湖南省长沙市铁路一中学2025届数学九年级第一学期期末综合测试模拟试题含解析

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(每小题3分,共30分)1．已知线段，，如果线段是线段和的比例中项，那么线段的长度是（）．A．8； B．； C．； D．1．2．如图，在4×4的正方形方格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上，则的值为（）A． B． C． D．33．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（）A．x2﹣x﹣1＝0 B．x2+x+1＝0 C．x2+1＝0 D．x2+2x+1＝04．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个5．已知一个扇形的半径为60cm，圆心角为180°，若用它做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（）A．15cm B．20cm C．25cm D．30cm6．二次函数y=a+bx+c的图象如图所示，则下列关系式错误的是（）A．a＜0 B．b＞0 C．﹣4ac＞0 D．a+b+c＜07．如图在△ABC中，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，不一定能使△ADE与△ABC相似的条件是（）A．∠AED=∠B B．∠ADE=∠C C． D．8．下列函数中，变量是的反比例函数是（）A． B． C． D．9．未来三年，国家将投入8450亿元用于缓解群众“看病难、看病贵”的问题．将8450亿元用科学记数法表示为（）A．0.845×104亿元 B．8.45×103亿元 C．8.45×104亿元 D．84.5×102亿元10．如图，在纸上剪一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径r＝1，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于90°，则R的值是（）A．R＝2 B．R＝3 C．R＝4 D．R＝5二、填空题(每小题3分,共24分)11．某游乐园的摩天轮(如图1)有均匀分布在圆形转轮边缘的若干个座舱，人们坐在座舱中可以俯瞰美景，图2是摩天轮的示意图．摩天轮以固定的速度绕中心顺时针方向转动，转一圈为分钟．从小刚由登舱点进入摩天轮开始计时，到第12分钟时，他乘坐的座舱到达图2中的点_________处(填，，或)，此点距地面的高度为_______m．12．如果3是数和6的比例中项，那么__________13．若，则______.14．已知二次函数的自变量与函数的部分对应值列表如下：…－3－2－10……0－3－4－3…则关于的方程的解是______.15．如图，是的外接圆，是的中点，连结，其中与交于点.写出图中所有与相似的三角形：________.16．抛物线y＝3（x+2）2+5的顶点坐标是_____．17．今年我国生猪价格不断飙升，某超市的排骨价格由第一季度的每公斤元上涨到第三季度的每公斤元，则该超市的排骨价格平均每个季度的增长率为________．18．二次函数y＝a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y＝mx+n的图象不经过第_____象限．三、解答题(共66分)19．（10分）根据广州市垃圾分类标准，将垃圾分为“厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾”四类．小明将分好类的两袋垃圾准确地投递到小区的分类垃圾桶里．请用列举法求小明投放的两袋垃圾是“厨余垃圾和有害垃圾”的概率．20．（6分）（1）解方程：（2）如图，是等腰直角三角形，是斜边，将绕点逆时针旋转后，能与重合，如果，那么的长等于多少？21．（6分）如图，AB、AD是⊙O的弦，△ABC是等腰直角三角形，△ADC≌△AEB，请仅用无刻度直尺作图：(1)在图1中作出圆心O；(2)在图2中过点B作BF∥AC．22．（8分）某校为了提升初中学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神，举办“玩转数学”比赛，现有甲、乙、丙三个小组进入决赛，评委从研究报告、小组展示、答辩三个方面为各小组打分，各项成绩均按百分制记录，甲、乙、丙三个小组各项得分如下表：小组

