高二冬季（寒假）组题包1-边角关系化简与正余弦定理套用

第1页（共1页）高二冬季（寒假）组题包1——边角关系化简与正余弦定理套用一．选择题（共20小题）1．（2022春•泰州期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若2a=3bsinA，则A．63 B．33 C．23 【解答】解：△ABC中，2a=由正弦定理得，2sinA=3sinBsinA因为A∈（0，π），所以sinA≠0，所以2=3sin解得sinB=6故选：A．2．（2022春•市中区校级期中）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝30°，c＝10．如果△ABC有两解，则a的取值范围是（）A．[10，20] B．[10，103] C．(10，103【解答】解：△ABC中，C＝30°，c＝10，如果△ABC有两解，则由正弦定理得：asinA=a＝20sinA，由题意知30°＜A＜150°，且A≠90°，所以12＜sinA＜所以10＜20sinA＜20，即a的取值范围是（10，20）．故选：D．3．（2022•浙江开学）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且∠BOC＝60°，BC＝1，则AB的取值范围是（）A．(0，2] B．(1，2] C【解答】解：如图，不妨设OB＝m，OC＝n，m＞0，n＞0，在△BOC中，由余弦定理可得m2+n2﹣2mncos60°＝1，①即1＝m2+n2﹣mn≥2mn﹣mn＝mn，当且仅当m＝n＝1时等号成立，由①得，m2+n2＝1+mn，在△AOB中，由余弦定理得：AB2＝m2+n2﹣2mncos120°＝m2+n2+mn＝1+2mn，∵0＜mn≤1，∴AB2∈（1，3]，可得AB∈（1，3]．故选：D．4．（2022•河西区校级开学）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，2a2+2c2﹣2b2＝ac，则cosB＝（）A．12 B．14 C．22 【解答】解：∵2a2+2c2﹣2b2＝ac，即a2∴由余弦定理得：cosB=a故选：B．5．（2022春•文峰区校级期末）在△ABC中，sinC2=255，BC＝2，ACA．42 B．41 C．29 D．17【解答】解：∵sinC∴cosC=1-2sin∴根据余弦定理，AB2＝BC2+AC2﹣2BC•AC•cosC=4+25-2×2×5×(-3∴AB=41故选：B．6．（2022春•金坛区期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若4S＝（b+c）2﹣a2，则角A的值为（）A．2π3 B．π2 C．π3 【解答】解：∵ABC中，4S＝（b+c）2﹣a2，∴4×12bc×sinA＝b2+c2﹣a2+2bc＝2bc×cosA+2∴sinA＝cosA+1，即sinA﹣cosA＝1，即1﹣2sinAcosA＝1，即sinAcosA＝0，∴cosA＝0，∴A=π故选：B．7．（2022•北京学业考试）在△ABC中，a＝1，c＝2，B＝60°，则b＝（）A．1 B．2 C．2 D．3【解答】解：在△ABC中，由a＝1，c＝2，B＝60°，得b2=则b=3故选：D．8．（2022春•三明期中）△ABC中，角A、B、C所对的边为a，b，c，若a＝3，b=13，c＝4，则BA．π6 B．π4 C．π3 【解答】解：△ABC中，角A、B、C所对的边为a，b，c，由a＝3，b=13，c＝4得cosB=a∵B∈（0，π），∴B=π故选：C．9．（2022春•江西期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知a＝4，b＝3，C=π3，则A．13 B．13 C．37 D．37【解答】解：在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知a＝4，b＝3，C=π由余弦定理可得c2=a故选：A．10．（2019秋•河南月考）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，若c2-aA．（0，+∞） B．（1，+∞） C．(0，3) 【解答】解：c2-a2-b2S=433，2abcosC＝得-2abcosC12absinC=4因为C∈（0，π），故C=2πba因为A∈（0，π3所以cotA∈（33，+故ba∈（0，+故选：A．11．（2019春•金安区校级期末）在△ABC中，已知其面积为S＝a2﹣（b﹣c）2，则tanA＝（）A．34 B．817 C．815 【解答】解：由余弦定理可得：b2+c2﹣a2＝2bccosA．∴S＝a2﹣（b﹣c）2＝2bc﹣（b2+c2﹣a2）＝2bc﹣2bccosA．又S=12bcsin∴2bc﹣2bccosA=12bcsin化为：sinA+4cosA＝4．