2024-2025学年吉林省长春市外五县高二（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年吉林省长春市外五县高二（下）期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.计算：A33+A.6 B.35 C.41 D.452.根据成对样本数据建立变量y关于x的经验回归方程为y=2.5x+1.2.若y的均值为6.2，则x的均值为(

)A.1.5 B.2 C.2.5 D.33.已知(x3+1x)A.4 B.5 C.6 D.74.在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布N(100,σ2)(σ>0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的16，数学考试成绩在80分到100分(含80分到100分)之间的人数为900A.1600 B.1800 C.2100 D.27005.如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有4种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为(

)

A.96 B.144 C.480 D.6006.(x−1)4(x2A.20 B.19 C.−8 D.−157.已知函数f(x)=ex−e−x+sin2x，记a=−f(−ln2),b=f(log43A.c<a<b B.b<a<c C.a<b<c D.b<c<a8.某同学喜爱球类和游泳运动.在暑假期间，该同学上午去打球的概率为13，若该同学上午去打球，则下午一定去游泳；若上午不去打球，则下午去游泳的概率为14.已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为A.23 B.34 C.13二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的有(

)A.某学校有2025名学生，其中男生1013人，女生1012人，现选派10名学生参加学校组织的活动，记男生的人数为X，则X服从超几何分布

B.若随机变量X的均值E(X)=2025，则E(X−1)=2024

C.若随机变量X的方差D(X)=2，则D(3X+2025)=6

D.随机变量X～B(2025,0.5)，则P(X≤1012)=P(X≥1013)10.以下关于杨辉三角的猜想中，正确的有(

)A.第100行中，从左到右看第50个数最大

B.第100行的所有数的和为2100

C.Cnr11.已知函数f(x)=16x3+3A.f(x)在(−12,12)上是减函数

B.f(x)的单调递增区间为(−∞,−12)和三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.曲线y=(x2+2x)lnx+2x在点(1,2)13.由0，1，2，3，4，5，6这七个数字组成没有重复数字的七位数，且偶数数字从小到大排列(由高数位到低数位)，这样的七位数有______个.14.某校高一新生组织数学竞赛选拔测试，一共30道试题，规定答对一题得5分，答错一题扣1分.已知小明同学每道题答对的概率为0.8，每道题答对与否互相独立，则小明同学总得分的均值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

人们曾经相信，艺术家将是最后被AⅠ所取代的职业，但技术的进步已经将这一信念敲出了裂痕，这可能是AⅠ第一次引起人类的恐慌，由novalAⅠ，DALL−E2等软件创作出来的给画作品风格各异，乍看之下，已与人类绘画作品无异，AⅠ会取代人类画师吗？某机构随机对60人进行了一次调查，统计发现认为会取代的有42人，30岁以下认为不会取代的有12人，占30岁以下调查人数的25．

(1)根据以上数据完成如下2×2列联表：年龄理解情况总计会取代不会取代30岁以下1230岁及以上总计4260(2)依据小概率值α=0.010的独立性检验，能否认为年龄与理解情况有关？并说明原因．α0.100.050.0100.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828参考公式：χ2=n(ad−bc)16.(本小题15分)

盐水选种是古代劳动人民的智慧结晶，其原理是借助盐水估测种子的密度，进而判断其优良.现对一批某品种种子的密度(单位：g/cm3)进行测定，测定结果整理成频率分布直方图如图所示，认为密度不小于1.2的种子为优种，小于1.2的为良种.自然情况下，优种和良种的萌发率分别为0.8和0.5．

(1)估计这批种子密度的平均值；(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)

(2)用频率估计概率，从这批种子(总数远大于2)中选取2粒在自然情况下种植，设萌发的种子数为X，求随机变量X的分布列和数学期望(各种子的萌发相互独立)17.(本小题15分)

