2024-2025学年浙江省宁波市慈溪市高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年浙江省宁波市慈溪市高一（下）期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.某市有大型超市20家、中型超市60家、小型超市120家.为掌握各类超市的营业情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本容量为20的样本，则抽取中型超市的数量为(

)A.12 B.6 C.4 D.22.已知A(−1,−1)，B(x,3)，C(2,5)三点共线，则x=(

)A.1 B.3 C.−1 D.−23.已知z−i=1+3i3−i，则z的虚部为(

)A.−1 B.1 C.−2 D.24.已知直线a，b与平面α，β，则能使α⊥β的充分条件是(

)A.a⊥α，b⊥β，a/​/b B.a⊂α，b⊂β，a⊥b

C.a/​/b，a⊥β，b⊂α D.α∩β=a，b⊥a，b⊂β5.柜子里有3双不同的手套，现从中随机地取出2只.若A表示事件“取出的手套是一只左手一只右手的，但不是一双手套”，B表示事件“取出的手套都是右手的”，C表示事件“取出的手套不成双”，则(

)A.P(C)=P(A)+P(B) B.P(A∪B)=P(A)+P(B)

C.P(AB)=P(A)P(B) D.P(A∪C)=P(A)+P(C)6.已知e1，e2是两个垂直的单位向量.若a=e1−e2，b=2e1A.110 B.22 C.7.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=π3，c=2，且a−1=3cosCA.6+24 B.28.一个棱长为6的正方体纸盒内有一个正四面体，若正四面体可以在纸盒内任意转动，则正四面体体积的最大值为(

)A.26 B.66 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.如图，在圆锥PO中，AB=4,PB=BC=22，点E为线段PB上的动点，则(

)A.PO=3

B.圆锥PO的侧面积为42π

C.直线PA与BC所成角为π3

D.当E为线段PB中点时，直线CE与平面PAB所成角的正弦值最大

10.已知复数z1A.z1+z2−=z1−11.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=120°,BA在BC上的投影向量为−34BCA.a=23c B.tanA=34三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设A，B是一个随机试验中的两个事件，记B−为事件B的对立事件，若P(A)=0.8，P(B−)=0.6，且A与B相互独立，则P(A+B)=13.如图，小明为了测量河对岸的塔高AB，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.现测得∠ACB=30°，∠ADB=45°，∠BDC=135°，CD=102，则塔高AB=______．14.如图，在棱长均为4的正四棱锥V−ABCD中，VEVC=14，若过点E且垂直于棱VC的平面分别交棱VB，AB，AD，VD于点F，G，H，I，则五边形四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

2025年春节期间国产动漫电影《哪吒之魔童闹海》火爆全世界，引起人们对中国动漫产业的关注.为了解中国动漫市场受市场群体关注的年龄(单位：岁)占比情况，某电影院调查了某天观看中国动漫系列电影的观众年龄情况，并按年龄进行适当分组(每组为左闭右开的区间)，得到频率分布直方图如图所示(同一组的数据用该区间的中点值代表)．

(1)求a的值；

(2)求该样本的平均数x−和中位数y．16.(本小题15分)

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=π3．

(1)若a=13，且△ABC的面积为33，求b+c；

(2)若b=4，c=3，∠BAC的平分线交BC17.(本小题15分)

某商店举行促销抽奖活动，在一个不透明袋子中放有6个大小质地完全相同的球，其中m(m∈{2,3,4,5})个为红球，其余均为白球，现从中不放回地依次随机摸出2个球，若取到的两个球同色，则称为中奖，可以领取一张优惠券；若取到的两个球不同色，则称为不中奖.一次抽奖结束后，取出的球放回袋子中，供下一位顾客抽奖(每位顾客只有一次抽奖机会)．

(1)若m=2，求一次抽奖中奖的概率；

(2)若要求一次抽奖中奖的概率最小．

(i)求m；

(ii)求两位顾客抽奖至少有一位顾客中奖的概率．18.(本小题17分)

(用坐标法不给分)已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1所有棱长均为2，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=π3．

(1)求证：平面A1ACC1⊥平面19.(本小题17分)

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=23，BC=2，AM=xAB(0<x<1)，AN=yAC(0<y<1)，设CM与BN交于点P，且CP=2PM．