两边平方可得：sin2A+16cos2A+8sinAcosA＝16＝16（sin2A+cos2A），∴15sin2A＝8sinAcosA，又sinA≠0，解得：tanA=8故选：C．12．（2019春•鹤城区校级期末）在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝60°，则边c的值是（）A．8 B．27 C．219 D．28【解答】解：由余弦定理可得：c2＝42+62﹣2×4×6cos60°＝28，解得c＝27．故选：B．13．（2019春•南昌期末）在锐角△ABC中，若sinA=53，b＝4，c＝3，则A．3 B．22 C．23 D．3【解答】解：∵△ABC为锐角三角形，且sinA=53，∴cosA又b＝4，c＝3，∴a=b故选：D．14．（2019春•厦门期末）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b2=a2+A．2 B．22 C．23 D．4【解答】解：设AB的中点为M，连接CM延长至D，使得CM＝MD，得到平行四边形ACBD，由题意可得CM＝2，由平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和，可得42+c2＝2（a2+b2），由b2＝a2+12c2，可得a＝由S△ABC＝2S△BCM＝2•12BC•CM•sin∠BCM＝4sin∠BCM≤4当∠BCM＝90°时，S△ABC取得最大值4．故选：D．15．（2019•虹口区二模）钝角三角形ABC的面积是12，AB＝1，BC=2，则A．1 B．2 C．5 D．5【解答】解：由题意，钝角△ABC的面积是S=12•AB•BC•sinB=12×1×2×∴sinB=2∴B=3π4或∴cosB=-2由余弦定理得：AC2＝AB2+CB2﹣2AB•CB•cosB＝1+2﹣2×1×2×（-2解得AC的值为5．故选：C．16．（2022秋•龙岩期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝4，A=π4，C=5πA．23 B．25 C．26 【解答】解：由已知得B=π-A-C=π-π由正弦定理得asinA=b解得b＝26．故选：C．17．（2021秋•巴宜区校级期中）在△ABC中，若a＝3，b=3，A=π3A．π6 B．π4 C．π3 【解答】解：在△ABC中，由正弦定理可得：asinA∴sinB=3又b＜a，∴B为锐角，∴B=π∴C＝π﹣A﹣B=π故选：D．18．（2021春•花溪区月考）在△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为（）A．153 B．33 C．1534 D【解答】解：在△ABC中，由余弦定理可得：72＝a2+52﹣2×5a×cos120°，化为：a2+5a﹣24＝0，a＞0．解得a＝3，∴S△ABC=1故选：C．19．（2021春•天山区校级月考）在△ABC中，A＝60°，a＝3，则a+b+csinA+sinB+sinCA．833 B．2393 C．26【解答】解：由条件利用正弦定理可得asinA=2R=3∴a+b+csinA+sinB+sinC=2R(sinA+sinB+sinC)sinA+sinB+sinC=2故选：D．20．（2021春•赤峰期末）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=14a，2sinB＝3sinC，则cosA．-14 B．14 C．78【解答】解：在△ABC中，∵b﹣c=14a，2sinB＝3sinC，利用正弦定理可得2b＝3c，求得a＝2c，b=再由余弦定理可得cosA=b故选：A．二．多选题（共10小题）（多选）21．（2022秋•临澧县校级月考）在△ABC中，cosB=2A．△ABC外接圆的面积为9π B．若m=33，则C＝60°C．△ABC的面积有最大值3+22D．当0＜m≤2时，△ABC有一解【解答】解：在△ABC中，由cosB=223，得sin由正弦定理可得，2R=ACsinB=213=6，即R＝3，可得△若AB＝m=33，则213=33sinC，得sinC=32，∵AB＞AC由余弦定理可得，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB，即4=AB2+BC得AB•BC≤6（3+22），当且仅当AB＝BC时取等号，则△ABC的面积有最大值为12AB⋅BC⋅sinB=1由AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB，得a2当0＜m≤2时，方程a2-42且两根之积m2﹣4≤0，可得a有唯一正根，则△ABC有一解，故D正确．故选：ACD．（多选）22．