某研究小组为了解青少年的身高与体重的关系，随机从15岁人群中选取了9人，测得他们的身高(单位：cm)和体重(单位：kg)，得到如下数据：样本号i123456789均值身高x165157156173163159177161165164体重y53464856574960455452(1)若两组变量间的样本相关系数r满足0.8≤|r|<1，则称其为高度相关，试判断青少年身高与体重是否高度相关，说明理由(r精确到0.01)；

(2)建立y关于x的经验回归方程，并预测某同学身高为180cm时，体重的估计值(保留整数)．

参考数据：i=19(xi−x−)2=400，i=19(yi−y−)18.(本小题17分)

已知函数f(x)=asinx−bcosxex(0≤x≤π)，a>0，x=π2为f(x)的极值点．

(1)求a−lnb的最小值；

(2)若关于x19.(本小题17分)

甲、乙两同学进行射击比赛，已知甲射击一次命中的概率为12，乙射击一次命中的概率为23，比赛共进行n轮次，且每次射击结果相互独立，现有两种比赛方案，方案一：射击n次，每次命中得2分，未命中得0分；方案二：从第一次射击开始，若本次命中，则得6分，并继续射击；若本次未命中，则得0分，并终止射击．

(1)设甲同学在方案一中射击n轮次总得分为随机变量Xn，求E(X20)；

(2)甲、乙同学分别选取方案一、方案二进行比赛，试确定N答案解析1.【答案】C

【解析】解：A33+C73=3×2×1+7×6×53×2×12.【答案】B

【解析】解：y=2.5x+1.2，y的均值为6.2，

则2.5x−+1.2=6.2，解得x=2．

故选：B3.【答案】A

【解析】解：由题意可得，Tr+1=Cnr(x3)n−r⋅(1x)r=Cnrx3n−4r，

4.【答案】D

【解析】解：由题设，若X表示数学考试成绩，则服从正态分布N(100,σ2)，

所以P(X>120)=P(X<80)=16，

因为P(X≤100)=12，所以P(80≤X≤100)=12−16=13，

所以参加本次联考的总人数约为900÷13=2700．

故选：5.【答案】B

【解析】解：根据题意，分3步进行分析：

①对于湖北、湖南和江西，3个地区两两相邻，有A43=24种选法，

②对于陕西，与湖北相邻，有3种选涂色方法，

③对于安徽，与湖北、江西相邻，有2种选涂色方法，

则有24×3×2=144种涂色方案．

6.【答案】B

【解析】解：(x−1)4[(x−1)2+1]=(x−1)6+(x−1)4，根据二项式的展开式x2的系数为C62+C47.【答案】B

【解析】解：函数f(x)定义域为R，f(−x)=e−x−ex+sin(−2x)=e−x−ex−sin2x=−f(x)，

∴f(x)为奇函数，故a=−f(−ln2)=f(ln2)．

由题意得，f′(x)=ex+e−x+2cos2x≥2ex⋅e−x8.【答案】A

【解析】解：根据题意，设A=“该同学上午去打球”，则A−=“该同学上午不去打球”，B=“该同学下午去游泳”，

则P(B)=P(A)P(B|A)+P(A−)P(B|A−)=13×1+23×14=12，

9.【答案】ABD

【解析】解：对于选项A：根据超几何分布的定义，可知选项A正确；

对于选项B：若随机变量X的均值E(X)=2025，

则E(X−1)=E(X)−1=2024，故选项B正确；

对于选项C：若随机变量X的方差D(X)=2，

则D(3X+2025)=32D(X)=9D(X)=18，故选项C错误；

对于选项D：因为X～B(2025,0.5)，

所以P(X=k)=C2025k⋅0．5k⋅(1−0.5)2025−k=C2025k0．52025，

由组合数的对称性可知，P(X≤1012)=P(X≥1013)，故选项D10.【答案】BCD

【解析】解：由二项式系数的增减性可知，第100行中共有101个数，从左往右看第51个数最大，A错误；

第100行的所有系数和为C1000+C1001+...+C100100=2100，B正确；

有组合数性质可得，C正确；11.【答案】BC

【解析】解：由题意知f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，

f′(x)=48x2−3x2=3(16x4−1)x2=3(4x2−1)(4x2+1)x2=3(2x+1)(2x−1)(4x2+1)x2，

