基于单元整体的教学实践

“正多边形\"是浙江教育出版社九年级第一学期教材中的内容。在这一节内容中，探索了正多边形的相关概念、性质以及和圆的关系。正多边形和圆是生活中最常见的图形，具有对称美。正多边形是建立在学习了正三角形（等边三角形）正四边形（正方形）的概念和性质的基础之上，进一步扩充的基本的几何知识。从正三角形、正方形到正多边形，是特殊到一般的关系；同时，从多边形的概念到正多边形的概念，揭示了正多边形与多边形的种属关系，其中有它们之间的关于概念和性质的区别与联系；再者，“正多边形”出现在“圆的相关知识”的这一章节中，说明正多边形的很多问题可以借助圆来研究，圆的相关问题也体现在正多边形的研究中，揭示了圆与正多边形的相关研究的一致性关系。如何从整体上把握关于“正多边形\"的这些关系，需要教师有一个“单元整体”的教学观念。单元整体观念，指的是对某一知识系统化。所谓单元整体建构教学，是指以一个单元或者相关数学知识作为教学设计与课堂教学的基点，进而实现知识整体建构的教学。本节课是之前学习多边形、特殊的正多边形以及圆的相关知识的整合，是初中阶段这一领域知识的完结。因此，在这一观念下，需要理清“正多边形”相关知识的脉络，下面，我就以浙教版3.7“正多边形”的教学为例，阐述单元整体教学的“完结课”教学。一、立足单元整体性的教材解析（一）关于“正多边形\"的知识脉络及解析（图1）（n-2）×180°边正多边形的各边相等正n边形的每个内角度数正多边形角正多边形的各个内角相等360。”正n边形的每个外角度数n正多边形都是轴对称图形，正n边形有n条对称轴对称性如果一个正多边形有偶数条边，那么它又是中心对称图形图11.多边形研究为正多边形“角度\"的计算提供研究方法多边形与正多边形是一般到特殊的关系。在八年级下册，学生已经学习了多边形的外角和与内角和的计算公式，这是这节课推导正多边形角的计算的基础。多边形的外角和与内角和公式同样适用于正多边形的公式，更特殊化，由于正多边形的每个角都相等，所以可以用“n”来计算每个内角或者外角的具体度数。2.正三角形、正方形的研究为正多边形概念、性质、判定等的研究提供了内容与方法对于正三角形和正方形，这是学生在三角形和四边形学习过程中的两个重要学习内容。从特殊到一般，是数学中研究相关知识的重要方法。学生可以从中推导出概念。但发现正三角形和正方形的概念得出又有所不同，这又要求学生在“一般”的研究过程中学会辨析。在正三角形和正方形的研究过程中，对边、角、对称性等都有所研究，这也为正多边形的研究提供了研究思路。3.圆和正多边形的研究相互依存由无限逼近思想可知，当正多边形的边数n趋向于无穷时接近圆。古代关于圆周率的计算正是基于此。因此，正多边形的中心、半径、中心角、边心距（人教版教材要求）的概念都与圆中的基本概念有关，即它们均以“圆的圆心、半径、圆心角、弦心距\"作为概念，所以正多边形的学习与圆的基本概念密不可分，圆的基本概念及基本性质也是学习计算正多边形的半径、中心角、边心距、周长、面积等知识的基础。4.小结基于单元整体下的“正多边形”的完结课教学，是对八年级到九年级相关知识学习的一个整理。这一部分内容，并不能简单地把它放入一个章节去学习，而是需要在学习正多边形的时候，对前面所学的多边形、特殊的正多边形及圆的关系做一个梳理。由此，在九年级上册教学“正多边形”这节课的时候，基于单元整体将其作为一个知识梳理或者完结课比较合适。（二）内容与目标解析1.内容解析与教学重点学生在此之前已经学习了三角形中的正三角形、四边形中的正方形等特殊的正多边形，已经学会多边形内角和以及外角和的计算公式，以及推理证明等数学能力。本堂课通过寻找已学正多边形的共同特征得出正多边形的特征，同时通过已学的正三角形和正四边形外接圆的画法总结正多边形圆心确定的方法，再次通过实际操作得出借助圆画正多边形的本质为等分圆，在方程思想、构造思想以及转化思想中培养学生分析问题、解决问题的能力。我们需要关注的问题是：（1）正三角形的概念中没有涉及角的规定，但是从正方形开始，关于“正多边形\"这一概念，需要从“边\"和“角\"两个角度去定义；（2）关于正多边形的“对称性\"性质教学，特别是“中心对称\"性的教学，要求学生从边数为奇数和偶数进行分类讨论，需要学生基于特殊三角形和特殊四边形的研究出发去总结规律；（3）为什么要在圆的这一章节中去研究正多边形？为什么要研究\"正多边形与圆的关系\"？这是否是研究问题的一般套路？这是本节课中，学生易产生的知识矛盾。所以，这里我增加了“π”的古代研究思路，供学生去体会圆与正多边形之间的关系。基于以上分析，我确立本节课的教学重点是：正多边形的概念及性质；正多边形外接圆的概念及画法。2.目标分析与教学难点《义务教育数学课程标准（2022年版）》中对于其内容的目标要求是：了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。在之前的学习中，学生已经学习了等边三角形、正方形的概念和性质，这为今天课堂的展开做了铺垫。但是关于正多边形的性质，学生有思考的角度，对于“说全\"性质略显困难。在之前的学习过程中，学生已经会画三角形的外接圆，但是要拓展到正多边形的外接圆还需要一定的指导；对于画圆的内接正多边形也需要积累一定的转化能力，才能画圆的内接正方形和内接正六边形。我制定本节课的教学目标如下：（1）了解概念，会判断一个多边形是否是正多边形。（2）已知多边形会求它的内角和与外角和，已知内角和求多边形的边数。（3）简单得到正多边形的相关性质。（4）会确定正多边形外接圆的圆心，并画出正多边形的外接圆。（5）通过画正多边形将问题转化为等分圆的问题。达成目标1的要求是学生会通过类比得到多边形的概念，能用概念判断一个多边形是否是正多边形；达成目标2的要求是学生知道每个内角或者外角的计算方法；达成目标3的要求是会推导得出正多边形关于角、边、对称性等性质；达成目标4的要求是会确定正多边形的外接圆圆心和半径，并画出外接圆；达成目标5的要求是能画出正四边形和正六边形的外接圆。二、“正多边形”的教学过程（一）回顾旧知，引出课题问题1：前几节课，我们一直在学习圆，圆是一个非常美的对称图形，那你以前学习的对称图形有哪些？（轴对称图形：等腰三角形等；中心对称图形：平行四边形等）问题2：下面两个图形是什么图形？它们是什么对称图形？问题3：这两个图形的定义分别是什么？问题4：类似这样的图形，我们把它叫作正多边形。正多边形的定义是什么呢？（各边相等，各角也相等的多边形是正多边形）师：根据正多边形的边数不同，它们有不同的叫法。正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫作正n边形。思考：菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？（设计意图：厘清正多边形与已学正三角形、正方形之间的特殊到一般的关系，是本节课的重点之一。因此，从开始就通过对已学的正多边形的观察找出共同特征从而引出课题，并小结正多边形的特征，意在指导学生从已学的知识中获取新知识以及从特殊到一般的学习方法，同时为接下来探索正多边形的性质提供参考依据。设计思路见图2）。图3图2正三角形圆的对称性已学图形正多边形的对称性正方形（二）提炼概念，探究性质问题5：回顾之前所学正多边形的性质，它是从哪些角度出发研究的？问题6：关于角，你能具体算出每个内角或者外角的度数吗？（见图3）内角和公式正多边形的（n-2）x180°每个内角多边形正多边形的每正多边形外角和公式360°个外角360°n一般到特殊问题7：关于对称性，你是怎么知道的？（从以前学过的三角形和四边形推导，见表1）表1归纳：1.正多边形都是轴对称图形，正n边形有n条对称轴。2.如果一个正多边形有偶数条边，那么它又是中心对称图形。（设计意图：从多边形到正多边形，这是一种种属关系，因此，这里学生不难发现内角和与外角和公式，同时，对于特殊的多边形，还可以继续探究每个内角和外角；正多边形的性质研究，体现了一种几何的类比关系。在这个环节，教师要尽量让学生自己去发现结论，用自己的语言进行说明，从而培养学生的归纳能力和语言表达能力。对于问题5，教师可以借此说明，一个图形的定义既是这个图形的一种判定方法，也是这个图形的一种性质。对于对称性，还是要求学生通过从特殊到一般进行归纳整理。）（三）典例精讲，巩固性质例1：已知一个正多边形的内角为176.4∘

