广东省开平市月山初级中学2025届数学九上期末调研试题含解析

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（每题4分，共48分）1．求二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，与轴的交点为、，其中，有下列结论：①；②；③；④；⑤；其中，正确的结论有（）A．5 B．4 C．3 D．22．在数轴上表示不等式﹣2≤x＜4，正确的是（）A． B．C． D．3．如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的，点A′与A对应，则角α的大小为（）A．30° B．60° C．90° D．120°4．如图，在△ABC中，AD⊥BC交BC于点D，AD＝BD，若AB＝，tanC＝，则BC＝（）A．8 B． C．7 D．5．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于点D、E，若AD＝4，DB＝2，则EC：AE的值为（）A． B． C． D．6．将二次函数化成顶点式，变形正确的是：（）A． B． C． D．7．已知⊙O的半径为3cm，P到圆心O的距离为4cm，则点P在⊙O（）A．内部 B．外部 C．圆上 D．不能确定8．已知△ABC∽△A'B'C，AB＝8，A'B'＝6，则△ABC与△A'B'C的周长之比为（）A． B． C． D．9．如图，AB、CD相交于点O，AD∥CB，若AO=2，BO=3，CD=6，则CO等于（）A．2.4 B．3 C．3.6 D．410．从，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（）A． B． C． D．11．如图，已知：在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数为（）A．70° B．45° C．35° D．30°12．如图，抛物线交x轴的负半轴于点A，点B是y轴的正半轴上一点，点A关于点B的对称点Aʹ恰好落在抛物线上．过点Aʹ作x轴的平行线交抛物线于另一点C，则点Aʹ的纵坐标为（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．3二、填空题（每题4分，共24分）13．关于的方程的一个根是1，则方程的另一个根是____．14．从实数中，任取两个数，正好都是无理数的概率为________．15．已知正六边形的边长为4cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，边长为半径画弧（如图），则所得到的三条弧的长度之和为cm．（结果保留π）16．对于实数a和b，定义一种新的运算“*”，，计算=______________________．若恰有三个不相等的实数根，记，则k的取值范围是_______________________．17．已知1是一元二次方程的一个根，则p=_______.18．120°的圆心角对的弧长是6π，则此弧所在圆的半径是_____．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，四边形是的内接四边形，，，，求的长．20．（8分）某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温为20℃，接通电源后，水温和时间的关系如下图所示，回答下列问题：（1）分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的关系式；（2）求出图中a的值；（3）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想再8：10上课前能喝到不超过40℃的开水，问他需要在什么时间段内接水．21．（8分）如图，抛物线y＝x2+x﹣与x轴相交于A，B两点，顶点为P．（1）求点A，点B的坐标；（2）在抛物线上是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．22．（10分）如图1，在矩形中，，点从点出发向点移动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点移动，速度为每秒2个单位长度.两点同时出发，且其中的任何一点到达终点后，另一点的移动同时停止.（1）若两点的运动时间为，当为何值时，？（2）在（1）的情况下，猜想与的位置关系并证明你的结论.（3）①如图2，当时，其他条件不变，若（2）中的结论仍成立，则_________.②当，时，其他条件不变，若（2）中的结论仍成立，则_________（用含的代数式表示）.23．（10分）内接于⊙，是直径，，点在⊙上.(1)如图，若弦交直径于点，连接，线段是点到的垂线.①问的度数和点的位置有关吗？请说明理由.②若的面积是的面积的倍，求的正弦值.(2)若⊙的半径长为，求的长度.24．