2025年高考数学模拟检测卷（立体几何突破经典题型解析）

2025年高考数学模拟检测卷（立体几何突破经典题型解析）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.在空间直角坐标系中，点P（1，2，3）关于x轴的对称点的坐标是（）A.（1，2，3）B.（1，2，-3）C.（-1，2，3）D.（-1，-2，3）2.若直线l过点（1，0），且与直线x-2y+3=0垂直，则直线l的方程是（）A.2x+y-2=0B.2x-y-2=0C.x-2y-1=0D.x+2y-1=03.不等式组表示的平面区域是（）A.四边形B.三角形C.线段D.无解4.已知球的半径为R，球面上两点A、B的距离为πR，则A、B两点所在平面截球面所得圆的面积为（）A.πR^2B.(π/2)R^2C.(π/3)R^2D.(π/4)R^25.过空间一点P作三条两两垂直的直线，则这三条直线确定的平面个数是（）A.1B.2C.3D.46.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别是棱AA1、BB1的中点，则直线AE与平面B1C1EF所成角的正弦值是（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.17.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为a的正三角形，侧棱长为2a，点D是棱CC1的中点，则三棱锥D-ABC的体积是（）A.(1/6)a^3B.(1/3)a^3C.(1/2)a^3D.a^38.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，则二面角A-PBC的余弦值是（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√5/59.已知点A（1，0）、B（0，1），点P在圆x^2+y^2=1上运动，则|PA|+|PB|的最小值是（）A.1B.√2C.√3D.210.在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则直线l：ax+by+c=0必经过三角形ABC的（）A.外心B.内心C.垂心D.重心11.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，侧棱长为√3，点P在底面ABCD上运动，则SP的最小值为（）A.1B.√2C.√3D.212.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为1的等边三角形，侧棱AA1=√2，则点A1到平面BCC1B1的距离是（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。）13.已知正方体的棱长为1，E、F分别是棱CC1、BB1的中点，则EF与AC所成角的余弦值是。14.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2，则点P到平面ABCD的距离是。15.已知点A（1，0）、B（0，1），点P在圆x^2+y^2=4上运动，则|PA|+|PB|的最小值是。16.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=2，AB=BC=AC=√2，则点P到平面ABC的距离是。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17.（10分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，点E是棱PC的中点。求证：平面ABE⊥平面PBC。18.（12分）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E、F分别是棱CC1、BB1的中点，点G是棱CD的中点。求证：四边形B1EFG是一个平行四边形，并求四边形B1EFG的面积。19.（12分）在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=2，AB=BC=AC=√2。求二面角A-PC-B的余弦值。20.（12分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的等边三角形，侧棱AA1=2。点D是棱AB的中点，点E是棱CC1的中点。求三棱锥D-A1BE的体积。21.（12分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，点E是棱PC的中点。求点E到平面PBD的距离。22.（10分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别是棱CC1、BB1的中点。求证：四边形B1EFG是一个平行四边形，并求四边形B1EFG的面积。其中，G是棱CD的中点。四、证明题（本大题共3小题，共30分。证明题应写出证明过程或演算步骤。）23.（10分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱CC1的中点，点F是棱BB1的中点。求证：平面A1DE⊥平面B1AC。24.（10分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1。求证：三棱锥P-ABD的体积是三棱锥P-BCD体积的两倍。25.（10分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别是棱CC1、BB1的中点。求证：四边形B1EFG是一个平行四边形，并求四边形B1EFG的面积。其中，G是棱CD的中点。五、综合题（本大题共3小题，共30分。综合题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）26.（10分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的等边三角形，侧棱AA1=2。点D是棱AB的中点，点E是棱CC1的中点。求三棱锥D-A1BE的体积，并求点E到平面A1BD的距离。27.（10分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，点E是棱PC的中点。求证：平面ABE⊥平面PBC，并求点E到平面PBD的距离。28.（10分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别是棱CC1、BB1的中点。求证：四边形B1EFG是一个平行四边形，并求四边形B1EFG的面积。其中，G是棱CD的中点。同时，求点E到平面A1BD的距离。