，这个正多边形是几边形？有没有内角为100∘

的正多边形？解：设正多边形的边数为n，由内角为176.4∘

得解得n=100设正n边形的内角为100∘

，则解得n=4.5因为n不是正整数，所以不存在内角为100∘

的正多边形。（设计意图：给出一个内角，求正多边形的边数，列方程求解，渗透方程思想。）（四）交流引导，继探关系师：正多边形和圆的关系非常密切，利用正多边形可以求圆周率π。阅读材料：祖冲之和他儿子一起研究了一项工程。当时条件很差。他们在一间大屋的地上画了一个直径1丈的大圆。从内接正6边形开始计算，12边形，24边形，48边形的，一直算到96边形，计算的结果和刘徽的一样。接着，内接边数再逐次翻翻，边数每翻一次，要进行7次加减运算，2次乘方，2次开方，运算的数字都很大，很复杂，在当时的条件下，是十分困难的。祖冲之父子一直把边形算到24576边，得出了圆周率在3.1415926和3.1415927之间，精确到了小数点后7位。其近似分数是355/113，被称为“密率”。德国数学家奥托在1573年重新得出这个近似分数。当时，欧洲人还不知道在一千多年之前祖冲之就己经算出来了。后来荷兰人安托尼兹也算出这个近似分数，于是欧洲人就把这个称为“密率”的近似分数叫作“安托尼兹率”。师：由此来看，只要把一个圆分成一些相等的弧，就可以做出这个圆的内接正多边形。（五）课堂小结，归纳整理这节课，我们具体学习了哪些内容？（见图4）图4思想方法：一般到特殊、转化（设计意图：利用小结，回忆本节课学习的主要内容，同时再次体会知识获得的过程和方法。通过小结有意识地让学生了解数学学习应关注所学知识的整体性和系统性，为下一节课做铺垫，从而帮助学生自主构建知识体系。）（六）课堂检测，教学改进1.如果正多边形的一个外角等于45∘

，那么它的边数为一）A.6B.7C.8D.92.圆的内接正四边形的边长与半径的比为一A.2：1（2D.3：1（设计意图：题目1考查的是正多边形角的性质；题目2考查的是圆内接四边形的相关性质。）四、基于单元整体性教学正多边形的意义（一）基于类比，搭建新知桥梁在数学知识的传授上，一定要在“观察什么”“如何观察”\"如何抽象\"“如何概括\"等方面类比引导，而不是直接传授概念。作为正多边形的教学，实现了三个类比：即多边形到正多边形、特殊正多边形到一般正多边形、圆的相关要素和正多边形的相关类比。可以说，类比贯穿了从概念、性质和应用的教学过程。（二）基于整体，理清学习脉络在正多边形的教学