（10分）如图，直线与双曲线在第一象限内交于两点，已知.求的值及直线的解析式；根据函数图象，直接写出不等式的解集.25．（12分）解方程：（1）2x（x﹣1）＝3（x﹣1）；（2）x2﹣3x+1＝1．26．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线交x轴于A、C两点，与直线y＝x﹣1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标．（3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】由抛物线开口方向得a＞0，由抛物线的对称轴为直线得＞0，由抛物线与y轴的交点位置得c＜0，则abc＜0；由于抛物线与x轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，根据抛物线的对称轴性得到抛物线与x轴另一个交点在点（-3，0）与点（-2，0）之间，即有-3＜＜-2；抛物线的对称轴为直线，且c＜-1，时，；抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，，当得：，且，∴，即；对称轴为直线得,由于时，，则0,所以0,解得,然后利用得到.【详解】∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线，∴b=2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，所以①错误；∵抛物线与x轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，而对称轴为，由于抛物线与x轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，根据抛物线的对称轴性，∴抛物线与x轴另一个交点在点（-3，0）与点（-2，0）之间，即有-3＜＜-2，所以②正确；∵抛物线的对称轴为直线，且c＜-1，∴当时，,所以③正确；∵抛物线开口向上，对称轴为直线，∴当时，，当代入得：，∵，∴，即,所以④错误；∵对称轴为直线，∴,∵由于时，，∴0,所以0,解得,根据图象得，∴，所以⑤正确.所以②③⑤正确,故选C．本题考查了二次函数的图象与系数的关系，以及抛物线与x轴、y轴的交点，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），a决定抛物线开口方向；c的符号由抛物线与y轴的交点的位置确定；b的符号由a及对称轴的位置确定；当x＝1时，y＝；当时，.2、A【分析】根据不等式的解集在数轴上表示出来即可．【详解】解：在数轴上表示不等式﹣2≤x＜4的解集为：故选：A．此题主要考查不等式解集的表示，解题的关键是熟知不等式解集的表示方法．3、C【详解】分析：先根据题意确定旋转中心，然后根据旋转中心即可确定旋转角的大小．详解：如图，连接A′A，BB′，分别A′A，BB′作的中垂线，相交于点O.

显然，旋转角为90°，故选C．点睛：考查了旋转的性质，解题的关键是能够根据题意确定旋转中心，难度不大．先找到这个旋转图形的两对对应点，连接对应两点，然后就会出现两条线段，分别作这两条线段的中垂线，两条中垂线的交点就是旋转中心.4、C【分析】证出△ABD是等腰直角三角形，得出AD＝BD＝AB＝4，由三角函数定义求出CD＝3，即可得出答案．【详解】解：交于点，，是等腰直角三角形，，，，；故选：．本题考查了解直角三角形、等腰直角三角形的性质以及三角函数定义；熟练掌握等腰直角三角形的性质和三角函数定义是解题的关键．5、A【分析】根据平行线截线段成比例定理，即可得到答案．【详解】∵DE∥BC，∴，∵AD＝4，DB＝2，∴，故选：A．本题主要考查平行线截线段成比例定理，，掌握平行线截线段成比例，是解题的关键．6、A【分析】将化为顶点式，再进行判断即可．【详解】故答案为：A．本题考查了一元二次方程的问题，掌握一元二次方程的顶点式表示形式是解题的关键．7、B【解析】平面内，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有d>r点P在⊙O外；d=r点P在⊙O上；d<r点P在⊙O内.【详解】∵⊙O的半径为3cm，点P到圆心O的距离为4cm，4cm＞3cm，∴点P在圆外．故选：B．本题考查平面上的点距离圆心的位置关系的问题.8、C【分析】直接利用相似三角形的性质周长比等于相似比，进而得出答案．【详解】解：∵△ABC∽△A'B'C，AB＝8，A'B'＝6，∴△ABC与△A'B'C的周长之比为：8：6＝4：1．故选：C．本题主要考查了相似三角形的性质，正确得出相似比是解题关键．9、C【分析】由平行线分线段成比例定理，得到；利用AO、BO、CD的长度，求出CO的长度，即可解决问题．【详解】如图，∵AD∥CB，

∴；

∵AO=2，BO=3，CD=6，

∴，解得：CO=3.6，

