广东省佛山市三水区2024-2025学年数学九上期末考试试题含解析

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，点D是△ABC的边AB上的一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，连接BE，过点D作BE的平行线交AC于点F，则下列结论错误的是（）A． B． C． D．2．若a是方程的一个解，则的值为A．3 B． C．9 D．3．若点M在抛物线的对称轴上，则点M的坐标可能是（）A．（3，-4） B．（-3，0） C．（3，0） D．（0，-4）4．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，是中心对称图形的是()A． B．C． D．5．如图，在半径为的中，弦与交于点，，，则的长是（）A． B． C． D．6．关于的二次方程的一个根是0，则a的值是（）A．1 B．-1 C．1或-1 D．0.57．某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（）A．米 B．米 C．米 D．米8．函数y＝kx﹣k（k≠0）和y＝﹣（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B．C． D．9．下列说法正确的是（）A．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件B．某种彩票的中奖率为，说明每买1000张彩票，一定有一张中奖C．抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为D．“概率为1的事件”是必然事件10．如图，等边△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC中点，点M在CB的延长线上，△DMN为等边三角形，且EN经过F点.下列结论：①EN=MF②MB=FN③MP·DP=NP·FP④MB·BP=PF·FC，正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A． B． C． D．12．如图，一次函数y＝ax+a和二次函数y＝ax2的大致图象在同一直角坐标系中可能的是（）A． B．C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，A、B、C是⊙O上三点，∠ACB＝30°，则∠AOB的度数是_____．14．已知方程的两实数根的平方和为，则k的值为____．15．如图，为半圆的直径，点、、是半圆弧上的三个点，且，，若，，连接交于点，则的长是______.16．某班级准备举办“迎鼠年，闹新春”的民俗知识竞答活动，计划A、B两组对抗赛方式进行，实际报名后，A组有男生3人，女生2人，B组有男生1人，女生4人，若从两组中各随机抽取1人，则抽取到的两人刚好是1男1女的概率是__________．17．如图，在平面直角坐标系中，已知点，为平面内的动点，且满足，为直线上的动点，则线段长的最小值为________.18．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度为_________m.三、解答题（共78分）19．（8分）为落实立德树人的根本任务，加强思改、历史学科教师的专业化队伍建设．某校计划从前来应聘的思政专业（一名研究生，一名本科生）、历史专业（一名研究生、一名本科生）的高校毕业生中选聘教师，在政治思想审核合格的条件下，假设每位毕业生被录用的机会相等（1）若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是：（2）若从中录用两人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率．20．（8分）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么范围内？21．（8分）如图1，点A是ｘ轴正半轴上的动点，点B的坐标为（0，4），M是线段AB的中点．将点M绕点A顺时针方向旋转900得到点C，过点C作ｘ轴的垂线，垂足为F，过点B作ｙ轴的垂线与直线CF相交于点E，点D是点A关于直线CF的对称点．连结AC，BC，CD，设点A的横坐标为ｔ，（1）当ｔ=2时，求CF的长；（2）①当ｔ为何值时，点C落在线段CD上；②设△BCE的面积为S，求S与ｔ之间的函数关系式；（3）如图2，当点C与点E重合时，将△CDF沿ｘ轴左右平移得到，再将A，B，为顶点的四边形沿剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形．请直接写出符合上述条件的点坐标，22．（10分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（﹣1，0）、C（0，﹣3）两点，与x轴交于另一点B．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）在抛物线的对称轴x=1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使∠PCB=90°的点P的坐标．23．（10分）在不透明的箱子中，装有红、白、黑各一个球，它们除了颜色之外，没有其他区别．（1）随机地从箱子里取出一个球，则取出红球的概率是多少？