研究报告

小组展示

答辩

甲

91

80

78

乙

81

74

85

丙

79

83

90

（1）计算各小组的平均成绩，并从高分到低分确定小组的排名顺序：（2）如果按照研究报告占40%，小组展示占30%，答辩占30%，计算各小组的成绩，哪个小组的成绩最高？23．（8分）已知抛物线的顶点在第一象限，过点作轴于点，是线段上一点（不与点、重合），过点作轴于点，并交抛物线于点．（1）求抛物线顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围；（2）若直线交轴的正半轴于点，且，求的面积的取值范围．24．（8分）某市2017年对市区绿化工程投入的资金是5000万元，为争创全国文明卫生城，加大对绿化工程的投入，2019年投入的资金是7200万元，且从2017年到2019年，两年间每年投入资金的年平均增长率相同.（1）求该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率；（2）若投入资金的年平均增长率不变，那么该市在2020年预计需投入多少万元？25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的三个顶点、、.抛物线的解析式为.（1）如图一，若抛物线经过，两点，直接写出点的坐标；抛物线的对称轴为直线；（2）如图二：若抛物线经过、两点，①求抛物线的表达式.②若点为线段上一动点，过点作交于点，过点作于点交抛物线于点.当线段最长时，求点的坐标；（3）若，且抛物线与矩形没有公共点，直接写出的取值范围.26．（10分）某校园艺社计划利用已有的一堵长为10m的墙，用篱笆围一个面积为的矩形园子.(1)如图，设矩形园子的相邻两边长分别为、.①求y关于x的函数表达式；②当时，求x的取值范围；(2)小凯说篱笆的长可以为9.5m，洋洋说篱笆的长可以为10.5m.你认为他们俩的说法对吗？为什么？

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、A【解析】根据线段比例中项的概念，可得，可得，解方程可求．【详解】解：若是、的比例中项，即，∴,∴，故选：．本题考查了比例中项的概念，注意：求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．2、B【分析】根据勾股定理求出和的各边长，由三边对应成比例的两个三角形相似可得，所以可得，求值即可.【详解】解：由勾股定理，得，，，，，，，，，，.故选：B本题考查了相似三角形的判定与性质及解直角三角形，灵活利用正方形方格的特点是解题的关键.3、A【分析】逐项计算方程的判别式，根据根的判别式进行判断即可．【详解】解：在x2﹣x﹣1＝0中，△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝1+4＝5＞0，故该方程有两个不相等的实数根，故A符合题意；在x2+x+1＝0中，△＝12﹣4×1×1＝1﹣4＝﹣3＜0，故该方程无实数根，故B不符合题意；在x2+1＝0中，△＝0﹣4×1×1＝0﹣4＝﹣4＜0，故该方程无实数根，故C不符合题意；在x2+2x+1＝0中，△＝22﹣4×1×1＝0，故该方程有两个相等的实数根，故D不符合题意；故选：A．本题考查根的判别式，解题的关键是记住判别式，△＞0有两个不相等实数根，△＝0有两个相等实数根，△＜0没有实数根，属于中考常考题型．4、B【详解】解：∵抛物线和x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；∵对称轴是直线x﹣1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，∴抛物线和x轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0，∴4a+c＞2b，∴②错误；∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c＜0，∴2a+2b+2c＜0，∵b=2a，∴3b，2c＜0，∴③正确；∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，∴y=a﹣b+c的值最大，即把（m，0）（m≠0）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，∴am2+bm+b＜a，即m（am+b）+b＜a，∴④正确；即正确的有3个，故选B．考点：二次函数图象与系数的关系5、D【分析】根据底面周长=展开图的弧长可得出结果．【详解】解：设这个圆锥的底面半径为r，