(1)求2xy−3y的值；

(2)定义平面非零向量之间的一种运算“⊕”：a⊕b=|a|sinθ|b|(其中θ是两非零向量a和b的夹角)．

答案解析1.【答案】B

【解析】解：根据题意可知，大型超市20家、中型超市60家、小型超市120家，

则抽取中型超市的数量为6020+60+120×20=6．

故选：B．

根据给定条件，按比例分配列式计算得解．2.【答案】A

【解析】解：根据题意可知，A(−1,−1)，B(x,3)，C(2,5)，

AB=(x+1,4),AC=(3,6)，且AB/​/AC，则6(x+1)=3×4，所以x=1．

故选：A3.【答案】D

【解析】解：根据题意可知，z−i=1+3i3−i，

故z=i+1+3i3−i=i+(1+3i)(3+i)(3−i)(3+i)=i+3+10i−310=2i．

所以虚部为24.【答案】C

【解析】解：A中，a⊥α，b⊥β，a/​/b，可得α/​/β，所以推不出α⊥β，所以A不正确；

B中，a⊂α，b⊂β，a⊥b，若α/​/β或α与β相交，所以推不出α⊥β，所以B不正确；

C中，a/​/b，a⊥β，可得b⊥β，而b⊂α，所以α⊥β，所以C正确；

D中，α∩β=a，b⊥a，b⊂β，如图所示，

即α，β不一定垂直，所以D不正确．

故选：C．

由线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，逐一判断所给命题的真假．

本题考查线面垂直的充分条件的应用，属于基础题．5.【答案】B

【解析】解：记三双不同的手套为：

白1，白2；红1，红2；黑1，黑2，(1为左，2为右)，

从中随机取出2只共有：

白1白2，白1红1，白1红2，白1黑1，白1黑2，白2红1，

白2红2，白2黑1，白2黑2，红1红2，红1黑1，红1黑2，

红2黑1，红2黑2，黑1黑2，共15种情况，

事件A包含：白1红2，白1黑2，白2红1，白2黑1，红1黑2，红2黑1，6个基本事件，

事件B包含：白2红2，白2黑2，红2黑2，3个基本事件，

事件C包含：白1红1，白1红2，白1黑1，白1黑2，白2红1，白2红2，白2黑1，

白2黑2，红1黑1，红1黑2，红2黑2，12个基本事件，

P(A)=615=25，P(B)=315=15，P(AB)=0，P(C)=1215=45，

对于A，P(A)+P(B)=35≠P(C)，故A错误；

对于B，事件A，B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)，故B正确；

对于C，P(AB)≠P(A)P(B)，故C错误；6.【答案】D

【解析】解：因为e1，e2是两个垂直的单位向量，不妨设e1=(1,0)，e2=(0,1)，

所以a=e1−e2=(1,−1)，b=2e1+e2=(2,1)，7.【答案】D

【解析】解：由正弦定理asinA=csinC，可得a=csinAsinC=2sinAsinC，

在△ABC中，sinA=sin(B+C)=sin(π3+C)=32cosC+12sinC，

所以a=2(32cosC+12sinC)sinC=3cosCsinC+1，可得8.【答案】C

【解析】解：由正四面体玩具可以在棱长为6的正方体内任意转动，得该正四面体的棱长最大时，其外接球为正方体的内切球，

如图，设四面体B1−ACD1的边长为a，其外接正方体为ABCD−A1B1C1D1则正方体棱长为22a，

正方体ABCD−A1B1C1D1与正四面体B1−ACD1有同一个外接球，

设正方体的外接球的半径为R，则2R=3×22a，即R=64a，

而棱长为6的正方体的内切球的半径为3，即64a=3，

解得a=26，

取AC中点O，连接9.【答案】BCD

【解析】解：由题意得AO=BO=2，

根据勾股定理得PO=PB2−BO2=2，可知A项错误；

因为圆锥的底面半径r=2，母线长l=22，

所以圆锥PO的侧面积为πrl=2×22π=42π，可知B项正确；

连接CO并延长，交底面圆于点F，连接AF，PF，则AF=BC=22，

根据OB=OC=2，可得OB2+OC2=BC2，所以OB⊥OC，

可得△OBC，△OAF均为等腰直角三角形，∠FAB=∠CBA=45°，故AF/​/BC，

所以∠PAF(或其补角)为异面直线PA与BC所成角，

根据AP=PF=22，可知△APF为等边三角形，∠PAF=π3，所以C项正确；

由C项的分析，可得OB⊥OC，

结合OP⊥平面ABC，OC⊂平面ABC，可得OP⊥OC，

因为OB、OP⊂平面APB，OB∩OP=O，所以OC⊥平面APB，

连接OE，则∠OEC即为直线CE与平面PAB所成角，

其中CE=CO2+OE2=4+OE2，可得sin∠OEC=OCCE=24+OE2，

当E为线段PB中点时，结合OP=OB=2，可知OE⊥PB，

此时OE取得最小值，sin∠OEC=210.【答案】ACD

【解析】解：设z1=a+bi，z2=c+di，

对于A，z1+z2−=a+c+(b+d)i−=a+c−(b+d)i，z1−=a−bi，z2−=c−di，z1−+z2−=a+c−(b+d)i，等式成立，A正确；

对于B，设z1=1，z2=1−i，(z1−z2)2=−1，z1−−z11.【答案】AB

【解析】解：A选项，根据题意可知，BA在BC上的投影向量为ccos120°⋅BCa=−c2aBC=−34BC，

∴c2a=34，故a=23c，故A选项正确；

B选项，∵asinA=csinC且a=23c，∴23csinA=csinC，故sinC=32sinA．

又C=60°−A，∴sin(60°−A)=32sinA，即32cosA−12sinA=12.【答案】0.88

【解析】解：根据题意，P(A)=0.8，P(B−)=0.6，且A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)=0.8×(1−0.6)=0.32，