（2）随机地从箱子里取出1个球，然后放回，再摇匀取出第二个球，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求两次取出相同颜色球的概率．24．（10分）阅读材料：小胖同学遇到这样一个问题，如图1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝2，AD＝AE，∠DAE＝90°，CE＝，求CD的长；小胖经过思考后，在CD上取点F使得∠DEF＝∠ADB（如图2），进而得到∠EFD＝45°，试图构建“一线三等角”图形解决问题，于是他继续分析，又意外发现△CEF∽△CDE．（1）请按照小胖的思路完成这个题目的解答过程．（2）参考小胖的解题思路解决下面的问题：如图3，在△ABC中，∠ACB＝∠DAC＝∠ABC，AD＝AE，∠EAD+∠EBD＝90°，求BE：ED．25．（12分）如图所示，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆O，分别与BC、AB相交于点D、E，连接AD，已知∠CAD＝∠B．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若∠B＝30°，CD＝，求劣弧BD的长；（3）若AC＝2，BD＝3，求AE的长．26．如图，半圆O的直径AB＝10，将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆O′，与AB交于点P，求AP的长．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【分析】由平行线分线段成比例和相似三角形的性质进行判断.【详解】∵DE//BC，∴，故A正确；∵DF//BE，∴△ADF∽△ABF,∴，故B正确；∵DF//BE，∴，∵，∴，故C正确；∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC,∴，∵DF//BE，∴，∴，故D错误.故选D.本题考查平行线分线段成比例性质，相似三角形的性质，由平行线得出比例关系是关键.2、C【解析】由题意得：2a2-a-3=0，所以2a2-a=3，所以6a2-3a=3(2a2-a)=3×3=9，故选C.3、B【解析】试题解析:∴对称轴为x=-3，∵点M在对称轴上,∴M点的横坐标为-3，故选B.4、D【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析．【详解】A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、是中心对称图形，故此选项正确；故选：D．此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．5、C【分析】过点作于点，于，连接，由垂径定理得出，得出，由勾股定理得出，证出是等腰直角三角形，得出，求出，由直角三角形的性质得出，由勾股定理得出，即可得出答案．【详解】解：过点作于点，于，连接，如图所示：则，∴，在中，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，，∵，∴，∴，在中，，∴；故选C．考核知识点：垂径定理.利用垂径定理和勾股定理解决问题是关键.6、B【分析】把代入可得，根据一元二次方程的定义可得，从而可求出的值．【详解】把代入，得：，解得：，∵是关于x的一元二次方程，∴，即，∴的值是，故选：B．本题考查了对一元二次方程的定义，一元二次方程的解，以及一元二次方程的解法等知识点的理解和运用，注意隐含条件．7、B【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出AB的长．【详解】解：作AD⊥BC于点D，则BD＝＋0.3＝，∵cosα＝，∴cosα＝，解得，AB＝米，故选B．本题考查解直角三角形的应用、轴对称图形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8、D【分析】分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可．【详解】解：由反比例函数y＝﹣（k≠0）的图象在一、三象限可知，﹣k＞0，∴k＜0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、二、四象限，故A、B选项错误；由反比例函数y＝﹣（k≠0）的图象在二、四象限可知，﹣k＜0，∴k＞0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、三、四象限，故C选项错误，D选项正确；故选：D．此题主要考查一次函数与反比例函数图像综合，解题的关键是熟知一次函数与反比例函数系数与图像的关系．9、D【解析】试题解析：A、“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，选项错误；B.某种彩票的中奖概率为，说明每买1000张，有可能中奖，也有可能不中奖，故B错误；C.抛掷一枚质地均匀的硬币一次,出现正面朝上的概率为.故C错误；D.“概率为1的事件”是必然事件,正确.故选D.10、C【分析】①连接DE、DF，根据等边三角形的性质得到∠MDF=∠NDE，证明△DMF≌△DNE，根据全等三角形的性质证明；②根据①的结论结合点D、E、F分别是AB、AC、BC中点，即可得证；③根据题目中的条件易证得，即可得证；④根据题目中的条件易证得，再则等量代换，即可得证．【详解】连接，