本次试卷答案如下一、选择题答案及解析1.答案：B解析：点P（1，2，3）关于x轴的对称点的坐标，x坐标不变，y坐标和z坐标取相反数，所以对称点坐标为（1，2，-3）。2.答案：A解析：直线x-2y+3=0的斜率为1/2，与之垂直的直线的斜率应为-2。过点（1，0）的直线方程为y=-2(x-1)，化简得2x+y-2=0。3.答案：B解析：不等式组表示的平面区域是一个三角形，可以通过绘制不等式表示的区域来验证。4.答案：B解析：球面上两点A、B的距离为πR，说明A、B是球面上对点，即它们所在平面过球心。该平面截球面所得圆的半径为R/2，面积为(π/2)R^2。5.答案：A解析：过空间一点P作三条两两垂直的直线，这三条直线确定的平面只有一个，即过这三条直线的平面。6.答案：A解析：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别是棱AA1、BB1的中点，AE=AB/2，BF=BB1/2。连接EF，EF平行于AC。AE与平面B1C1EF所成角即为AE与EF所成角，为45度，正弦值为1/√2，化简得1/2。7.答案：A解析：三棱锥D-ABC的体积公式为V=(1/3)×底面积×高。底面是正三角形，面积为(√3/4)a^2，高为棱CC1的一半，即a。所以体积为(1/6)a^3。8.答案：D解析：二面角A-PBC的平面角为∠APB。在直角三角形PAB中，PA=2，AB=1，所以PB=√5。∠APB的余弦值为AB/PB=1/√5，即√5/5。9.答案：B解析：|PA|+|PB|的最小值是圆x^2+y^2=1上到点A（1，0）和点B（0，1）距离之和最小的点的距离。这个点在AB的垂直平分线上，且在圆上，通过计算可得最小值为√2。10.答案：C解析：直线l：ax+by+c=0必经过三角形ABC的垂心。因为垂心是三角形三条高的交点，而直线ax+by+c=0可以通过调整a、b、c的值使得垂心在直线上。11.答案：C解析：SP的最小值是点S到底面ABCD的垂线段长度。点S到底面的距离为侧棱长√3的投影，即√2。12.答案：B解析：点A1到平面BCC1B1的距离是三棱锥A1-BCC1高的长度。在三棱柱中，底面是等边三角形，高为侧棱长√2的一半，即√2/2。二、填空题答案及解析13.答案：1/2解析：正方体的棱长为1，E、F分别是棱CC1、BB1的中点，EF平行于AC。EF与AC所成角的余弦值可以通过向量计算得到，结果为1/2。14.答案：2解析：点P到平面ABCD的距离即为PA的长度，因为PA⊥平面ABCD。PA=2，所以距离为2。15.答案：2√2解析：|PA|+|PB|的最小值是圆x^2+y^2=4上到点A（1，0）和点B（0，1）距离之和最小的点的距离。这个点在AB的垂直平分线上，且在圆上，通过计算可得最小值为2√2。16.答案：√2/2解析：点P到平面ABC的距离是三棱锥P-ABC高的长度。在三棱锥中，底面是等边三角形，高为侧棱长2的一半，即√2。点P到平面ABC的距离为高的一半，即√2/2。三、解答题答案及解析17.证明：连接AE，因为E是PC的中点，所以PE=EC。又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB。在直角三角形PAB中，AE是斜边PC的中线，所以AE=PB/2。又因为AB=PB，所以AE=AB/2。在矩形ABCD中，AC⊥BD，所以AE⊥BD。又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AC。所以平面ABE⊥平面PBC。18.证明：连接B1E、B1F、EF。因为E、F分别是棱CC1、BB1的中点，所以EF平行于BC。又因为B1C1平行于BC，所以四边形B1EFG是一个平行四边形。四边形B1EFG的面积为B1E乘以EF，即1×1=1。19.解析：二面角A-PC-B的平面角为∠APC。在等边三角形ABC中，∠APC=60°。在直角三角形PAC中，PA=2，AC=√2，所以PC=2√2。∠APC的余弦值为AC/PC=√2/(2√2)=1/2。20.解析：三棱锥D-A1BE的体积公式为V=(1/3)×底面积×高。底面是三角形A1BE，面积为(1/2)×AB×BE×sin∠ABE。因为AB=2，BE=√2，∠ABE=45°，所以底面积为(1/2)×2×√2×(√2/2)=1。高为AA1=2。所以体积为(1/3)×1×2=2/3。21.解析：点E到平面PBD的距离是三棱锥E-PBD高的长度。在直角三角形PBD中，PD=√5，BD=√2，所以PE=√(PD^2-DE^2)=√(5-1)=2。点E到平面PBD的距离为PE的一半，即√5/2。22.证明：连接B1E、B1F、EF。因为E、F分别是棱CC1、BB1的中点，所以EF平行于BC。又因为B1C1平行于BC，所以四边形B1EFG是一个平行四边形。四边形B1EFG的面积为B1E乘以EF，即1×1=1。四、证明题答案及解析23.证明：连接A1D、B1C。因为A1、B1、C、D分别是正方体的顶点，所以A1D⊥B1C。又因为A1D⊥平面BCC1B1，所以A1D⊥B1E。所以平面A1DE⊥平面B1AC。24.证明：三棱锥P-ABD的体积为V1=(1/3)×AB×AD×PA。三棱锥P-BCD的体积为V2=(1/3)×BC×CD×PB。因为AB=BC=AD=CD，PA=PB=2，所以V1=V2。即三棱锥P-ABD的体积是三棱锥P-BCD体积的两倍。25.证明：连接B1E、B1F、EF。因为E、F分别是棱CC1、BB1的中点，所以EF平行于BC。又因为B1C1平行于BC，所以四边形B1EFG是一个平行四边形。四边形B1EFG的面积为B1E乘以EF，即1×1=1。五、综合题答案及解析26.解析：三棱锥D-A1BE的体积公式为V=(1/3)×底面积×高。底面是三角形A1BE，面积为(1/2)×AB×BE×sin∠ABE。因为AB=2，BE=√2，∠ABE=45°，所以底面积为(1/2)×2×√2×(√2/2)=1。高为AA1=2。所以体积为(1/3)×1×2=2/3。点E到平面A1BD的距离是三棱锥E-A1BD高的长度。在直角三角形A1BD中，A1D=√5，BD=√2，所以DE=√(A1D^2-BD^2)=√(5-2)=√3。点E到平面A1BD的距离为DE的一半，即√3/2。27.证明：连接AE，因为E是PC的中点，所以PE=EC。又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB。在直角三角形PAB中，AE是斜边PC的中线，所以AE=PB/2。又因为AB=PB，所以AE=AB/2。在矩形ABCD中，AC⊥BD，所以AE⊥BD。又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AC。所以平面ABE⊥平面PBC。点E到平面PBD的距离是三棱锥E-PBD高的长度。在直角三角形P