故选C．本题考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题．掌握平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例是解题的关键．．10、C【解析】∵在这5个数中只有0、3.14和6为有理数，∴从这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是．故选C．11、C【分析】先根据垂径定理得出=，再由圆周角定理即可得出结论．【详解】解：∵OA⊥BC，∠AOB=70°，∴=，∴∠ADC=∠AOB=35°．故选C．本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．12、B【分析】先求出点A坐标，利用对称可得点横坐标，代入可得纵坐标.【详解】解：令得，即解得点B是y轴的正半轴上一点，点A关于点B的对称点Aʹ恰好落在抛物线上点的横坐标为1当时，所以点Aʹ的纵坐标为2.故选：B本题考查了二次函数的图像，熟练利用函数解析式求点的坐标是解题的关键.二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．【详解】设方程的另一个根为x1，∵方程的一个根是1，∴x1·1=1，即x1=1，故答案为：1．本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理），掌握知识点是解题关键．14、【分析】画树状图展示所有等可能的结果数，再找出两次选到的数都是无理数的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】画树状图为：则共有6种等可能的结果，其中两次选到的数都是无理数有()和()2种，所以两次选到的数都是无理数的概率．故答案为：．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．15、8π【解析】试题分析：先求得正多边形的每一个内角，然后由弧长计算公式．解：方法一：先求出正六边形的每一个内角==120°，所得到的三条弧的长度之和=3×=8π（cm）；方法二：先求出正六边形的每一个外角为60°，得正六边形的每一个内角120°，每条弧的度数为120°，三条弧可拼成一整圆，其三条弧的长度之和为8πcm．故答案为8π．考点：弧长的计算；正多边形和圆．16、【分析】分当时，当时两种情况，分别代入新定义的运算算式即可求解；设y=，绘制其函数图象，根据图象确定m的取值范围，再求k的取值范围．【详解】当时，即时，当时，即时，；设y=，则y=其函数图象如图所示，抛物线顶点，根据图象可得：当时，恰有三个不相等的实数根，其中设，为与的交点，为与的交点，，，时，，故答案为：；本题主要考查新定义问题，解题关键是将方程的解的问题转化为函数的交点问题．17、2【分析】根据一元二次方程的根即方程的解的定义，将代入方程中，即可得到关于的方程，解方程即可得到答案．【详解】解：∵1是一元二次方程的一个根∴∴故答案是：本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．18、1【分析】根据弧长的计算公式l=，将n及l的值代入即可得出半径r的值【详解】解：根据弧长的公式l＝，得到：6π＝，解得r＝1．故答案：1．此题考查弧长的计算，掌握计算公式是解题关键三、解答题（共78分）19、．【分析】如图，连接，过点作于点，通过勾股定理确定OB、OC的长，利用AB与BE的关系确定最终答案.【详解】如解图所示，连接，过点作于点，，且，，在中，，，，，，，，，，，是的弦，过的圆心，且于点，，且，，，，．本题考查的是圆内接四边形的性质、勾股定理，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．20、（1）当0≤x≤8时，y=10x+20；当8＜x≤a时，y=；（2）40；（3）要在7：50～8：10时间段内接水．【分析】（1）当0≤x≤8时，设y＝k1x＋b，将(0，20)，(8，100)的坐标分别代入y＝k1x＋b，即可求得k1、b的值，从而得一次函数的解析式；当8＜x≤a时，设y＝，将(8，100)的坐标代入y＝，求得k2的值，即可得反比例函数的解析式；（2）把y＝20代入反比例函数的解析式，即可求得a值；（3）把y＝40代入反比例函数的解析式，求得对应x的值，根据想喝到不低于40℃的开水，结合函数图象求得x的取值范围，从而求得李老师接水的时间范围．【详解】解：(1)当0≤x≤8时，设y＝k1x＋b，将(0，20)，(8，100)的坐标分别代入y＝k1x＋b，可求得k1＝10，b＝20∴当0≤x≤8时，y＝10x＋20.当8＜x≤a时，设y＝，将(8，100)的坐标代入y＝，得k2＝800∴当8<x≤a时，y＝.综上，当0≤x≤8时，y＝10x＋20；当8＜x≤a时，y＝(2)将y＝20代入y＝，解得x＝40，即a＝40.