∵和为等边三角形，

∴，，

∵点分别为边的中点，

∴是等边三角形，∴，，

∵∴，

在和中，，

∴，

∴，故①正确；∵点分别为等边三角形三边的中点，

∴四边形为菱形，∴，∵，∴，故②正确；∵点分别为等边三角形三边的中点，∴∥，∴，∵为等边三角形，∴，又∵，∴，∴，∴，故③错误；∵点分别为等边三角形三边的中点，∴∥，，∴，∴，由②得，∴，∴，故④正确；综上：①②④共3个正确.故选：C本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理结合等量代换是解题的关键．11、A【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．故答案为A．本题考查了中心对称图形和轴对称图形的概念,理解这两个概念是解答本题的关键.12、B【分析】根据a的符号分类，当a＞0时，在A、B中判断一次函数的图象是否相符；当a＜0时，在C、D中判断一次函数的图象是否相符．【详解】解：①当a＞0时，二次函数y＝ax2的开口向上，一次函数y＝ax+a的图象经过第一、二、三象限，A错误，B正确；②当a＜0时，二次函数y＝ax2的开口向下，一次函数y＝ax+a的图象经过第二、三、四象限，C错误，D错误．故选：B．此题主要考查了二次函数与一次函数的图象，利用二次函数的图象和一次函数的图象的特点求解．二、填空题（每题4分，共24分）13、60°【分析】直接利用圆周角定理，即可求得答案．【详解】∵A、B、C是⊙O上三点，∠ACB=30°，∴∠AOB的度数是：∠AOB=2∠ACB=60°．故答案为：60°．考查了圆周角定理的运用，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半．14、3【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得出和的值，然后将平方和变形为和的形式，代入便可求得k的值．【详解】∵，设方程的两个解为则，∵两实根的平方和为，即=∴解得：k=3或k=－11∵当k=－11时，一元二次方程的△＜0，不符，需要舍去故答案为：3本题考查根与系数的关系，注意在最后求解出2个值后，有一个值不符需要舍去．15、【分析】连接OC，根据菱形的判定，可得四边形AODC为菱形，从而得出AC=OD，根据圆的性质可得OE=OC=AC=OA=，从而得出△AOC为等边三角形，然后根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可求得∠EOC，从而得出OE平分∠AOC，根据三线合一和锐角三角函数即可求出OF，从而求出EF.【详解】解：连接OC∵，，OA=OD∴四边形AODC为菱形∴AC=OD∵∴OE=OC=AC=OA=∴△AOC为等边三角形∴∠AOC=60°∵∴∠EOC=2∴OE平分∠AOC∴OE⊥AC在Rt△OFC中，cos∠EOC=∴∴EF=OE－OF=故答案为：.此题考查的是菱形的判定及性质、圆的基本性质、等边三角形的判定及性质和解直角三角形，掌握菱形的判定及性质、同弧所对的圆周角是圆心角的一半、等边三角形的判定及性质和用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键.16、【分析】利用列表法把所有情况列出来，再用概率公式求解即可．【详解】列表如下根据表格可知共有25种可能的情况出现，其中抽取到的两人刚好是1男1女的有14种情况∴抽取到的两人刚好是1男1女的概率是故答案为：．本题考查了概率的问题，掌握列表法和概率公式是解题的关键．17、【分析】由直径所对的圆周角为直角可知，动点轨迹为以中点为圆心，长为直径的圆，求得圆心到直线的距离，即可求得答案．【详解】∵，∴动点轨迹为：以中点为圆心，长为直径的圆，∵，，∴点M的坐标为：，半径为1，过点M作直线垂线，垂足为D，交⊙D于C点，如图：此时取得最小值，∵直线的解析式为：，∴，∴，∵，∴，∴最小值为，故答案为：．本题考查了点的轨迹，圆周角定理，圆心到直线的距离，正确理解点到直线的距离垂线段最短是正确解答本题的关键．18、7【解析】设树的高度为m，由相似可得，解得，所以树的高度为7m三、解答题（共78分）19、（1）；（2）恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率为．【解析】（1）由概率公式即可得出结果；