根据题意得2πr=，

解得r=30（cm），

即这个圆锥的底面半径为30cm．

故选：D．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．6、D【解析】试题分析：根据抛物线的开口方向对A进行判断；根据抛物线的对称轴位置对B进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数对C进行判断；根据自变量为1所对应的函数值为正数对D进行判断．A、抛物线开口向下，则a＜0，所以A选项的关系式正确；B、抛物线的对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b＞0，所以B选项的关系式正确；C、抛物线与x轴有2个交点，则△=b2﹣4ac＞0，所以D选项的关系式正确；D、当x=1时，y＞0，则a+b+c＞0，所以D选项的关系式错误．考点：二次函数图象与系数的关系7、C【分析】由题意根据相似三角形的判定定理依次对各选项进行分析判断即可．【详解】解：A、∠AED=∠B，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故A选项错误；B、∠ADE=∠C，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故B选项错误；C、不能判定△ADE∽△ACB，故C选项正确；D、，且夹角∠A=∠A，能确定△ADE∽△ACB，故D选项错误．故选：C．本题考查的是相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解答此题的关键．8、B【解析】根据反比例函数的一般形式即可判断．【详解】A.不符合反比例函数的一般形式的形式，选项错误；B.符合反比例函数的一般形式的形式，选项正确；C.不符合反比例函数的一般形式的形式，选项错误；D.不符合反比例函数的一般形式的形式，选项错误．故选B．本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的一般形式是解题的关键．9、B【解析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）．8450一共4位，从而8450=8.45×2．故选B．考点：科学记数法．10、C【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算．【详解】解：扇形的弧长是：＝，圆的半径r＝1，则底面圆的周长是2π，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：＝2π，∴＝2，即：R＝4，故选C．本题主要考查圆锥底面周长与展开扇形弧长关系,解决本题的关键是要熟练掌握圆锥底面周长与展开扇形之间关系.二、填空题(每小题3分,共24分)11、C78【分析】根据转一圈需要18分钟，到第12分钟时转了圈，即可确定出座舱到达了哪个位置；再利用垂径定理和特殊角的锐角三角函数求点离地面的高度即可.【详解】∵转一圈需要18分钟，到第12分钟时转了圈∴乘坐的座舱到达图2中的点C处如图，连接BC,OC,OB,作OQ⊥BC于点E由图2可知圆的半径为44m，即∵OQ⊥BC∴∴∴∴点C距地面的高度为m故答案为C,78本题主要考查解直角三角形，掌握垂径定理及特殊角的锐角三角函数是解题的关键.12、【分析】根据比例的基本性质知道，在比例里两个外项的积等于两个内项的积．【详解】因为，在比例里两个外项的积等于两个内项的积，所以，6x=3×3，x=9÷6，x=，故答案为：．本题考查了比例中项的概念，熟练掌握概念是解题的关键．13、【分析】利用“设法”表示出，然后代入等式，计算即可．【详解】设，则：，∴，故答案为：．本题考查了比例的性质，利用“设法”表示出是解题的关键．14、，【分析】首先根据与函数的部分对应值求出二次函数解析式，然后即可得出一元二次方程的解.【详解】将（0，-3）（-1，-4）（-3,0）代入二次函数，得解得∴二次函数解析式为∴方程为∴方程的解为，故答案为，.此题主要考查二次函数与一元二次方程的综合应用，熟练掌握，即可解题.15、；．【分析】由同弧所对的圆周角相等可得，可利用含对顶角的8字相似模型得到，由等弧所对的圆周角相等可得，在和含公共角，出现母子型相似模型．【详解】∵∠ADE=∠BCE，∠AED=∠CEB，∴；∵是的中点，∴，∴∠EAD=∠ABD，∠ADB公共，∴．综上：；．故答案为：；．本题考查的知识点是相似三角形的判定和性质，圆周角定理，同弧或等弧所对的圆周角相等的应用是解题的关键．16、（﹣2，5）【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．【详解】解：由y＝3（x+2）2+5，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣2，5）．故答案为：（﹣2，5）．本题考查二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．17、【分析】等量关系为：第一季度的猪肉价格×（1+增长率）2=第三季度的猪肉价格【详解】解：设平均每个季度的增长率为g，∵第一季度为每公斤元，第三季度为每公斤元，，解得．∴平均每个季度的增长率．故答案为：．本题考查了一元二次方程的应用，是常考查的增长率问题，解题的关键是熟悉有关增长率问题的有关等式．18、一【分析】由二次函数解析式表示出顶点坐标，根据图形得到顶点在第四象限，求出m与n的正负，即可作出判断．【详解】根据题意得：抛物线的顶点坐标为（﹣m，n），且在第四象限，∴﹣m＞0，n＜0，即m＜0，n＜0，则一次函数y＝mx+n不经过第一象限．故答案为：一．此题考查了二次函数与一次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数及一次函数的图象与性质是解本题的关键．三、解答题(共66分)19、见解析，【分析】首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案．【详解】解：分别记厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾为A、B、C、D，画树状图如下：由树状图知，共有12种等可能结果，其中小明投放的两袋垃圾是“厨余垃圾和有害垃圾”的结果有2种，所以小明投放的两袋垃圾是“厨余垃圾和有害垃圾”的概率为＝．本题主要考查的是利用树状图求解概率，解此题需要正确的运用树状图，所以掌握树状图是解此题的关键.20、（1）＝1，＝5；（2）2【详解】（1）解：（x﹣1）（x﹣5）＝0x﹣1＝0或x﹣5＝0∴，，（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝90°，∵△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，∴AP＝AP′，∠PAP′＝∠BAC＝90°，∴△APP′为等腰直角三角形，∴PP′＝AP＝2.本题考查了解一元二次方程，等腰直角三角形，旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质．21、见解析.【分析】（1）画出⊙O的两条直径，交点即为圆心O．（2）作直线AO交⊙O于F，直线BF即为所求．【详解】解：作图如下：（1）；（2）.本题考查作图−复杂作图，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22、（1）丙、甲、乙;（2）甲组的成绩最高.【解析】试题分析：（1）计算各小组的平均成绩，并从高分到低分确定小组的排名顺序即可；（2）分别计算各小组的加权平均成绩，然后比较即可.试题解析：（1）甲：（91+80+78）÷3=83;乙：（81+74+85）÷3=80;丙：（79+83+90）÷3=84.∴小组的排名顺序为：丙、甲、乙．（2）甲：91×40%+80×30%+78×30%=83.8乙：81×40%+74×30%+85×30%=80.1丙：79×40%+83×30%+90×30%=83.5∴甲组的成绩最高考点：平均数；加权平均数.23、（1）函数解析式为y=x+4（x＞0）；（2）0≤S≤．【分析】（1）抛物线解析式为y=-x2+2mx-m2+m+4，设顶点的坐标为（x，y），利用抛物线顶点坐标公式得到x=m，y=m-4，然后消去m得到y与x的关系式即可．（2）如图，根据已知得出OE=4-2m，E（0，2m-4），设直线AE的解析式为y=kx+2m-4，代入A的坐标根据待定系数法求得解析式，然后联立方程求得交点P的坐标，根据三角形面积公式表示出S=（4-2m）（m-2）=-m2+3m-2=-（m-）2+，即可得出S的取值范围．【详解】（1）由抛物线y=-x2+2mx-m2+m+4可知，a=-1，b=2m，c=-m2+m+4，设顶点的坐标为（x，y），∴x=-=m，∵b=2m，y==m+4=x+4，即顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式为y=x+4（x＞0）；（2）如图，由抛物线y=-x2+2mx-m2+m+4可知顶点A（m，m+4），∵轴∴轴∴△ACP∽△ABE，∴∵∴，∵AB=m，∴BE=2m，∵OB=4+m，∴OE=4+m-2m=4-m，∴E（0，4-m），设直线AE的解析式为y=kx+4-m，代入A的坐标得，m+4=km+4-m，解得k=2，∴直线AE的解析式为y=2x+4-m，解得