（2022春•太仓市校级月考）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）A．若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC是钝角三角形 B．若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个 C．若acosB=3，bsinA=3，则角BD．若△ABC为斜三角形，则tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC【解答】解：对于A，因为sin2A+sin2B＜sin2C，所以a2+b2＜c2，cosC=a2+b2-c22ab＜对于B，由a＝8，c＝10，B＝60°，利用余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB＝64+100﹣2×8×10×cos60°＝84，解得b＝221，所以符合条件的△ABC有1个，选项B错误；对于C，因为acosB=3，bsinA＝3，根据正弦定理得asinB＝bsinA＝3，所以asinBacosB=33，解得tanB=3，又B∈（0，π对于D，斜三角形ABC中，A+B+C＝π，A+B＝π﹣C，所以tan（A+B）＝tan（π﹣C）＝﹣tanC，即tan（A+B）=tanA+tanB所以﹣tanC（1﹣tanAtanB）＝tanA+tanB，即tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC，选项D正确．故选：AD．（多选）23．（2022春•重庆期末）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b+bcosA＝acosB，则（）A．A＝2B B．π6＜B＜π4 C．ab∈(1，2【解答】解：因为b+bcosA＝acosB，所以由正弦定理将边化为角可得：sinB+sinBcosA＝sinAcosB，即sinB＝sin（A﹣B）又A∈(0，所以B＝A﹣B，所以A＝2B，故A正确；因为△ABC为锐角三角形，所以有0＜A＜π20＜B＜由正弦定理：ab又π6＜B＜π4，所以因为A＝2B，所以sinA＝sin2B，即sinA＝2sinBcosB，由正弦、余弦定理将角化为边可得a=2b⋅a即a2c＝a2b+c2b﹣b3，变形为a2（c﹣b）＝b（c2﹣b2）＝b（c+b）（c﹣b），当b＝c时，A＝2B＝2C，△ABC为直角三角形，不成立；当b≠c时，a2＝b（c+b）＝b2+bc，故D正确．故选：ABD．（多选）24．（2022春•保定月考）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）A．若A＝60°，a＝20，b＝30，则△ABC无解 B．若A＝45°，a=2，b=3，则△ABCC．若A＝150°，a＝3，b＝4，则△ABC有一解 D．若A＝60°，a＝12，b＝8，则△ABC有两解【解答】解：对于A，∵A＝60°，a＝20，b＝30，∴sinB=basinA=33对于B，∵A＝45°，a=2，b=∴sinB=basinA=32，则A＝60°或120对于C，∵A＝150°，a＝3，b＝4，∴sinB=basinA=23＞12，得对于D，∵A＝60°，a＝12，b＝8，∴sinB=basinA=33，又a＞b，得B故选：AB．（多选）25．（2022春•浦口区校级期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下说法中正确的是（）A．若A＞B，则sinA＞sinB B．若a＝4，b＝5，c＝6，则△ABC为钝角三角形 C．若acosA＝bcosB，则△ABC一定是等腰三角形 D．若a=5，【解答】解：对于A，A＞B⇔a＞b，又asinA=bsinB，∴sinA＞sin对于B，若a＝4，b＝5，c＝6，则cosC=42+52-对于C，若acosA＝bcosB，则sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A+2B＝π，即A＝B或A+B=π2，则△ABC是等腰三角形或直角三角形，故对于D，若a=5，b=10，A=π4∴符合条件的三角形不存在，故D正确．故选：AD．（多选）26．（2022春•绿园区校级月考）在△ABC中，角A，B，C所对的对边分别为a，b，c，下列命题中正确的是（）A．若A＞B＞C，则sinA＞sinB＞sinC B．若a＝40，b＝20，B＝25°，则满足条件的△ABC有且仅有一个 C．若a＝bcosC，则△ABC是直角三角形 D．若△ABC为锐角三角形，且cos2A-3sinA+2=0．