（2）设思政专业的一名研究生为A、一名本科生为B，历史专业的一名研究生为C、一名本科生为D，画树状图可知：共有12个等可能的结果，恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的结果有2个，即可得出结果．【详解】（1）若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是；故答案为：；（2）设思政专业的一名研究生为A、一名本科生为B，历史专业的一名研究生为C、一名本科生为D，画树状图如图：共有12个等可能的结果，恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的结果有2个，∴恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率为．故答案为：本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；根据题意画出树状图是解题的关键．20、（1）y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；（2）当x=80时，y最大值=4500；（3）70≤x≤1.【分析】(1)根据题目已知条件,可以判定销量与售价之间的关系式为一次函数,并可以进一步写出二者之间的关系式;然后根据单位利润等于单位售价减单位成本,以及销售利润等于单位利润乘销量,即可求出每天的销售利润与销售单价之间的关系式.(2)根据开口向下的抛物线在对称轴处取得最大值,即可计算出每天的销售利润及相应的销售单价.(3)根据开口向下的抛物线的图象的性质,满足要求的x的取值范围应该在﹣5（x﹣80）2+4500=4000的两根之间,即可确定满足题意的取值范围.【详解】解：（1）y=（x﹣50）[50+5（100﹣x）]=（x﹣50）（﹣5x+550）=﹣5x2+800x﹣27500，∴y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；（2）y=﹣5x2+800x﹣27500=﹣5（x﹣80）2+4500，∵a=﹣5＜0，∴抛物线开口向下．∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，∴当x=80时，y最大值=4500；（3）当y=4000时，﹣5（x﹣80）2+4500=4000，解得x1=70，x2=1．∴当70≤x≤1时，每天的销售利润不低于4000元．本题主要考查二次函数的应用.21、（2）CF=2；（2）①；②；（3）点的坐标为：（22，2），（8，2），（2，2）．【分析】（2）由Rt△ABO∽Rt△CAF即可求得CF的长．（2）①点C落在线段CD上，可得Rt△CDD∽Rt△BOD，从而可求ｔ的值．②由于当点C与点E重合时，CE=2，，因此，分和两种情况讨论．（3）分三种情况作出图形讨论即可得到答案.【详解】解：（2）当ｔ=2时，OA=2，∵点B（0，2），∴OB=2．又∵∠BAC=900，AB=2AC，∴Rt△ABO∽Rt△CAF．∴，CF=2．（2）①当OA=ｔ时，∵Rt△ABO∽Rt△CAF，∴．∴．∵点C落在线段CD上，∴Rt△CDD∽Rt△BOD．∴，整理得．解得（舍去）．∴当时，点C落在线段CD上．②当点C与点E重合时，CE=2，可得．∴当时，；当时，．综上所述，S与ｔ之间的函数关系式为．（3）（3）点的坐标为：（22，2），（8，2），（2，2）．理由如下：如图2，当时，点的坐标为（22，0），根据，为拼成的三角形，此时点的坐标为（22，，2）．如图2，当点与点A重合时，点的坐标为（8，0），根据，为拼成的三角形，此时点的坐标为（8，，2）．如图3，当时，点的坐标为（2，0），根据，为拼成的三角形，此时点的坐标为（2，，2）．∴点的坐标为：（22，2），（8，2），（2，2）．22、（1）y＝x2－2x－1．（2）M（1，－2）．（1P（1，－4）．