故P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)=0.8+(1−0.6)−0.32=0.88．

故答案为：0.88．

根据题意，由相互独立事件的概率公式求出P(AB)，又由P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)13.【答案】5+5【解析】解：∠ACB=30°，∠ADB=45°，∠BDC=135°，CD=102，

可得BC=ABtan∠ACB=AB33=3AB，BD=ABtan∠ADB=AB，

在△BCD中，由余弦定理可得：BC2=CD2+BD2−2CD×BDcos∠CDB，

即3AB14.【答案】5【解析】解：连接FI，BD，AC，设BD∩AC=O，连接VO．

依题意，VC⊥平面EFGHI．

∵EI⊂平面EFGHI，∴VC⊥EI．

∵VE=1，∠EVI=60°，BD=42．

在直角△VEI中，VI=VEcos∠EVI=2，

∴I为VD的中点．同理，F是VB的中点．

∴FI=12BD=22．

下面证明：G，H分别在AB，AD的中点上．

当G，H也是中点时，GH//BD,GH=12BD，

有GH//FI,GH=FI=22，四边形IFGH是平行四边形．

∵VA=VC=4,AC=42，则VA2+VC2=AC2，∴VA⊥VC．

∵HI//VA，则VC⊥HI．

∵AC⊥BD，VO⊥BD，AC∩VO=O，AC，VO⊂平面VAC，

∴BD⊥平面VAC．

∵VC⊂平面VAC，∴BD⊥VC，则GH⊥VC．

∵IH，GH均在平面IFGH内，且相交，∴VC⊥平面IFGH，

∴此时平面IFGH和平面EIF即同一平面，满足题意，

则G，H分别在AB，AD的中点上．

∵BD⊥平面VAC，∵VA⊂平面VAC，∴BD⊥VA，

则GH⊥HI，则四边形IFGH是矩形．

依题意，GH=FI=22，IH=FG=2，EI=EF=3，

△EFI中IF边上的高为ℎ=(3)2−(2)2=1，

则S△EFI=12×22×1=2，15.【答案】a=0.030；

x−=28.1，y=【解析】(1)根据频率分布直方图可知，10×0.01+10a+10×0.035+10×0.02+10×0.004+10×0.001=1，所以a=0.030；

(2)x−=(10×0.01+20×0.03+30×0.035+40×0.02+50×0.004+60×0.001)×10=28.1，

前两个矩形面积之和为10×(0.01+0.03)=0.4，

前三个矩形面积之和为0.4+10×0.035=0.75，所以y∈(25,35)，

由中位数的定义可得0.4+(y−25)×0.035=0.5，解得y=1957，即中位数为1957．

(1)根据频率分布直方图中，所有直方图面积之和为1，可求得a的值；

(2)将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全加可得x−的值；分析可知y∈(25,35)16.【答案】7；

123【解析】(1)因为A=π3，且△ABC的面积为33，

所以S=12bcsinA=12bc×32=33，所以bc=12，

由余弦定理得：a2=b2+c2−2bccosA=(b+c)2−3bc，

所以(b+c)2=a2+3bc=13+36=49，即b+c=7；

(2)17.【答案】715；

(i)m=3；

(ii)16【解析】(1)记这2个红球的编号为1，2，4个白球的编号为3，4，5，6，

所以样本空间Ω={(m,n)|m，n∈{1,2,3,4,5,6}，且m≠n}，共有30个样本点，

设事件A=“一次抽奖中奖”，

所以A={(1,2)，(2,1)，(3,4)，(4,3)，(3,5)，(5,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(4,6)，(6,4)，(5,6)，(6,5)}，

所以n(A)=14，则p(A)=n(A)n(Ω)=1430=715；

(2)(i)当m∈{2,3,4}时，P(A)=n(A)n(Ω)=m(m−1)+(6−m)(5−m)30=m2−6m+1515，

所以m=3时，P(A)min=25，

当m=5时，P(A)=5×430=23>218.【答案】证明见解析；

证明见解析；

22【解析】(1)证明：如图，设BD与AC交于O点，连接A1O，

在菱形ABCD中，BD⊥AC，O为