若b+c=63，则△ABC【解答】解：对于A，由A＞B＞C，得a＞b＞c，由正弦定理asinA=bsinB=csinC，得sinA＞sin对于B，若a＝40，b＝20，B＝25°，则40sin25°＜40sin30°＝20，因此，满足条件的三角形有两个，故B错误；对于C，a＝bcosC，则a2=abcosC=ab⋅a2+b2-c2可得△ABC是直角三角形，故C正确；对于D，由cos2A-3sinA+2=0，得即(sinA+3∵sinA＞0，∴sinA=3又A为锐角，∴A=π在△ABC中，由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣3bc≥(b+c)2-3(b+c2)∴a≥33在△ABC中，由正弦定理得R=a∴△ABC外接圆面积的最小值为πR2＝9π，故D正确．故选：ACD．（多选）27．（2022春•平潭县校级月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B＝60°，b＝4，则下列判断中正确的是（）A．若c=3，则该三角形有两解B．若a=92C．△ABC周长有最大值12 D．△ABC面积有最小值4【解答】解：对于A，在△ABC中，B＝60°，b＝4，若c=3，由bsinB=csinC由于c＜b，所以C＜B，故C为锐角，所以只有一组解，故A错误；对于B，由asinA=bsinB，可得sinA=asinBb=92×32则相应的C有两个解，故B正确；对于C，由b2＝a2+c2﹣2accosB，得16＝a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣3ac≥（a+c）2-34（a+c）2=14（a+故a+c≤8，当且仅当a＝c时取等号，此时三角形周长最大，三角形为等边三角形，故C正确；对于D，由432=bsinB=asinA=csinC故S△ABC=12acsinB=34×643sinAsinC=16=1633sinA（32cosA=1633[34sin2A+14（=1633•12[12-cos（=833[cos（2A﹣120°）由于A∈（0°，120°），2A﹣120°∈（﹣120°，120°），cos（2A﹣120°）∈（-12，1]，无最小值，故△ABC面积无最小值，有最大值43，故故选：BC．（多选）28．（2021•垫江县校级模拟）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A＝60°，b＝2，c=3A．C＝75°或C＝105° B．B＝45° C．a=6 D．该三角形的面积为【解答】解：△ABC中，A＝60°，b＝2，c=3由余弦定理得，a2＝22+(3+1)2-2×2×（3+解得a=6，所以C由正弦定理得，6sin60°解得sinB=2×又b＜a，所以B＝45°，所以B正确；由三角形内角和知，C＝180°﹣60°﹣45°＝75°，所以A错误；所以△ABC的面积是S△ABC=12×2×（3+1）×sin60°故选：BC．（多选）29．（2020春•宿迁期末）已知△ABC中，AB＝1，AC＝4，BC=13，D在BC上，AD为∠BAC的角平分线，E为ACA．BE=3B．△ABC的面积为13 C．AD=4D．P在△ABE的外接圆上，则PB+2PE的最大值为27【解答】解：在三角形ABC中，由余弦定理cos∠BAC=A∴∠BAC＝60°，故S△ABC=12×AB×AC×sin60°=在△ABE中，由余弦定理得：BE2＝AB2+AE2﹣2AB•AE•cos∠BAC＝1+4﹣2×1×2×12∴BE=3，故A由余弦定理可知：cosC=13+16-12×4×13=7∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝30°，∴sin∠ADC＝sin（C+30°）=3在三角形ACD中，由正弦定理可得：ADsinC=ACsin∠ADC，故AD∵AB＝1，AE＝2，∠BAE＝60°，∴BE=1+4-2×1×2×∴AB⊥BE，∴AE为△ABE的外接圆的直径，故△ABE的外接圆的半径为1，显然当PB+2PE取得最大值时，P在优弧BAE上．故∠BPE＝∠BAE＝60°，设∠PBE＝α，则∠PEB＝120°﹣α，0°＜α＜120°，∴PBsin(120°-α)=∴PB＝2sin（120°﹣α）=3cosα+sinα，PE＝2sinα∴PB+2PE=3cosα+5sinα＝27sin（α+θ），其中sinθ=327，∴当α+θ=π2时，PB+2PE取得最大值27，故故选：ACD．（多选）30．在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，下列条件中，三角形有解的是（）A．a＝6，b=63，C＝105° B．a＝5，b＝6，c＝8C．a=23，b＝5，A＝60° D．