(3)当y＝40时，x＝＝20∴要想喝到不低于40℃的开水，x需满足8≤x≤20，即李老师要在7：38到7：50之间接水．本题主要考查了一次函数及反比例函数的应用题，是一个分段函数问题，分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．21、（1）A（﹣3，0），B（1，0）；（2）存在符合条件的点E，其坐标为（﹣1﹣2，2）或（﹣1+2，2）或（﹣1，﹣2）．【分析】（1）令y=0可求得相应方程的两根，则可求得A、B的坐标；（2）可先求得P点坐标，则可求得点E到AB的距离，可求得E点纵坐标，再代入抛物线解析式可求得E点坐标．【详解】（1）令y=0，则x2+x0，解得：x=﹣3或x=1，∴A(﹣3，0)，B(1，0)；（2）存在．理由如下：∵yx2+x(x+1)2﹣2，∴P(﹣1，﹣2)．∵△ABP的面积等于△ABE的面积，∴点E到AB的距离等于2，①当点E在x轴下方时，则E与P重合，此时E(﹣1，﹣2)；②当点E在x轴上方时，则可设E(a，2)，∴a2+a2，解得：a=﹣1﹣2或a=﹣1+2，∴E(﹣1﹣2，2)或E(﹣1+2，2)．综上所述：存在符合条件的点E，其坐标为(﹣1﹣2，2)或(﹣1+2，2)或(﹣1，﹣2)．本题考查了二次函数的性质及与坐标轴的交点，分别求得A、B、P的坐标是解答本题的关键．22、（1）；（2），证明见解析；（3）①；②【分析】（1）根据相似三角形的性质，可得，进而列出方程，求出t的值.（2）根据相似三角形的性质，可得，进而根据等量关系以及矩形的性质，得出，进而得出结论.（3）①根据全等三角形的判定，可得出△AMB≌△DNA，再根据全等三角形的性质，即可得出AM=DN，得出方程，求解即可得出答案.【详解】解：（1）∵，∴，∴，解得.（2）.证明：∵，∴.∵，∴，∴，即.（3）①∵∴∠ABE＋∠BAE=90°∵∴∵AD=AB，∠BAD=∠ADC=90°∴△AMB≌△DNA∴AM=DN∴t=2-2t∴t=②∵由①知，∠BAD=∠ADC=90°∴∵∴=n∴∴t=本题主要考察了相似三角形和全等三角形，熟练掌握相似三角形的性质和正确找出线段之间的关系是解题的关键.23、（1）没有关系，∠CDF=∠CAB=60°；（2）；（3）或【解析】（1）①根据同弧所对的圆周角解答即可；②利用锐角三角函数的定义求出AC与BC、DF与CF的关系，利用三角形的面积公式得出，然后根据正弦的定义可求出的正弦值；（2）分两种情况求解：①当D点在直径AB下方的圆弧上时；当D点在直径AB上方的圆弧上时.【详解】解：（1）①没有关系，理由如下：当D在直径AB的上方时，如下图，∵AB为直径，∴∠ACB=90°；∵∠ABC=30°，∴∠CAB=60°；∴∠CDF=∠CAB=60°；当D在直径AB的下方时，如下图∵∠CAB=60°，∴∠CDB=180°-∠CAB=120°,∴∠CDF=60°.②∵CF⊥BD，AB为直径；∴∠ACB=∠CFD=90°；由①得，∠CDF=∠CAB=60°，∴；；∵；；∴；∴（2）∵半径为2，，∴弧CD所对圆心角①当D点在直径AB下方的圆弧上时；如图，连结OD，过D作DE⊥AB于E；由（1）知，，∴；∴；OD=2，∴，，；∴；②当D点在直径AB上方的圆弧上时，如图，连结OD，过D作DF⊥AB于F；此时；∴，，；∴；综上所述：BD的长为或.本题考查了圆周角定理的推论，锐角三角函数的定义，勾股定理及其逆定理的应用，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键.24、（1），；（2）或.【分析】⑴将点A（1，m）B(2，1)代入y2得出k2，m；再将A,B坐标代入y1中，求出即可；⑵直接根据函数图像写出答案即可.【详解】解：点在双曲线上，双曲线的解析式为在双曲线上，，直线过两点，，解得，直线的解析式为.根据函数图象可知，不等式的解集为或.此题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，已知一个交点坐标先求出反比例函数的解析式是解题的关键.25、（1）x1＝1,x2＝1.2；（2）或．【分析】(1)利用因式分解法求解可得；(2)利用公式法求解可得．【详解】解：(1)∵2x(x﹣1)＝3(x﹣1)，∴2x(x﹣1)﹣3(x﹣1)＝1，则(x﹣1)(2x﹣3)＝1，∴x﹣1＝1或2x﹣3＝1，解得x＝1或x＝1.2；故答案为x＝1或x＝1.2．(2)∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，∴△＝(-3)2﹣4×1×1＝2＞1，则x，或．本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握其常见的解法是解决本类题的关键．26、(1)y＝﹣x2﹣2x+3；(2)点P(，)；(3)符合条件的点D的坐标为D1(0，3)，D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)．【分析】(1)令y＝0，求出点A的坐标，根据抛物线的对称轴是x