【解析】分析：（1）根据抛物线的对称轴可求出B点的坐标，进而可用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）由于A、B关于抛物线的对称轴直线对称，若连接BC，那么BC与直线x=1的交点即为所求的点M；可先求出直线BC的解析式，联立抛物线对称轴方程即可求得M点的坐标；（1）若∠PCB=90°，根据△BCO为等腰直角三角形，可推出△CDP为等腰直角三角形，根据线段长度求P点坐标．详解：（1）∵抛物线的对称轴为x=1，且A（﹣1，0），∴B（1，0）；可设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣1），由于抛物线经过C（0，﹣1），则有：a（0+1）（0﹣1）=﹣1，a=1，∴y=（x+1）（x﹣1）=x2﹣2x﹣1；（2）由于A、B关于抛物线的对称轴直线x=1对称，那么M点为直线BC与x=1的交点；由于直线BC经过C（0，﹣1），可设其解析式为y=kx﹣1，则有：1k﹣1=0，k=1；∴直线BC的解析式为y=x﹣1；当x=1时，y=x﹣1=﹣2，即M（1，﹣2）；（1）设经过C点且与直线BC垂直的直线为直线l，作PD⊥y轴，垂足为D；∵OB=OC=1，∴CD=DP=1，OD=OC+CD=4，∴P（1，﹣4）．点睛：本题考查了二次函数解析式的确定、轴对称的性质以及特殊三角形的性质等知识，难度适中．23、（1）；（2）【分析】（1）已知由在一个不透明的箱子里，装有红、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别，所以可利用概率公式求解即可；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次取出相同颜色球的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】解：（1）∵在一个不透明的箱子里，装有红、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别，∴随机地从箱子里取出1个球，则取出红球的概率是；（2）画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次取出相同颜色球的有3种情况，∴两次取出相同颜色球的概率为：．考点：用列表法或树状图法求概率．24、CD=5；（1）见解析；（2）【分析】（1）在CD上取点F，使∠DEF＝∠ADB，证明△ADB∽△DEF，求出DF＝4，证明△CEF∽△CDE，由比例线段可求出CF＝1，则CD可求出；（2）如图3，作∠DAT＝∠BDE，作∠RAT＝∠DAE，通过证明△DBE∽△ATD，可得，可得，通过证明△ARE≌△ATD，△ABR≌△ACT，可得BR＝TC＝DT，即可求解．【详解】解：（1）在CD上取点F，使∠DEF＝∠ADB，∵AD＝AE，∠DAE＝90°，∴DE＝AD＝AE，∵∠ABC＝45°，∠ADE＝45°，且∠ADC＝∠ADE+∠EDC，∴∠BAD＝∠EDC，∵∠BDA＝∠DEF，∴△ADB∽△DEF，∴＝，∵AB＝2，∴DF＝4，又∵∠CDE+∠C＝45°，∴∠CEF＝∠CDE，∴△CEF∽△CDE，∴，又∵DF＝4，CE＝，∴，∴CF＝1或CF＝5（舍去），∴CD＝CF+4＝5；（2）如图3，作∠DAT＝∠BDE，作∠RAT＝∠DAE，∵∠ACB＝∠DAC＝∠ABC，∴AB＝AC，AD＝CD，∵AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE，∵∠EAD+∠EBD＝90°，∴∠EAD+2∠EBD＝180°，且∠EAD+2∠AED＝180°，∴∠EBD＝∠AED＝∠ADE，∵∠BDA＝∠DAT+∠ATD＝∠BDE+∠ADE，∴∠ADE＝∠ATD＝∠EBD，且∠BDE＝∠DAT，∴△DBE∽△ATD，∴，∠ADT＝∠BED，∴，且AD＝DC，∴，∵∠RAT＝∠DAE，∠ADE＝∠ATD，∴∠RAE＝∠DAT，∠AED＝∠ART＝∠ADE＝∠ATD，∴AR＝AT，且∠RAE＝∠DAT，∠ARE＝∠ATD，∴△ARE≌△ATD（ASA）∴∠ADT＝∠AER，DT＝