A＝45°，B＝60°，c＝【解答】解：对于A，a＝6，b=63，C＝105利用余弦定理求出c2＝a2+b2﹣2abcosC＝36+108﹣2×6×63×（-6-24）＝144+54所以△ABC有唯一解；对于B，a＝5，b＝6，c＝8，满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，所以△ABC有唯一解；对于C，a＝23，b＝5，A＝60°，利用正弦定理asinA=bsinB求出sinB=所以△ABC无解；对于D，A＝45°，B＝60°，c＝2，所以C＝75°，利用正弦定理asinA求出a=86+2b=86+2所以△ABC有唯一解．故选：ABD．三．解答题（共28小题）31．（2022秋•宝山区期末）已知函数f（x）＝sin2x+3cos2x，x∈R（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，当f（A）＝0，b＝1，且三角形ABC的面积为3时，求a．【解答】解：（1）f（x）=2(12sin2x+32cos2x)=要求f（x）的单调增区间，只需-π2+2kπ≤2x+π3≤π2解得-512π+kπ≤x≤π12故函数f（x）的单调增区间为[-512π+kπ，π12+kπ]（2）由已知得f（A）＝2sin（2A+π3）＝0，结合2A+π3=π，解得又b＝1，且三角形ABC的面积为3，故12解得c＝4，所以a2＝b2+c2﹣2bccosA＝1+42﹣2×1×4×cosπ3故a=1332．（2022秋•高新区校级月考）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，其面积为S，且b（asinA+csinC﹣bsinB）＝3S．（1）求cosB的值；（2）若a、b、c成等比数列，且△ABC的面积是72，求△ABC【解答】解：（1）因为b（asinA+csinC﹣bsinB）＝3S，故b（asinA+csinC﹣bsinB）＝3×12absin即b（a2+c2﹣b2）=32abc，即a2+c2﹣b2故cosB=a（2）由（1）得sinB=1-co可得b2=ac12ac×故△ABC的周长为2+3233．（2022春•重庆期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC+3（1）求角A；（2）若a=7，△ABC的面积为32，求△【解答】解：（1）由acosC+3根据正弦定理得sinAcosC+3又B＝π﹣（A+C），代入上式得3sinAsinC-cosAsinC-2sinC=0又sinC＞0，所以3sinA-cosA=2⇒2sin(A-又A-π所以A-π（2）由题意可得△ABC的面积为12由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+c2+bc＝7，即（b+c）2﹣bc＝7⇒（b+c）2＝9⇒b+c＝3，所以△ABC的周长为3+734．（2022春•广州期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA+（2c+a）cosB＝0．（1）求B；（2）若b=5，△ABC的面积为12，求△【解答】解：（1）∵在△ABC中，bcosA+（2c+a）cosB＝0，由正弦定理可得：sinBcosA＝（-2sinC﹣sinA）cosB∴sin（A+B）=-2sinCcosB＝sinC又角C为△ABC内角，sinC＞0，∴cosB=-2又B∈（0，π），∴B=3π（2）有S△ABC=12acsinB=12又b2＝a2+c2+2ac＝（a+c）2﹣2ac+2∴a+c=2∴△ABC的周长为：5+35．（2022•长沙县校级模拟）在①asin2C=4csinCcos2A2；②a2﹣c在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，已知_______．（1）求证：A＝2C；（2）若2a＝3c，且b＝5，求S的值．【解答】解：（1）若选择①，由asin2C=4csinCcos得a⋅2inCcosC=4c⋅sinC⋅1+cosA∵sinC≠0，∴a•cosC＝c•（1+cosA），∴sinAcosC＝sinC+sinCcosA，得sin（A﹣C）＝sinC，∵0＜A＜π2，0＜C＜π，∴﹣π＜A﹣C＜π，得A﹣C＝C，或A﹣C+C＝即A＝2C或A＝π（舍去）；若选择②，由a2﹣c2＝bc及a2＝b2+c2﹣2bccosA，得bc＝b2﹣2bccosA，得c＝b﹣2ccosA，由正弦定理得，sinC＝sinB﹣2sinCcosA，∴sinC＝sin（A+C）﹣2sinCcosA，则sinC＝sinAcosC+cosAsinC﹣2sinCcosA，∴sinC＝sinAcosC﹣cosAsinC＝sin（A﹣C），∵0＜A＜π2，0＜C＜π，∴﹣π＜A﹣C＜π，得A﹣C＝C，或A﹣C+C＝即A＝2C或A＝π（舍去）；（2）由（1）知，A＝2C，由2a＝3c及正弦定理得2sinA＝3sinC，∴2sin2C＝3sinC，则4sinCcosC＝3sinC，∵sinC≠0，∴cosC=34，由余弦定理得c2＝b2+a2﹣2abcosC，得c2得c2﹣9c+20＝0，解得c＝4或c＝5，当c＝4时，a＝6，S=1当c＝5时，a=152，综上所述：S=157436．