况的概率，然后将它们相加得到最终结果。命中3次的概率P(X=3)可以通过二项分布的概率质量函数计算得到：P(X=3)=C(5,3)×0.7^3×0.3^2

=10×0.343×0.09

=0.3087命中4次的概率P(X=4)同样通过二项分布的概率质量函数计算得到：P(X=4)=C(5,4)×0.7^4×0.3^1

=5×0.2401×0.3