，，∴P（m-2，m），∴S=（4-m）（m-2）=-m2+3m-2=-（m-3）2+，∴S有最大值

，∴△OEP的面积S的取值范围：0≤S≤．本题考查了二次函数的应用，解题的关键是正确的用字母表示出点的坐标，并利用题目的已知条件得到有关的方程或不等式，从而求得未知数的值或取值范围．24、（1）；（2）8640万元.【分析】（1）设平均增长率为x,根据题意可得2018年投入的资金是5000(1+x)万元，2019年投入的资金是5000(1+x)(1+x)万元，由2019年投入的资金是7200万元即可列出方程.，求解即可.（2）相当于数字7200增长了20%，列式计算.【详解】解：（1）设两年间每年投入资金的平均增长率为x，根据题意得，5000(1+x)2=7200解得，x1=0.2=20%，x2=-2.2（不符合题意，舍去）答：该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为20%；（2）根据题意得，7200（1+20%）=8640万元.答：在2020年预计需投入8640万元.本题考查一元二次方程的实际应用，增长率问题，根据a(1+x)2=b（a、b、x、n分别表示增长前量、增长后量、增长率和增长次数）列方程是解答增长率问题的关键.25、（1）（4,8）；x=6；（2）①；②（6,4）；（3）或【分析】（1）根据矩形的性质即可求出点A的坐标，然后根据抛物线的对称性，即可求出抛物线的对称轴；（2）①将A、C两点的坐标代入解析式中，即可求出抛物线的表达式；②先利用待定系数法求出直线AC的解析式，然