（2022春•三明期末）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且bc＝a2﹣c2．（1）若c=3，且A=π3（2）求cosA+sinC的最大值．【解答】解：（1）∵A=π∴cosA=12=b2+c2-a22bc又bc＝a2﹣c2，且c=3∴b2+3-a两式相加得b=23，又c=3，∴△ABC的面积为12（2）∵bc＝a2﹣c2，∴cosA=bcosA=sinB-sinC2sinC，∴2cosAsinC＝sinB﹣sin又sinB＝sin（A+C），∴2cosAsinC＝sinAcosC+cosAsinC﹣sinC，∴cosAsinC＝sinAcosC﹣sinC，∴sinC＝sin（A﹣C），又A，C∈（0，π），∴C＝A﹣C，∴A＝2C，∴cosA+sinC＝cos2C+sinC＝1﹣2sin2C+sinC=-2(sinC-1当且仅当sinC=1∴cosA+sinC的最大值为9837．（2022•南京模拟）在钝角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosC+bsinC＝b．（1）证明B-A=π（2）若3bsinC+ccosB=a，c=1【解答】解：（1）证明：∵acosC+bsinC＝b，根据正弦定理可得：sinAcosC+sinBsinC＝sinB，又sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC+sinBsinC＝sinAcosC+cosAsinC，∴sinBsinC＝cosAsinC，∴sinB＝cosA，∴sinB＝sin（π2-A），又A，B为△∴B=π2-A或B∴A+B=π2或B﹣A=π∴B﹣A=π（2）∵3bsinC+ccosB=a3sinBsinC+sinCcosB=sinA，又sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC∴3sinBsinC+sinCcosB＝sinBcosC+cosBsinC，∴3sinBsinC＝sinBcosC，∴tanC=33，∴C=π6，又由（1）知B﹣A=π2，A+∴A＝C=π6，B=2π3，又c＝1，∴a＝∴△ABC的面积为1238．（2022•一模拟）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，△ABC的面积为S，已知b2（1）求角A；（2）若b＝2，a=7，求△ABC【解答】解：（1）因为b2+c2-a2=433S．由余弦定理b2+c2﹣a2得2bccosA-433×12所以sinA=3cosA所以tanA=3因为A∈（0，π），所以A=π（2）在△ABC中，由余弦定理得，a2＝b2+c2﹣2bccosA，即c2﹣2c﹣3＝0，解得c＝3或c＝﹣1（舍去），则S△ABC=12bcsinA=12×39．（2022春•丰泽区校级期中）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，B=π3，a＝（1）若A=π4，求（2）若______，求c的值及△ABC的面积．请从①b=13，②sinC＝2sinA，这两个条件中任选一个，将问题（2【解答】解：（1）△ABC中，B=π3，a＝3，由正弦定理，得bsinB所以b=a（2）选①：由余弦定理，得b2＝a2+c2﹣2accosB，即13=c整理，得c2﹣3c﹣4＝0，由c＞0，解得c＝4，所以△ABC的面积为S△ABC选②：因为sinC＝2sinA，由正弦定理，得c＝2a，所以c＝6，所以△ABC的面积为S△ABC40．（2021春•西昌市期中）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（c﹣b）（sinB+sinC）＝（sinC﹣sinA）a．（1）求角B；（2）若c＝4，a＝3，求cosC．【解答】解：（1）∵（c﹣b）（sinB+sinC）＝（sinC﹣sinA）a，∴由正弦定理得c2﹣b2＝ac﹣a2，即a2+c2﹣b2＝ac，由余弦定理得：cosB=a∵0＜B＜π，∴B=π（2）∵c＝4，△ABC的面积为33，∴12acsinB=33，即1解得a＝3．由余弦定理得：b2＝a2+c2﹣2accosB＝16+9﹣2×4×3×12=13，则b=13，cosC=a41．（2021秋•甘州区校级月考）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2bsinA．