令f′(x)=0，解得x=12或x=−12，

所以当x∈(−12,0)或x∈(0,12)时，f′(x)<0，此时f(x)在(−12,0)和(0,12)上单调递减，

当x∈(−∞,−12)或x∈(12,+∞)时，f′(x)>0，所以f(x)的单调递增区间为(−∞,−12)和(12,+∞)，故A错误，B正确；

12.【答案】5x−y−3=0

【解析】解：设f(x)=(x2+2x)lnx+2x，求导数得f′(x)=(2x+2)lnx+(x2+2x)⋅1x+2，

所以曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线斜率k=f′(1)=4ln1+3×1+2=5，

切线的方程为y−2=5(x−1)，即5x−y−3=0．

故答案为：13.【答案】90

【解析】解：因偶数排列顺序固定且0只能在6，5，4位，奇数可任意排列，则

当0排在第6位时，共有C53A33=60(个)数；

当0排在第5位时，共有C43A33=24(个)数；

当0排在第4位时，共有C33A33=6(个)数，

故这样的七位数共有60+24+6=90(个)．14.【答案】114

【解析】解：设事件A为“小明同学答对试题”，

则P(A)=0.8，

用X表示事件A发生的次数，则X～B(30.0.8)，

设小明同学总得分为Y，

则Y=5X−(30−X)=6X−30，

∵E(X)=30×0.8=24，

∴E(Y)=E(6X−30)=6×24−30=114．

故答案为：114．

用X表示事件A发生的次数，则X～B(30.0.8)，设小明同学总得分为Y，则Y=5X−(30−X)=6X−30，由此能求出结果．

本题考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】解：(1)完成2×2列联表如下：年龄理解情况总计会取代不会取代30岁以下18123030岁及以上241630总计421860(2)设H0为：年龄与理解情况相互独立，即年龄与理解情况无关，

由题意，χ2=60×(24×12−18×6)242×18×30×30≈2.857<6.635=x0.010，

【解析】(1)根据题设中的数据即可求解；

(2)代入卡方公式求出值与表对比即可求解．

本题主要考查独立性检验公式，属于基础题．16.【答案】1.24g/cm3；

分布列见解析；1.36【解析】(1)估计种子密度的平均值为(0.7×0.5+0.9×0.6+1.1×0.9+1.3×1.4+1.5×1.1+1.7×0.5)×0.2=1.24(g/cm3)；

(2)由频率分布直方图知优种占比为(1.4+1.1+0.5)×0.2=35，

任选一粒种子萌发的概率p=35×45+(1−35)×12=1725．

因为这批种子总数远大于2，所以萌发的种子数X符合二项分布X～B(2,p)，

所以X可取的值为0X012P64272289所以期望E(X)=0×64625+1×272625+2×289625=3425=1.36，

故期望值为1.36．

(1)17.【答案】相关，理由见解析；

y=0.62x−49.68，身高为180cm的某同学，体重大概为62kg【解析】解：(1)9i=1(xi−x−)(yi−y−)=9i=1xiyi−9x−y−=77000−8528×9=248，

因为r=9i=1(xi−x−)(yi−y−)18.【答案】解：(1)f′(x)=acosx+bsinx−asinx+bcosxex，

依题意，f′(π2)=b−aeπ2=0.所以a−b=0，

所以a−lnb=a−lna，

设g(x)=x−lnx，则g′(x)=1−1x=x−1x，

当x∈(0,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，

当x∈(1,+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，

当x=1时，g(x)取得最小值g(1)=1，

所以a−lnb的最小值为1；

(2)由(1)可知，f(x)=a(sinx−cosx)ex，

令f(x)=1，则sinx−cosxex=1a，

设ℎ(x)=sinx−cosxex【解析】(1)求导数得a−lnb=a−lna，构造新函数g(x)=x−lnx，根据单调性可得最小值．

(2)构造新函数ℎ(x)=sinx−cosxex，求出