（1）求角B的大小；（2）若a＝33，b=7，且△ABC是锐角三角形，求△ABC【解答】解：（1）△ABC中，a＝2bsinA，由正弦定理边化角得sinA＝2sinBsinA，又sinA≠0，所以sinB=1又因为B∈（0，π），所以B=π6或B（2）因为△ABC是锐角三角形，所以B=π由余弦定理得(7)2=c2+(33)2-化简得c2﹣9c+20＝0，解得c＝4或c＝5，当c＝4时，cosA=42所以c＝5，所以△ABC的面积为S△ABC=12acsinB=12×42．（2021秋•海淀区校级月考）已知△ABC的面积为42，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：条件①a＝6，cosC=-13；条件②：A＝C，cosB（1）b和c的值；（2）sin（A﹣B）的值．【解答】解：若选择条件①：a＝6，cosC=-1（1）在△ABC中，cosC=-1所以C∈（π2，π），sinC=因为△ABC的面积为S=12absinC＝42，a＝6，所以b＝由余弦定理得，c2＝a2+b2﹣2abcosC＝48，解得c＝43．（2）由正弦定理asinA=b所以sinA=63，sinB因为A、B∈（0，π2），所以cosA=33，cos所以sin（A﹣B）＝sinAcosB﹣cosAsinB=6若选择条件②：A＝C，cosB=-7（1）在△ABC中，因为A＝C，所以a＝c，因为cosB=-79，所以B∈（π2，π），sin因为△ABC的面积为S=12acsinB=12c2×429=42由余弦定理得，b2＝a2+c2﹣2accosB＝64，解得b＝8，（2）由正弦定理得asinA所以sinA=absinB因为A∈（0，π2），所以cosA=所以sin（A﹣B）＝sinAcosB﹣cosAsinB=13×（-43．（2021秋•驻马店月考）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝3，sinA+asinB＝23．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若a≤b，asinA+csinC＝6sinB，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵b＝3，sinA+asinB＝23，且asinB＝bsinA，∴sinA+3sinA＝23，得sinA=3∵A∈（0，π），∴A=π3或A（Ⅱ）∵a≤b，∴A≤B，结合（Ⅰ）可得A=π由asinA+csinC＝6sinB，结合正弦定理可得，a2+c2＝6b＝18，由余弦定理可得，a2＝b2+c2﹣2bc•cosA，即18﹣c2＝9+c2﹣6c•12=9+c2﹣3∴2c2﹣3c﹣9＝0，解得c=-32（舍去），或c＝∴S△ABC44．（2021春•太原期中）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b＝23，c＝22．（1）若cosA=612，求（2）若C=π【解答】解：（1）∵b＝23，c＝22，cosA=6∴由余弦定理可得：a==12+8-2×23（2）由正弦定理：asinA=bsinB=∵b＞c，C=π4，∴B=π当B=π3时，cosA＝cos（π﹣B﹣C）＝﹣cos（B+C）＝﹣cos（＝﹣（cosπ3cosπ4-sinπ3sin由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc•cosA＝8+43，得a=6当B=2π3时，cosA＝cos（π﹣B﹣C）＝﹣cos（B+C）＝﹣cos（＝﹣（cos2π3cosπ4-sin2π3sin由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc•cosA＝8﹣43，得a=6综上所述，若B=π3，则A=5π12若B=2π3，则A=π1245．（2020•宿城区校级模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosC=1（1）若c2＝（a﹣b）2+4，求△ABC的面积：（2）若4bcosB=6c【解答】解：（1）由c2＝（a﹣b）2+4得c2﹣a2﹣b2＝﹣2ab+4①，因为cosC=13，故c2-a2-sinC=1-co故S△ABC=1（2）因为4bcosB=6即tanB=64tanC，而tanC=sinCcosC=22所以sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC=(sinπ46．（2020春•河南期末）在钝角ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．已知c﹣acosB=3bsinA（1）求角A；（2）若a＝1，b=3，求△ABC【解答】解：（1）由c﹣acosB=3bsinA，得sinC﹣sinAcosB=即sin（A+B）﹣sinAcosB=3∴cosAsinB=3又sinB≠0，∴tanA=33，而A∈（0，π），∴A（2）∵a＝1，b=3，A=π6可得sinB=32，而三角形ABC为钝角三角形，可得B∴C=π故S=12absinC=47．（2022•深圳模拟）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+c＝2bcosA．（1）证明：B＝2A；（2）当a＝4，b＝6时，求△ABC的面积S．【解答】（1）证明：由正弦定理：asinA所以对于a+c＝2bcosA，有sinC+sinA＝2sinBcosA，∴sin（A+B）＝2sinBcosA﹣sinA整理得：sinAcosB﹣sinBcosA＝﹣sinA，所以，sin（A﹣B）＝sin（﹣A），因为A，B，C为△ABC的三个角，所以A﹣B＝﹣A，得B＝2A．（2）解：由（1）及题意可得：asinA∴4sinA∵π＞A＞0，sinA≠0，∴cosA=3∴sinC=sin(A+B)=7则S△ABC所以△ABC的面积为15748．（2022•辽宁模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinB＝sinA+C2（1）求B；（2）若sinA＝2sinB﹣sinC，△ABC面积为34，求△ABC【解答】解：（1）因为在△ABC中，sinB＝sinA+C2，A+B+C＝π所以sinB＝sinπ-B2=sin（π2-所以2sinB2cosB2=因为B∈（0，π），所以B2∈（0，所以cosB2≠所以sinB2所以B2所以B=π（2）因为sinA＝2sinB﹣sinC，由正弦定理可得，a＝2b﹣c，即a+c＝2b，①因为△ABC面积为34所以12acsinB所以ac＝1，②由①②可得，a2+c2＝4b2﹣2，所以cosB=a解得b＝1，所以a+c＝2，所以a+b+c＝3，即△ABC的周长为3．49．（2022•滨海新区校级三模）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，5asinC＝3c且C为钝角．（1）求cosA；（2）若a=32，b＝5，求△ABC（3）求sin(2A+π【解答】解：（1）由正弦定理及5asinC＝3c，知5sinAsinC＝3sinC，因为sinC≠0，所以sinA=3因为角C为钝角，所以角A为锐角，所以cosA=1-（2）由（1）cosA=4由余弦定理，得a2＝b2+c2﹣2bccosA，所以18＝25+c2﹣2•5•c•45，即c2﹣8c+7＝0，解得c＝7或c＝1因为c＝1＜b，不合题意，舍去，所以c＝7，故△ABC的面积S=1（3）由（1）知sinA=35，cosA所以sin2A＝2sinAcosA=2425，cos2A＝2cos2A﹣1所以sin(2A+π6)=32sin2A50．（2022•辽宁模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3sinB，-cosB是方程x2﹣x+2k（1）求B和k；（2）若2sinAsinC+cos2B＝1，求sinA+sinC的值．【解答】解：（1）由题意可知，Δ＝1﹣8k≥0，即k≤1由韦达定理得3sinB-cosB=1将sinB=1+cosB3代入sin2B+cos2B＝解得cosB=1又∵B是△ABC的内角，∴B=π∴-3sinπ（2）由2sinAsinC+cos2B＝1，得sin2B＝sinAsinC，根据正弦定理可得b2＝ac，由余弦定理可得cosB=a即12∴a＝c，又∵B=π3，∴△因此sinA+sinC=351．（2020春•临澧县校级期末）已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m→=（2sinB，2﹣cos2B），n→=（2sin2（π4+B2），﹣1），m→（1）求角B的大小；（2）求c的值．【解答】解：（1）根据题意得m→•n→即2sinB×2sin2（π4+B2）﹣（2﹣cos2B）＝2sinB[1﹣cos（π2+＝2sinB+2sin2B+cos2B﹣2＝2sinB+1﹣cos2B+cos2B﹣2＝2sinB﹣1＝0，∴sinB=12，∵a＞b，∴B＜A，∴B为锐角，∴B（2）由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB，又∵a=3，b＝1∴12＝（3）2+c2﹣23c×32，整理得c2﹣3c+2＝0，解得：c＝1或52．（2020•天河区二模）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝3，且sin（C-π6）•cosC（1）求角C的大小；（2）若向量m→=（1，sinA）与n→=（2，sin【解答】解：（1）∵sin（C-π6）•cosC∴(3∴34∴sin(2C-π∴2C-π∴C=π又C为△ABC的内角，∴C=π（2）∵向量m→=（1，sinA）与n→=（2∴sinB﹣2sin